1、三角函数最值与值域专题
三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用这一有界性求最值。
例1：求函数的值域。
解：由变形为，知，则有，，则此函数的值域是
例2,若函数的最大值是1，最小值是，求a,b
练习：1，求函数的值域
2,函数的定义域为[a，b]，值域为，则b-a的最大值和最小值之和为b
A． B． C． D．
类型二：型。此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。
例1：求函数的最值。
解：
2,求函数（）的最值。
解法:，∴函数的最大值为，最小值
2、为。
练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A、B、C、7 D、8
2,已知函数，，直线x＝t（t∈）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是 ．
类型三：型。此类型可化为在区间上的最值问题。
例1：求函数（）的最值
解：
∴函数的最大值为，最小值为
例2：求函数（，）的最大值。
解：转化为配方得：
①当，即时，在sinx=1，
②当时，即时，在sinx=－1，
③当，即时，在时，
综上：
练习：函数的值是d
A．0 B．C．D．—
类型四：型。
例：求函数的最
3、值，并求取得最值时x的值。
解：
∵， ∴，∴
∴的最小值为，此时，无最大值。
练习：已知：求的最大值及此时的集合．
解：∵，∴当时， ．此时，即．
所以的最大值为，此时的集合为．
类型五：型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例：求函数的值域。
解法1：将函数变形为，∴由，解得：，故值域是
解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，
4、由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。
练习：求函数的最值。
∴y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4], ∴ y∈[0，3/2]
类型六：含有的最值问题。解此类型最值问题通常令，，，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。
例：求函数的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。
解法1：设t=sinx+cosx，则 ∴ ∴
∴ 。
解法2：，，
练习：1,求函数的最大、最小值．
解：原函数可化为：，令，则，∴．
∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时
5、．
2,函数的值域是dA．B．
C．D．
类型七:型（转化为对号函数）函数最值问题。
例：求函数的最大、最小值
∵1－sinx≥0
∴ y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1－sinx>0时,1－sinx+≥2, ymax=1/2
已知 ，则函数的最大值与最小值的和为 .
当时,函数的最小值4
练习：1,已知，求函数的最大值；
2,当时，函数的最小值为 4
类型八：条件最值问题。
例1：已知，求的取值范围。
解：∵，∴
∵∴
∵ \
∵∴sinα=0时，； 时，
∴。
2,
6、
练习：1,已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值
2,已知，因式cosx+cosy的最大值为
A．2 B．0 C．D．D
类型九：其他问题
例1：函数在的最小值为
2,求函数的最大值和最小值，
并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。
解：∵定义域为0≤x≤1，可设且
，
∴
∵，∴，∴即
∴当或，即θ =0或（此时x=1或x=0），y=1；
当，即时，（此时），，
当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。
练习：1,求，的最大值。
2若不等式＞a，x∈()的解集非空，则参数a的取值范围为 ．
令tanx = m，则m∈R，∴原不等式化为a＜即a＜而易知的最小值为1． ∴a＜1．
5
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