1、1.2.1 平面的基本性质
一、填空题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为________．
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a
2、⊂β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；
④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．
5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)
①两条直线； ②一点和一直线；
③一个三角形； ④三个点．
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)AD/∈α，a⊂α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．
(3)a⊄α，a∩α＝A
3、．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
二、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
4、
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面
5、BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．1
解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．
2．M∈b⊂β 3．1,2或3
4．③
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A
6、的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．
5．③
6．1或4
解析 四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈m
解析 因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，
同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，
直线SE是平面SBD和平面S
7、AC的交线．
11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明
∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F⊂平面ADD1A1，
P∈CE⊂平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
