高中数学导数及其应用.doc

高中数学导数及其应用 一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量x（x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。（）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。认知：（）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。（）求函数 在点 处的导数的三部曲：求函数的增量 ；求平均变化率 ；求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时， 记 ,则有 即 在点 处连续。（）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ；当 时， ， 由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式1 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。公式2 幂函数的导数： 。公式3 正弦函数的导数： 。公式4 余弦函数的导数： 公式5 对数函数的导数：（） ；（） 公式6 指数函数的导数：（） ；（） 。（2）可导函数四则运算的求导法则设 为可导函数，则有法则1 ；法则2 ；法则3 。3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，即 。引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 （2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条： ；（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。（2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数 的定义域；（）求导数 ；（）令 ，解出相应的x的范围当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。（3）强调与认知（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；（）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。（2） 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-，0）内递减，在（0，+）内递增。2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极大值，记作 ；如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：（）求导数 ；（）求方程 的实根及 不存在的点；考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（2）探求步骤：设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：（ I ）求 在 内的极值；（ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ；（ III ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I ）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求（1） ；（2） ；（3） ；（4） （ 为常数）。解：注意到 当 ）（1） ；（2） =A+A=2A（3）令 ，则当 时 ， （4） 点评：注意 的本质，在这一定义中，自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量x在 处的增量为 ，则相应的 ，于是有 ；若令 ，则又有 例2、（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 解：（1）令 ，则 ，且当 时， 。注意到这里 （2） 注意到 ，由已知得 由、得 例3、求下列函数的导数（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） 当 时， ；当 时， 即 。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例4、在曲线C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。解：（1） 当 时， 取得最小值-13又当 时， 斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设 为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为 且有 将 代入 的解析式得 ，点 坐标为方程 的解 注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。例5、已知曲线 ，其中 ，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为 ，则有 ， ， ， ， ， 于是，对于 有 ； 对于 ，有 由得 ，由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例6、（1）是否存在这样的k值，使函数 在区间（1，2）上递减，在（2，+）上递增，若存在，求出这样的k值； （2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1） 由题意，当 时 ，当x(2,+) 时 ，由函数 的连续性可知 ，即 整理得 解得 或 验证：（）当 时， 若 ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；（）当 时， ，显然不合题意。于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2，+）上递增。（2） 若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 并且当 时， ；当 时， 综合可知，当 时， 恰有三个单调区间：减区间 ；增区间 点评：对于（1），由已知条件得 ，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数 的值；（2）求 的极值。解：（1） ，令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根， 故有 ，即 又 仅当 时取得极值，方程 的根只有 或 ，方程 无实根， 即 而当 时， 恒成立， 的正负情况只取决于 的取值情况当x变化时， 与 的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。由题意得 整理得 于是将，联立，解得 （2）由（1）知， 点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。例8、（1）已知 的最大值为3，最小值为-29，求 的值；（2）设 ，函数 的最大值为1，最小值为 ，求常数 的值。解：（1）这里 ，不然 与题设矛盾 令 ，解得 或x=4（舍去）（）若 ，则当 时， ， 在 内递增；当 时， ， 在 内递减又 连续，故当 时， 取得最大值 由已知得 而 此时 的最小值为 由 得 （）若 ，则运用类似的方法可得 当 时 有最小值，故有 ；又 当 时， 有最大值，由已知得 于是综合（）（）得所求 或 （2） ，令 得 解得 当 在 上变化时， 与 的变化情况如下表：-1(-1,0)01 +00+ 极大值 极小值 当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 。由上述表格中展示的 的单调性知 最大值在 与 之中， 的最小值在 和 之中，考察差式 ，即 ，故 的最大值为 由此得 考察差式 ，即 ， 的最小值为 由此得 ，解得 于是综合以上所述得到所求 。五、高考真题（一）选择题1、设 ， ， ， ， ，则 （ ）。A、 B、 C、 D、 分析：由题意得 ， ， ， ， 具有周期性，且周期为4， ，应选C。2、函数 有极值的充要条件为（ ）A、 B、 C、 D、 分析： 当 时， 且 ；当 时，令 得 有解，因此 才有极值，故应选C。3、设 ， 分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）A、（-3，0）（3，+） B、（-3，0）（0，3） C、（-，-3）（3，+） D、（-，-3）（0，3）分析：为便于描述，设 ，则 为奇导数，当 时， ，且 根据奇函数图象的对称性知， 的解集为（-，-3）（0，3），应选D。二、填空题1 过原点作曲线 的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。分析：设切点为M ，则以M为切点的切线方程为 由曲线过原点得 ， ，切点为 ，切线斜率为 。点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。2 曲线 在点 处的切线与x轴，直线 所围成的三角形面积为 ，则 = 。分析： 曲线 在点 处的切线方程为 即 切线与x轴交点 ，又直线 与切线交点纵坐标为 ，上述三角形面积 ，由此解得 即 3 曲线 与 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐标为 又 ， 即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2，3 ， ，应填 。（三）解答题1 已知 ，讨论导数 的极值点的个数。解析：先将 求导， 即 。当 时， 有两根，于是 有两极值点。当 时， ， 为增函数， 没极值点。本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。解答： 令 ，得 1、当 即 或 时，方程 有两个不同的实根 、 ，不防设 ，于是 ，从而有下表：+00+为极大值为极小值即此时 有两个极值点；2、当 即 时，方程 有两个相同的实根 ，于是 ，故当 时， ；当 时， ，因此 无极值；3、当 即 时， ，而 ，故 为增函数。此时 无极值；当 时， 有两个极值点；当 时， 无极值点。2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。（）求函数 的解析式；（）求函数 的单调区间。解析：（1）由 在切线上，求得 ，再由 在函数图象上和 得两个关于 的方程。（2）令 ，求出极值点， 求增区间， 求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（）由函数 的图象在点 处的切线方程为 知： ，即 ， 即 解得 所以所求函数解析式 （） 令 解得 当 或 时， 当 时， 所以 在 内是减函数，在 内是增函数。3 已知 是函数 的一个极值点，其中 （）求 与 的关系表达式；（）求 的单调区间；（）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求 的取值范围。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（） ， 是函数 的一个极值点 ；（） 令 ，得 与 的变化如下表：10+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此， 的单调递减区间是 和 ； 的单调递增区间是 ；（）由（） 即 令 ， 且 ， 即m的取值范围是 。4 已知函数 。（）求 的单调区间和值域；（）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围。解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，（）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若 成立，则二次函数值域必满足 关系，从而达到求解目的。解：（）由 得 或 。 （舍去）则 ， ， 变化情况表为：01 0+ 因而当 时 为减函数；当 时 为增函数；当 时， 的值域为 ；（） 因此 ，当 时 因此当 时 为减函数，从而当 时有 又 ，即当 时有 任给 ， ，存在 使得 则 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范围为 。5 已知 ，函数 （1）当 为何值时， 取得最小值？证明你的结论；（2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（）常规题型，方法求 ，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（）由（） 在 上单调，而 ，因此只要 即满足题设条件，从中解出 的范围。解答：（） 令 则 从而 ，其中 当 变化时, ， 的变化情况如下表+00+极大值极小值 在 处取得极大值， 处取得极小值当 时 ， ，且 在 为减函数，在 为增函数而当 时 ，当 时 当 时 取最小值；（）当 时 在 上为单调函数的充要条件是 ，解得 综上， 在 上为单调函数的充要条件为 ,即 的取值范围为） 。6.已知 ，函数 （）当 时，求使 成立的 成立的 的集合；（）求函数 在区间 上的最小值。答案：（）0，1， （） 解答：（）由题意， ,当 时 ,解得 或 ，当 时 ，解得 综上，所求解集为0,1,1+ ()设此最小值为m当 时，在区间1，2上， ，因为 ），则 是区间1，2上的增函数，所以 时，在区间1，2， 由 知 ；当 时，在区间1，2上， 如果 在区间（1，2）内， 从而 在区间1，2上为增函数，由此得 ；如果 则 。当 时， ，从而 为区间1， 上的增函数；当 时， ，从而 为区间 ，2上的减函数因此，当 时， 或 。当 时， 故 当 时 .综上所述,所求函数的最小值 7、()设函数 求 的最小值;()设正数 满足 ，证明 。解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出 ，解 得 ，再判断 与 时 的符号，确定 为极小值点，也是函数的最小值，对（）直接利用数学归纳法证明，但由 到 过渡是难点。解答：（）函数f（x）的定义域为（0，1） 令 当 时，f(x)0, f(x)在区间 是增函数。f（x）在 时取得最小值且最小值为 ()用数学归纳法证明（i）当n=1时，由（）知命题成立；(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 满足 ,则 当n=k+1时，若正数 满足 令 , 则 为正数，且 由归纳假定知 同理，由 ,可得 (1x)(k)+(1x)log2(1x). 综合、两式 x+(1x)(k)+xlog2x+(1x)log2(1x)(k+1).即当n=k+1时命题也成立。根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。8 函数 在区间 内可导，导函数 是减函数，且 ，设 ， 是曲线 在点 处的切线方程，并设函数 （）用 、 、 表示m；（）证明：当 时, （）若关于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。解答：（ I ） 在点 处的切线方程为 即 因而 ；()证明：令 ，则 因为 递减，所以 递增,因此，当 时， ；当 时， ，所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知 的最小值为0因此 0即 ；（）解法一： 是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。 ，即 对任意 成立的充要条件是 ，另一方面，由于 满足前述题设中关于 的条件，利用()的结果可知， 的充要条件是：过点 与曲线 相切的直线的斜率不大于 ，该切线的方程为： ，于是 的充要条件是 综上，不等式 对任意 成立的充要条件是 显然，存在 使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即为 的取值范围，式即为实数 与 所满足的关系。（）解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 ，即 对任意 成立的充要条件是 令 ，于是 对任意 成立的充要条件是 。由 得 当 时， ；当 时， ，所以，当 时， 取最小值。因此 成立的充要条件是 ，即 综上，不等式 对任意 成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（），曲线 在点 处切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，因而 ；对（）即证明 在 时恒成立，构造函数 则 ，则 由 递减 递增，则当 时 ，当 时， ，则 是 的极值点，且为极小值点，所以 极小值为 ，即 恒成立， 因而 ；对（）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。9设点 和抛物线 其中 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离。（）求 及 的方程；（）证明 是等差数列。解答：（）由题意得 设点 是 上任一点则 令 则 由题意得： 即 又 在 上， 解得 故 方程为： （）设点 是 上任意一点。则 令 由题意得 即 又点 在 上 即 下面用数学归纳法证明： 当n=1时， ，等式成立。假设n=k时，等号成立，即 则当n=k+1时，由（*）知： 又 即当n=k+1时，等式成立由知，等式 成立 是等差数列点评：（）设 为 上任一点 ，换句话说：在点 处 取得最小值。 令 此为关键（）方法同（）推导出： 然后用数学归纳法证明。10. 已知函数 （）求函数 的反函数 及 的导数 ；（）假设对任意 ，不等式 成立，求实数m的取值范围。解答：（）解：由 ，得 ，所以 （）解法1 由 ，得 即对于 恒有 设 ，于是不等式化为 当 ， 、 时， ， ，所以 都是增函数。因此当 时， 的最大值为 的最小值为 而不等式成立当且仅当 ，即 ，于是得 解法2：由 ，得 ，设 ，于是原不等式对于 恒成立等价于 由 ， ，注意到 ，故有 ， ，从而可知 与 均在 上单调递增，因此不等式成立当且仅当 ，即