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怀安县高中数学集合与常用逻辑用语重点归纳笔记

1

单选题
1、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
2、已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（    ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
答案：D
分析：根据交集的定义写出A∩B即可．
集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
3、集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是（  ）
A．16B．8C．7D．4
答案：C
解析：先用列举法写出集合A，再写出其真子集即可.
解：∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3}，
∴A={x∈N|1≤x<4}的真子集为：∅,1,2,3,{1,2},{1,3},{2,3}共7个．
故选：C．
4、已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，则集合B中元素个数为（    ）
A．2B．3C．4D．5
答案：C
分析：由列举法列出集合B的所有元素，即可判断；
解：因为A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或，
故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合B中含有4个元素；
故选：C
5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（    ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
答案：B
分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}
∴P=1，3，P的真子集是1,{3},∅共3个.
故选：B.
6、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩∁UB=（    ）
A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}
答案：C
分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
由题意结合补集的定义可知：∁UB=−2,−1,1，则A∩∁UB=−1,1.
故选：C.
小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
7、已知x∈R，则“x≠0”是“x+x>0”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
答案：B
分析：由x+x>0可解得x>0，即可判断.
由x+x>0可解得x>0，
∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，
故“x≠0”是“x+x>0”的必要不充分条件.
故选：B.
8、已知集合A=x,y∣2x−y+1=0,B=x,y∣x+ay=0，若A∩B=∅，则实数a=（    ）
A．−12B．2C．−2D．12
答案：A
分析：根据集合的定义知2x−y+1=0x+ay=0无实数解．由此可得a的值．
因为A∩B=∅，所以方程组2x−y+1=0x+ay=0无实数解．所以12=a−1≠0，a=−12．
故选：A．
9、已知集合A=xx≤1，B=x∈Z0≤x≤4，则A∩B=（    ）
A．x0由B=x∈Z0≤x≤4得B=0,1,2,3,4，所以A∩B=0,1，
故选：D
10、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（  ）
A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可
答案：B
分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．
∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
11、设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（    ）
A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}
答案：A
分析：根据集合的交集运算即可解出．
因为A=−2,−1,0,1,2，B=x∣0≤x<52，所以A∩B=0,1,2．
故选：A.
12、下列各式中关系符号运用正确的是（    ）
A．1⊆0,1,2B．∅⊄0,1,2
C．∅⊆2,0,1D．1∈0,1,2
答案：C
分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
13、已知集合S=x∈N|x≤5，T=x∈R|x2=a2，且S∩T=1，则S∪T=（    ）
A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}
答案：C
分析：先 根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.
S=x∈N|x≤5=0,1,2，而S∩T=1，所以1∈T，则a2=1，所以T=x∈R|x2=a2=−1,1，则S∪T=−1,0,1,2
故选：C.
14、已知p：0必要条件依次判断4个选项即可.
A选项：1．{x|3≤x<4}D．{x|11，x2≥1”的否定是（    ）
A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1
C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1
答案：D
分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.
命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，
故选：D.
18、集合A=xx<−1或x≥1，B=xax+2≤0，若B⊆A，则实数a的取值范围是（    
A．−2,2B．−2,2
C．−∞,−2∪2,+∞D．−2,0∪0,2
答案：B
分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；
解：∵B⊆A，
∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.
②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，
要使B⊆A，则需要a>0−2a<−1，解得012∉Q
答案：C
分析：根据元素与集合的关系求解.
根据常见的数集，元素与集合的关系可知，3∈N，14∈Z，12∉Q不正确，
故选：C
20、已知集合A=−1,1,2,4,B=xx−1≤1，则A∩B=（    ）
A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}
答案：B
分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.
[方法一]：直接法
因为B=x|0≤x≤2，故A∩B=1,2，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x=−1代入集合B=xx−1≤1，可得2≤1，不满足，排除A、D；
x=4代入集合B=xx−1≤1，可得3≤1，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
填空题
21、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．
答案：4
分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.
依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，
所以P+Q共有4个元素.
所以答案是：4
22、已知全集U=Z，定义A⊙B=xa⋅b,a∈A,b∈B，若A=1,2,3，B=−1,0,1，则∁U(A⊙B)______．
答案：x∈Zx≥4
分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.
全集U=Z，定义A⊙B=xa⋅b,a∈A,b∈B，
A=1,2,3，B=−1,0,1
所以A⊙B=−3,−2,−1,0,1,2,3，
所以∁U(A⊙B)=x||x|≥4,x∈Z.
所以答案是：x||x|≥4,x∈Z
23、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M=1,2,3,4,5,6,7，则其偶子集Q的个数为___________.
答案：63
分析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.
集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：1,3、1,5、1,7、3,5、3,7、5,7，共6种，
若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q=1,3,5,7，只有一种情况，
若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；
若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为2,4、2,6、4,6，共3种情况；
若集合Q中只含3个偶数，则集合Q=2,4,6，只有1种情况.
因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；
若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；
若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共种；
若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共种；
若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；
若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.
综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.
所以答案是：63.
24、全集U=xx是不大于20的素数}，若A∩B=3,5，A∩B=7,19，A∪B=2,17，则集合A=___________.
答案：3,5,11,13
解析：本题首先可根据素数的定义得出U=2,3,5,7,11,13,17,19，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果.
因为全集U=xx是不大于20的素数}，所以U=2,3,5,7,11,13,17,19，
因为A∪B=2,17，所以A∪B=3,5,7,11,13,19，
因为A∩B=3,5，A∩B=7,19，
所以可绘出韦恩图，如图所示：

由韦恩图可知，A=3,5,11,13，
所以答案是：3,5,11,13.
小提示：本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.
25、设全集U=R，集合A=3,−1，B=m2−2m,−1，且A=B，则实数m=______．
答案：3或-1##-1或3
分析：根据集合相等得到m2−2m=3，解出m即可得到答案.
由题意，m2−2m=3⇒m=3或m=-1.
所以答案是：3或-1.
26、已知集合A=x3≤x<7，C=xx>a，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.
答案：−∞,3
分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.
∵A⊆C，
∴A和C如图：

∴a＜3.
所以答案是：−∞,3.
27、已知集合A=x∈Z∣32−x∈Z，用列举法表示集合A，则A=__________.
答案：{−1,1,3,5}
分析：根据集合的描述法即可求解.
∵A=x∈Z∣32−x∈Z,
∴A={−1,1,3,5}
所以答案是：{−1,1,3,5}
28、设集合A=−4，2m−1，m2，B=9，m−5，1−m，又A∩B=9，求实数m=_____．
答案：−3
分析：根据A∩B=9得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.
因为A∩B=9，
所以9∈A且9∈B，
若2m−1=9，即m=5代入得A=−4，9，25，B=9，0，−4，
∴A∩B=−4，9不合题意；
若m2=9，即m=±3．
当m=3时，A=−4，5，9，B=9，−2，−2与集合元素的互异性矛盾；
当m=−3时，A=−4，−7，9，B=9，−8，4，有A∩B=9符合题意；
综上所述， m=−3．
所以答案是：−3
29、设集合A=−1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3.则实数a=_______.
答案：1
分析：由A∩B=3可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.
因为A∩B=3，所以3∈A,3∈B，
显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.
所以答案是：1.
小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
30、已知p:−1由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.
因为p是q的充分不必要条件，则x−13，解得m>1.
因此，实数m的取值范围是1,+∞.
所以答案是：1,+∞.
解答题
31、已知集合A=x2t−1≤x≤3−t，B=x−2
（2）依题意可得集合AB，分A=∅与A≠∅两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；
（1）解：由−23−t解得t>43，满足题意；
当A≠∅，即2t−1≤3−t，解得t≤43时，
若满足A∩B=∅，则必有2t−1≥4t≤43或3−t≤−3t≤43；
解得t∈∅.
综上，若A∩B=∅，则实数t的取值范围为t∈43,+∞.
（2）解：由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，则集合AB，
若A=∅，即2t−1>3−t，解得t>43，
若A≠∅，即2t−1≤3−t，即t≤43，则必有t≤432t−1>−33−t<4，解得−1−1，
综上所述，当“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件时，t∈(−1,+∞)即为所求．
32、已知集合A=x|a−1≤x≤2a+3，B=x|−1≤x≤4，全集U=R．
(1)当a=1时，求(CUA)∩B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围．
答案：(1)(CUA)∩B=x−1≤x<0
(2)a<−4或0≤a≤12
分析：（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件等价于A⊆B讨论A是否为空集，即可求出实数a的取值范围.
（1）当a=1时，集合A=x|0≤x≤5，CUA=x|x<0或x>5，
(CUA)∩B=x|−1≤x<0．
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，
①当A=∅时，a−1>2a+3,∴a<−4；
②A≠∅，则a≥−4且a−1≥−1,2a+3≤4，∴0≤a≤12.
综上所述，a<−4或0≤a≤12．
33、已知p:{x|x+2≥0x−10≤0}，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
（1）若m＝1，则p是q的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
答案：（1）p是q的必要不充分条件；（2m∈[9，＋∞)．
分析：（1）分别求出p、q对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；
（2）根据p是q的充分不必要条件，则p对应的集合是q对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.
(1)因为p:{x|x+2≥0x−10≤0}＝{x|－2≤x≤10}，
若m＝1，则q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}⊂≠{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以x∣−2≤x≤10⊂≠x∣1−m≤x≤1+m，
所以，且1−m≤−2和1+m≥10不同时取等号，
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
34、已知集合A=x|−1≤x≤2,B=y|y=ax+3,x∈A，C=y|y=2x+3a,x∈A，
（1）若∀y1∈B，∀y2∈C，总有y1≤y2成立，求实数a的取值范围；
（2）若∀y1∈B，∃y2∈C，使得y1≤y2成立，求实数a的取值范围；
答案：（1）a≥5；（2）a≥−14.
分析：（1）设y1=ax+3，y2=2x+3a，由题设可得y1max≤y2min，建立不等式组，解之可得答案.
（2）由题设可得y1max≤y2max，建立不等式组，解之可得答案.
（1）设y1=ax+3，y2=2x+3a，其中−1≤x≤2
由题设可得y1max≤y2min，即y1max≤3a−2，故−a+3≤−2+3a2a+3≤−2+3a，
解得a≥5.
（2）由题设可得y1max≤y2max，故−a+3≤4+3a2a+3≤4+3a，解得a≥−14.
35、已知集合A={x|x=m+6n,其中m,n∈Q}．
(1)试分别判断x1=−6，x2=2−3+2+3与集合A的关系；
(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．
答案：(1)x1∈A，x2∈A
(2)x1x2∈A，理由见解析
分析：（1）将x1，x2化简，并判断是否可以化为m+6n，m,n∈Q的形式即可判断关系.
（2）由题设，令x1=m1+6n1，x2=m2+6n2，进而判断是否有x1x2=m+6n，m,n∈Q的形式即可判断.
(1)
x1=−6=0+6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；
x2=3−122+3+122=6=0+6×1∈A，即m=0,n=1符合.
(2)
x1x2∈A．理由如下：
由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+6n1，x2=m2+6n2，
∴x1x2=m1+6n1m2+6n2=m1m2+6n1n2+6m1n2+m2n1，其中m1m2+6n1n2，m1n2+m2n1∈Q，
∴x1x2∈A.

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