一类分数阶Lotka-Volterra系统的动力学研究.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):554-562一类分数阶Lotka-Volterra系统的动力学研究王利波,徐瑰瑰(凯里学院理学院,贵州 凯里 556011)摘要：本文建立了一个新的分数阶Lotka-Volterra模型.首先,我们考虑所涉及的分数阶Lotka-Volterra模型的存在性、唯一性和非负性.其次,通过分析特征方程将时滞视为分岔参数,建立一个新的充分条件来保证系统的稳定性和Hopf分岔的出现.关键词：Lotka-Volterra系统;分数阶;时滞;稳定性;Hopf分岔中图分类号：O175.14AMS(2010)主题分类：34C23文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0554-091.引言长期以来,Lotka-Volterra系统一直是生态学和生物数学的中心问题之一,人们对不同类型的食饵-捕食模型的动力学行为进行了大量有价值的研究.15在现实生活中,任何生物系数或环境系数都会随着时间的推移而变化.因此,食饵-捕食者模型中的参数通常不是固定的常数,通常是关于时间的函数.特别是,周期性变化的环境对食饵-捕食者模型动态的影响对维持种群平衡起着至关重要的作用.此外,捕食者在过去时期捕获猎物对捕食者目前的出生率有重要影响.所以,建立具有周期系数的各种类型的捕食者模型是很重要的.基于这一想法,LV等人在文6中建立了一种包含周期系数的食饵-捕食者模型,具体如下:u1(t)=u1(t)(r1(t)a11(t)u1(t 11(t)a12(t)u2(t 12(t)a13(t)u3(t 13(t),u2(t)=u2(t)(r2(t)+a21(t)u1(t 21(t)a22(t)u2(t 22(t)a23(t)u3(t 23(t),u3(t)=u3(t)(r3(t)+a31(t)u1(t 31(t)a32(t)u2(t 32(t)a33(t)u3(t 33(t),(1.1)其中,u1(t)表示t时刻食饵的密度,u2(t)和u3(t)表示t时刻捕食者的密度,ri,aij C(R,0,),ij C(R,R)表示-周期函数(0),参数ij(t)0(i,j=1,2,3)表示时滞.作者应用不动点理论和构造Lyapunov函数,建立了保证模型(1.1)周期解的全局稳定性的充分条件.然而,上述工作仅是整数阶微分系统.近年来,分数阶模型的动力学行为由于其在电磁波、网络科学、生物学等众多领域的广泛应用,引起了许多作者的广泛关注710.特别是,大量关于食饵-捕食系统的各种动力学行为的成果已经涌现出来.例如,Mondal等推导了一类分数阶食饵-捕食系统稳定性保证条件9;El-Saka等分析了分数阶食饵-捕食模型的局部稳定性和分岔等10.收稿日期：2023-05-09基金项目：国家自然科学基金(11901260);凯里学院规划课题(2023XJGHYB10)作者简介：王利波,男,汉族,河南人,副教授,研究方向:常微分方程.第 2 期王利波等：一类分数阶Lotka-Volterra系统的动力学研究555可以看出,研究分数阶食饵-捕食模型的动力学(特别是Hopf分岔)是有意义的.基于已有的食饵-捕食模型(1.1),假设所有物种的反馈时间是相同的,那么我们提出以下分数阶Lotka-Volterra系统dq1u1(t)dtq1=u1(t)(r1 a11u1(t )a12u2(t )a13u3(t ),dq2u2(t)dtq2=u2(t)(r2+a21u1(t )a22u2(t )a23u3(t ),dq3u3(t)dtq3=u3(t)(r3+a31u1(t )a32u2(t )a33u3(t ),(1.2)其中,u1(t)表示t时刻食饵的种群的密度,u2(t)和u3(t)表示t时刻捕食者物种的密度,ri,aijC(R,0,)(i,j=1,2,3),参数 0为不同物种的反馈时滞,qi(0,1(i=1,2,3)为常数.系统(1.2)的初始条件为u1(0)=u10,u2(0)=u20,u3(0)=u30.本文工作的主要内容是考虑模型(1.2)的存在性、唯一性、非负性、稳定性和分岔现象.与6中的方法不同,本文将主要应用分数阶微分方程理论来讨论其动力学行为.由于分数阶的引入,食饵-捕食模型(1.2)的各种动力学行为与整数阶有所不同.有必要揭示时滞、系统参数和分数阶参数对模型(1.2)稳定性和Hopf分岔等动力学的影响.2.预备知识定义2.111函数f(t)的q 0阶Caputo导数定义为Dqt0tf(t)=1(n q)tt0f(n)(s)(t s)qn+1ds,其中,t0为初始时刻,(s)=+0ts1etdt,n 1 q n,n Z+.Caputo分数阶导数的Laplace变换为:LDqf(t);s=sqF(s)n1k=0sqk1f(k)(0),n 1 q2,则系统(1.2)的平衡点是局部渐近稳定的.引理2.214对n维分数阶系统dq1x1(t)dtq1=a11x1(t 11)+a12x2(t 12)+a1nxn(t 1n),dq2x2(t)dtq2=a21x1(t 21)+a22x2(t 22)+a2nxn(t 2n),.dqnxn(t)dtqn=an1x1(t n1)+an2x2(t n2)+annxn(t nn),(2.1)556应用数学2024其中qi(0,1)(i=1,2,n),初值xi(t)=i(t)Cmax,0,maxi,jij=max t 0,(i,j=1,2,n).记系统(2.1)的特征矩阵(s)=sq1 a11es11a12es12a1nes1na21es21sq2 a22es22a2nes2n.an1esn1an2esn2sqn annesnn,如果特征方程det(s)=0的所有根都是负实部,则系统(1.2)的零解是Lyapunov全局渐近稳定的.3.主要结论类似文15中定理的证明,可以证明如下定理3.1,定理3.2.定理3.1令=(u1,u2,u3)R3,max|u1|,|u2|,|u3|0),将它代入(3.3),并分离实部和虚部可得1cos2w+2sin2w+3cosw+4sinw=0,1cos2w+2sin2w+3cosw+4sinw=0,(3.4)其中1=wq1+q2+q3cos(q1+q2+q3)2+(c1wq1cosq12+c2wq2cosq22+c3wq3cosq32),2=(c1wq1sinq12+c2wq2sinq22+c3wq3sinq32)wq1+q2+q3sin(q1+q2+q3)2,3=(b11wq2+q3cos(q2+q3)2 b22wq1+q3cos(q1+q3)2 b33wq2+q3cos(q1+q2)2)+c4,4=b11wq2+q3sin(q2+q3)2+b22wq1+q3sin(q1+q3)2+b33wq2+q3sin(q1+q2)2,1=wq1+q2+q3sin(q1+q2+q3)2+(c1wq1sinq12+c2wq2sinq22+c3wq3sinq32),2=wq1+q2+q3cos(q1+q2+q3)2(c1wq1cosq12+c2wq2cosq22+c3wq3cosq32),3=b11wq2+q3sin(q2+q3)2 b22wq1+q3sin(q1+q3)2 b33wq2+q3sin(q1+q2)2,4=b11wq2+q3cos(q2+q3)2 b22wq1+q3cos(q1+q3)2 b33wq2+q3cos(q1+q2)2 c4.对(3.4),我们考虑两种情况.情况1若sinw=1 cos2w,对(3.4)式的第一个方程可得1(2cos2w 1)+22cosw1 cos2w+3cosw+41 cos2w=0.558应用数学2024故22cosw1 cos2w+41 cos2w2=1(2cos2w 1)+3cosw2,计算可得v1cos4w+v2cos3w+v3cos2w+v4cosw+v5=0,其中v1=421+422,v2=413+424v3=23 421+24 422,v4=213 424,v5=21 24.设cosw=,令h()=4+v2v13+v3v12+v4v1+v5v1.因此,dh()d=43+3v2v12+2v3v1+v4v1,取3+3v24v12+2v34v1+v44v1=0.设p=+v24v1,可得:p3+m1p+m2p=0,(3.5)其中m1=v32v13v2216v21,m2=v3232v31v2v38v21+v44v1.取n1=(m22)2+(m13)3,n2=1+i32.从(3.5)中可以得出:p1=3m22+n1+3m22n1,p2=n23m22+n1+n223m22n1,p3=n223m22+n1+n23m22n1.由上面的讨论,不难得到cosw的表达式,则容易得到sinw的表达式.现在,设cosw=f1(w),sinw=f2(w).显然有f21(w)+f22(w)=1.可以求得:w1k=1warccosf1(w)+2k,k=0,1,2,.情况2 若sinw=1 cos2w,同理可知cosw=g1(w),sinw=g2(w),则g21(w)+g22(w)=1.可知w2k=1warccosg1(w)+2k,k=0,1,2,.取w0=minw1k,w2k,k=0,1,2,.在后续研究中,我们检验Hopf分岔出现的横截性条件.给出的假设如下:(H2)Z11Z21+Z12Z22 0,第 2 期王利波等：一类分数阶Lotka-Volterra系统的动力学研究559其中Z11=(q1+q2+q3)wq1+q2+q310(cos(q1+q2+q31)2cos2w00 sin(q1+q2+q31)2sin2w00)+20(cos(q1+q2+q3)2cos2w00 sin(q1+q2+q3)2sin2w00)b33(q1+q2)(cos(q1+q21)2cosw00 sin(q1+q21)2sinw00)b22(q1+q3)(cos(q1+q31)2cosw00 sin(q1+q31)2sinw00)b11(q2+q3)(cos(q2+q31)2cosw00 sin(q2+q31)2sinw00)b330(cos(q1+q2)2cosw00 sin(q1+q2)2sinw00)b220(cos(q1+q3)2cosw00 sin(q1+q3)2sinw00)b110(cos(q2+q3)2cosw00 sin(q2+q3)2sinw00)c40cosw00+c1q1cos(q11)2+c2q2cos(q21)2+c3q3cos(q31)2,Z12=(q1+q2+q3)wq1+q2+q310(cos(q1+q2+q31)2sin2w00+sin(q1+q2+q31)2cos2w00)+20(cos(q1+q2+q3)2sin2w00+sin(q1+q2+q3)2cos2w00)b33(q1+q2)(cos(q1+q21)2sinw00+sin(q1+q21)2cosw00)b22(q1+q3)(cos(q1+q31)2sinw00+sin(q1+q31)2cosw00)b11(q2+q3)(cos(q2+q31)2sinw00+sin(q2+q31)2cosw00)b330(cos(q1+q2)2sinw00+sin(q1+q2)2cosw00)b220(cos(q1+q3)2sinw00+sin(q1+q3)2cosw00)b110(cos(q2+q3)2sinw00+sin(q2+q3)2cosw00)+c40sinw00+c1q1sin(q11)2+c2q2sin(q21)2+c3q3sin(q31)2,Z21=c4w0sinw00+b33wq1+q2+10(cos(q1+q2+1)2cosw00 sin(q1+q2+1)2sinw00)+b22wq1+q3+10(cos(q1+q3+1)2cosw00 sin(q1+q3+1)2sinw00)+b11wq2+q3+10(cos(q2+q3+1)2cosw00 sin(q2+q3+1)2sinw00)2wq1+q2+q3+10(cos(q1+q2+q3+1)2cos2w00 sin(q1+q2+q3+1)2sin2w00),Z22=c4w0cosw00+b33wq1+q2+10(sin(q1+q2+1)2cosw00 cos(q1+q2+1)2sinw00)+b22wq1+q3+10(sin(q1+q3+1)2cosw00+cos(q1+q3+1)2sinw00)+b11wq2+q3+10(sin(q2+q3+1)2cosw00+cos(q2+q3+1)2sinw00)2wq1+q2+q3+10(cos(q1+q2+q3+1)2sin2w00+sin(q1+q2+q3+1)2cos2w00).引理3.1假设s()=()+i()是方程(3.3)在=0附近满足(0)=0,(0)=w0的根,则Redsd|=0w=w0 0.证在方程(3.3)式两端关于求导sq1+q2+q3e2s+(b33sq1+q2 b22sq1+q3 b11sq2+q3)es+(c1sq1+c2sq2+c3sq3)+c4es=0,整理可得:(q1+q2+q3)sq1+q2+q31e2s+2sq1+q2+q3e2s+(b33(q1+q2)sq1+q21 b22(q1+q3)sq1+q31 b11(q2+q3)sq2+q31)es+(b33sq1+q2 b22sq1+q3 b11sq2+q3)es+c1q1sq11+c2q2sq21+c3q3sq31 c4esdsd=2sq1+q2+q3+1e2s+(b33sq1+q2+1+b22sq1+q3+1+b11sq2+q3+1)es+c4ess.560应用数学2024则dsd1=Z1(s)Z2(s)s,其中Z1(s)=(q1+q2+q3)sq1+q2+q31e2s+2sq1+q2+q3e2s+(b33(q1+q2)sq1+q21 b22(q1+q3)sq1+q31 b11(q2+q3)sq2+q31)es+(b33sq1+q2 b22sq1+q3 b11sq2+q3)es+c1q1sq11+c2q2sq21+c3q3sq31 c4es,Z2(s)=2sq1+q2+q3+1e2s+(b33sq1+q2+1+b22sq1+q3+1+b11sq2+q3+1)es+c4ess.所以Redsd|=0w=w0=ReZ1(s)Z2(s)|=0w=w0=Z11Z21+Z12Z22Z221+Z222.由假设(H2),可得Redsd1|=0w=w0 0.故引理成立.(H3)(b33+b22+b11)0,(b33+b22+b11)(c1+c2+c3)c4,c4 0.引理3.2假设=0且(H3)成立,则系统(1.2)是局部渐近稳定的.证若=0,则(1.2)的特征方程为:3+(b33 b22 b11)2+(c1+c2+c3)+c4=0.由(H3),可得上式的全部根满足|arg()|2qi(i=1,2,3).故结论成立.由前面的讨论,我们可得出以下结论.定理3.3假设(H1)-(H3)成立,当 0,0),则系统(1.2)在正平衡点U0=(u1,u2,u3)处是渐近稳定的,当=0时,系统(1.2)在正平衡点U0=(u1,u2,u3)会发生Hopf分岔.4.数值模拟用Matlab进行数值模拟,验证时滞对正平衡点U0=(u1,u2,u3)的影响.选取参数值如下:r1=8,a11=2,a12=3,a13=0.3,r2=2,a21=7,a22=2,a23=0.3,r3=3,a31=6,a32=0.2,a33=0.2,q1=0.93,q2=0.99,q3=0.92.计算得正平衡点(u1,u2,u3)=(1.0902,0.1880,17.5188),0=0.063.我们分别取=0 0进行数值模拟.0510152025303540t0.511.522.5u1(t)图4.10510152025303540t01234u2(t)图4.2系统在=0 0时,食饵u1(t),捕食者u2(t),u3(t)的密度随时间变化的演变图如图4.4-4.6所示.由图中可以看出,随着时间的演化其密度是振荡的,因此正平衡点(u1,u2,u3)不是稳定点.第 2 期王利波等：一类分数阶Lotka-Volterra系统的动力学研究5610510152025303540t05101520u3(t)图4.30510152025303540t-20246u1(t)图4.40510152025303540t00.511.5u2(t)图4.50510152025303540t050100150u3(t)图4.65.结论本文研究了一类Lotka-Volterra模型,得到了保证系统的存在性、唯一性和非负性的一个充分条件,利用分数阶Laplace变换、稳定性理论和Hopf分岔理论,建立了一个新的充分条件保证分数阶Lotka-Volterra系统的局部稳定性和Hopf分岔的出现.可以看到时滞对控制其稳定性有至关重要的影响.参考文献：1 ALIDOUSTI J,GHAFARI 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order;Delay;Stability;Hopf bifurcation