高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题.doc

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第一部分：椭圆

1． 椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形

性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

典型例题
例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
例2. 已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( )
(A) (B) (C) (D)
例3. 若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是( )
(A)(c，) (C)(0，±b) (D)不存在
例4. 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
例5 P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是 .

例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1); .
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的; ____.
(4)离心率为，经过点(2，0); .
例7 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．

第二部分：双曲线
1． 双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
(1)当ac时，P点不存在．
2． 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1 (a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性
质
范围

x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

典型例题
例8.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )
(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件
例9. 过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
例10. 双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为( )

例11. 设的顶点，，且，则第三个顶点C的轨迹方程是________.
例12. 连结双曲线与(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形的面积为，则的最大值是________．
例13.根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；
⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).

例14 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
⑴求直线AB方程；
⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

第三部分：抛物线

1． 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2． 抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下

典型例题
例15. 顶点在原点，焦点是的抛物线方程是( )
(A)x2=8y (B)x2= -8y (C)y2=8x (D)y2= -8x
例16. 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )
(A) (B) (C) (D)0
例17.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )
(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条
例18. 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于( )
(A)2a (B) (C) (D)
例19. 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )
(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(，1) (D)(0，0)
例20. 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .

例21. 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.

例22. 以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.

例23. 过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的倾斜角的范围是 .

例题答案
例1. D 例2. B 例3. C.例5. B.例7. (3,4) 或(-3, 4)
例8. (1)或; (2) ;(3)或;
(4) 或.例9. ≤
例11. B 例13. D 例16. A例17. 例18.
例19.⑴;⑵
例20.⑴直线AB：y=x+1
⑵设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3
由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）
则∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上
例21. B() 例22. B
例23. B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)
例24. C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，
则p=q=|FK|,

例25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例26. x2=8y 例27. －p2
例28. 例29.