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应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):377-390耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为刘文涛,李建军,徒君(辽宁工程技术大学理学院,辽宁 阜新 123000)摘要：本文考虑一类含有对流项的耦合拟线性反应扩散方程组的Cauchy问题解的渐近行为,得到了临界Fujita指标并建立了Fujita型定理.该临界Fujita指标不仅与扩散项、反应项和空间维度有关,而且还和对流项有关.利用能量积分估计得到方程组解的爆破性;并利用构造方程组的自相似上解和比较原理得到方程组解的整体存在性.关键词：耦合拟线性扩散方程组;临界Fujita指标;Fujita型定理中图分类号：O175.2AMS(2010)主题分类：35B33;35B40文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0377-141.引言考虑如下形式的耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题非平凡解的爆破性和整体存在性:ut=um+b(|x|)x um+(|x|+1)vp,x Rn,t 0,(1.1)vt=vm+b(|x|)x vm+(|x|+1)uq,x Rn,t 0,(1.2)u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x Rn,(1.3)其中:p,q m 1,0,=(qm)+2(qp)pm 0;0 u0,v0 L1loc(Rn)L(Rn)是非平凡的.b C1(0,+)满足lims+s(s+1)b(s)=k(k +),(1.4)当n 0 n.(1.5)Fujita在文1中研究如下半线性方程ut=u+up,x Rn,t 0(1.6)的Cauchy问题,得到反应项指数p的取值不同,将对方程(1.6)解的长时间行为产生直接影响:1)当1 p pc=1+2n时,方程(1.6)在初值充分小时存在非负非平凡整体解,在初值充分大时存在非负爆破解.收稿日期：2023-03-23基金项目：国家自然科学基金(51704140)作者简介：刘文涛,男,汉族,山东人,研究方向:偏微分方程理论与应用.通讯作者：李建军.378应用数学2024人们称上述结果为Fujita型定理,将pc称为临界Fujita指标.近些年,关于Fujita型定理的研究取得了许多进展.数学学者对含有不同类型的区域和边值条件的非线性方程组建立了许多Fujita型爆破定理1215.Galaktionov在文2-3中将Fujita型定理推广到如下拟线性扩散方程ut=um+up,x Rn,t 0,的Cauchy问题,并得到了方程的临界Fujita指标为pc=m+2/n.相较于反应项而言,对流项对方程或方程组的影响更加复杂,这也使得越来越多的学者投身到此项研究中.近些年,作者ZHENG和WANG在文4中研究了如下含有对流项的拟线性扩散方程的齐次Neumann外区域问题非平凡解的整体存在和爆破性|x|1ut=um+kx|x|2 um+|x|2up,x Rn,t 0,umt(x,t)=0,x ,t 0,u(x,0)=u0(x)0,x Rn,其中m 1,p m,2 n 1,+,k n 1,由此发现了一个有趣的现象,即临界Fujita指数出现无穷的情形.相较于单个方程而言,耦合方程组关于Fujita型定理的结论还不够完善.在文5中首先研究了如下耦合半线性扩散方程组ut=u+vp,vt=v+uq,x Rn,t 0,的Cauchy问题.其中p,q 0,并得到了临界Fujita指标为(pq)c=1+2nmaxp+1,q+1.之后QI和Levine在文6中研究了如下耦合拟线性扩散方程组ut=um+vp,x Rn,t 0,vt=vm+uq,x Rn,t 0,(1.7)u(x,0)=u0(x)0,v(x,0)=v0(x)0,x Rn,其中0 m 1,得到临界Fujita曲线为(pq)c=m2+2nmaxp+m,q+m.并证明得到了方程组(1.7)的Fujita型定理:当pq (pq)c时,方程组既存在爆破解也存在非平凡的整体解.近些年,GAI和LIU在文7中研究了如下含有对流项的耦合半线性抛物方程组ut=u+b(|x|)x u+(|x|+1)1vp,x Rn,t 0,vt=v+b(|x|)x v+(|x|+1)2uq,x Rn,t 0,(1.8)u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x Rn,第 2 期刘文涛等：耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为379的Cauchy问题,其中p,q 1,1,2 0.作者得到了方程组(1.8)的临界Fujita指标为(pq)c=+,k n,1+2n+kmax(2+1)+p(2+2),q(2+1)+(2+2),n k +,1,k=+.本文研究含有对流项的耦合拟线性扩散方程组(1.1)-(1.3)的Cauchy问题,并得到临界Fujita指数pc=+,k n,m+2n+k,n k +,m,k=+,和Fujita型定理.定理1假设b C1(0,+)满足(1.4)和 k +.若m p pc,则对方程组(1.1)-(1.3)的每一个非平凡的解0 u0,v0 L1loc(Rn)L(Rn)都在有限时刻爆破.定理2假设b C1(0,+)满足(1.4),(1.5)和n pc,则方程组(1.1)-(1.3)既存在非平凡的整体解(小初值)又存在爆破解(大初值).本文使用的方法主要受到文8-10的启发,主要目的是得到方程组(1.1)-(1.3)非负解的整体存在性和爆破性.用能量积分估计法得到解的爆破性,通过构造方程组的自相似上解和比较原理得到解的整体存在性.值得注意的是,在方程组(1.1)-(1.3)中引入调整项(|x|+1),其目的是使得方程组的自相似上解u(x,t)=(t+)U(t+)(|x|+1)和v(x,t)=(t+)V(t+)(|x|+1)具有相同的支集.其中是由上解的定义决定的,=+(q p)/.本文的安排如下:首先将给出一些定义及定理,其次给出后续证明要使用到的引理,最后证明方程组(1.1)-(1.3)的Fujita型定理.2.准备知识本节将给出方程组(1.1)-(1.3)的上(下)解,爆破解和整体解的定义,以及一些必要的定理.定义2.1设0 T +,非负函数u,v C(0,T),Lmloc(Rn)Lloc(0,T;L(Rn).若对于任意满足当t趋近T或|x|充分大时为零的0 ,C2,1(Rn 0,T),有下面的积分不等式成立T0Rnu(x,t)t(x,t)dxdt+T0Rnum(x,t)(x,t)div(b(|x|)(x,t)x)dxdt+T0Rn(|x|+1)vp(x,t)(x,t)dxdt+Rnu0(x)(x,0)()0,和T0Rnv(x,t)t(x,t)dxdt+T0Rnvm(x,t)(x,t)div(b(|x|)(x,t)x)dxdt+T0Rn(|x|+1)uq(x,t)(x,t)dxdt+Rnv0(x)(x,0)()0,则称(u,v)为方程组(1.1)-(1.3)在(0,T)的上(下)解.定义2.2设0 T +,(u,v)是方程组(1.1)-(1.3)在(0,T)上的解,若u(,t)L(Rn)+v(,t)L(Rn)+,当t T时,380应用数学2024则称方程组(1.1)-(1.3)的解(u,v)在有限时刻爆破,也称T为爆破时间.否则,称(u,v)为方程组(1.1)-(1.3)的整体解.定理2.111(局部存在性定理)设0 u0,v0 L1loc(Rn)L(Rn),则方程组(1.1)-(1.3)的Cauchy问题至少存在一个局部解.定理2.211(比较原理)设0 T +,(u1,v1)和(u2,v2)是方程组(1.1)-(1.3)在(0,T)上的两个解,分别对应于非负初值u01(x),v01(x),u02(x),v02(x).若(u01(x),v01(x)(u02(x),v02(x)a.e.于x Rn,则(u1,v1)(u2,v2)a.e.于(x,T)Rn 0,T).3.辅助引理引理3.1假设b C1(0,+)满足(1.4),k 0,1,M0 0,使得对任意的R R0,有下式成立ddtRnu(x,t)R(|x|)dx M0R2BRBRum(x,t)R(|x|)dx+Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx,t 0,(3.1)和ddtRnv(x,t)R(|x|)dx M0R2BRBRvm(x,t)R(|x|)dx+Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx,t 0,(3.2)其中R(r)=h(r),0 r R,12h(r)(1+cos(rR)(1)R),R r R,0,r R,且h(r)=expr0sb(s)ds,r 0,而Br是Rn中以原点为球心,r为半径的开球.证显然R C1(0,+)C2(0,R)(R,R)(R,+),且R(0)=0.对(1.1)式两边同乘以R(|x|)再分部积分,可以得到ddtRnu(x,t)R(|x|)dx=Rnum(x,t)R(|x|)dx Rnum(x,t)div(b(|x|)R(|x|)x)dx+Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx=BRum(x,t)(R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)dx+Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx.(3.3)接下来分别计算R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)在BRB0和BRBR上的值.其中R(|x|)=R(|x|)+n 1|x|R(|x|),第 2 期刘文涛等：耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为381div(b(|x|)R(|x|)x)=|x|b(|x|)R(|x|)+|x|b(|x|)R(|x|)+nb(|x|)R(|x|).当0|x|R时,R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)=R(|x|)+n 1|x|R(|x|)(|x|b(|x|)R(|x|)+|x|b(|x|)R(|x|)+nb(|x|)R(|x|)=(|x|b(|x|)+b(|x|)+|x|2b2(|x|)+(n 1)b(|x|)R(|x|)(|x|b(|x|)+|x|2b2(|x|)+nb(|x|)R(|x|)=0.(3.4)当R|x|R时,R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)=R(|x|)+n 1|x|R(|x|)(|x|b(|x|)R(|x|)+|x|b(|x|)R(|x|)+nb(|x|)R(|x|)=(|x|b(|x|)+b(|x|)+|x|2b2(|x|)+(n 1)b(|x|)R(|x|)(|x|b(|x|)+|x|2b2(|x|)+nb(|x|)R(|x|)2(1)R|x|(|x|2b(|x|)+n 1)h(|x|)sin(r R)(1)R22(1)2R2h(|x|)cos(r R)(1)R=2(1)R|x|(|x|2b(|x|)+n 1)h(|x|)sin(r R)(1)R22(1)2R2h(|x|)cos(r R)(1)R.(3.5)若 k 0,使得s2b(s)+n 1 R1.(3.6)若1 n k 0,使得0 s2b(s)+n 1 k+n R2.(3.7)取R0=maxR1,R2和=2,k 1 n,n+k+1,1 n k R0,结合(3.5)-(3.7)可以得到R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)12(1)22R2h(|x|)12(1)22R2h(|x|)cos(r R)(1)R=(1)22R2R(|x|).记M0=(1)22,则R(|x|)div(b(|x|)R(|x|)x)M0R2R(|x|).(3.8)于是将(3.4)和(3.8)代入到不等式(3.3)中,可得(3.1)式成立.用同样的方法可得到(3.2)式成立.注3.1若k=+,则对于任意固定的R 0,且 1,M0 0不依赖于R,引理3.1仍然成立.382应用数学2024引理3.210假设p q 1,a,b 0,则ap+bq2p(a+b)p,若(a,b)D1,2p(a+b)q,若(a,b)D2或(a,b)D3,其中D1=(a,b)|0 a,b 1,D2=(a,b)|a 1,b 0,D3=(a,b)|0 a 0.为了证明方程组(1.1)-(1.3)非平凡解的整体存在性,下面构造方程组具有如下形式的自相似上解u(x,t)=(t+)U(t+)(|x|+1),x Rn,t 0,(3.9)v(x,t)=(t+)V(t+)(|x|+1),x Rn,t 0,(3.10)其中=+22(p 1)+(m 1),=p m2(p 1)+(m 1),1待定.若U,V C1(0,+)且Um,Vm C1(0,+)并且满足(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)0,r 0,(3.11)(Vm)(r)+n 1r(Vm)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Vm)(r)+rV(r)+V(r)+rUq(r)0,r 0,(3.12)则由(3.9)和(3.10)所定义的(u,v)即是方程组(1.1)-(1.3)的上解.引理3.3假设b C1(0,+)满足(1.4和(1.5),其中n pc且U(r)=V(r)=(A(r)1m1+,r 0,(3.13)其中s+=max0,s,0 1,取=(m+2)/.令A C1(0,+)满足A(0)=0,A(r)=A1r,0 r m+1,A2r+(A1 A2)(m+1)(n+k2)rn+k21,m+1 r m,A2r+(A1 A2)n+k2r,r m+1,这里(m 1)m(n+k1)A1(m 1)m,(m 1)m(n+k2)A2(m 1)m.上述k1,k2满足n k1,k2 0 k1,k21p m n,(3.14)则存在足够小的0 0时,有(A(r)+=A(r),即U(r)=V(r)=(A(r)1m1.取0(0,1)使得任意的0 0有A(r)r,0 r 0,t 0.(3.16)第 2 期刘文涛等：耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为383因此,对于0 r 0和每一个0 0,根据公式(3.15)和(3.16)可得(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)=mm 1A(r)U(r)+m(m 1)2(A(r)2U2m(r)n 1rmm 1A(r)U(r)mm 1(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)A(r)U(r)1m 1rA(r)U2m(r)+U(r)+rVp(r)mm 1A(r)U(r)+m(m 1)2(A(r)2U2m(r)n 1rmm 1A(r)U(r)mm 1k1rA(r)U(r)1m 1rA(r)U2m(r)+U(r)+rVp(r)=m(m 1)2(A(r)2U2m(r)1m 1rA(r)U2m(r)+U(r)mm 1A(r)U(r)mm 1n+k1 1rA(r)U(r)+rVp(r)=mA21(m 1)2r2U2m(r)A1m 1r2U2m(r)+(mA1m 1mm 1n+k1 1r A1r)U(r)+rVp(r)=A1m 1r2(mA1m 1)U2m(r)+(A1m(n+k1)m 1)U(r)+rVp(r).选取A1满足mA1m 1,A1m(n+k1)m 1.因此,存在0 1 0使得对任意的0 1有(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)0,0 r 0.(3.17)由(1.5)和k2 k,则存在0 212.通过公式(3.14)和=(m+2)/可以得到(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)k2r,r m+1,t 0.(3.18)因此对每一个0 2,当m+1 r 0时,依据公式(3.15)和(3.18)可得(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)m(m 1)2(A(r)2U2m(r)1m 1rA(r)U2m(r)+U(r)mm 1A(r)U(r)mm 1n+k1 1rA(r)U(r)+rVp(r)384应用数学2024=m(m 1)2(A2+(A1 A2)(m+1)(n+k2)rn+k2)2r2U2m(r)+(A2m(n+k2)m 1)U(r)1m 1r2(A2+(A1 A2)(m+1)(n+k2)rn+k2)U2m(r)+rVp(r)mA21(m 1)2r2U2m(r)A1m 1r2U2m(r)+(A2m(n+k2)m 1)U(r)+rVp(r)=A1m 1r2(mA1m 1)U2m(r)+(A2m(n+k2)m 1)U(r)+rVp(r).选取A1和A2满足mA1m 1,A2m(n+k2)m 1.因此存在0 3 2,使得对任意的0 3,有(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)0,m+1 r 0.(3.19)对任意的0 m,t 0时,通过公式(3.18)可以得到(Um)(r)+n 1r(Um)(r)+(t+)(t+)r 1)b(t+)r 1)(Um)(r)+rU(r)+U(r)+rVp(r)1m 1rA(r)(mm 1A(r)r)U2m(r)+(mm 1A(r)U(r)m(n+k2 1)m 1A(r)rU(r)+rVp(r)=A2m 1r2(mA2m 1)U2m(r)+(A2m(n+k2)m 1)U(r)+rVp(r).选取A2满足mA2m 1,A2m(n+k2)m 1.因此存在0 4 2使得对任意的0 m,t 0.(3.20)于是由(3.17),(3.19),(3.20)可以得到(3.11)成立.依照上面同样的方法也可以得到(3.12)成立.从而由(3.9),(3.10)和(3.13)所定义的(u,v)是方程组(1.1)-(1.3)的一个上解.4.Fujita型定理通过引理3.1,引理3.2,引理3.3将建立方程组(1.1)-(1.3)的Fujita型定理.定理1的证明 假设R,h,R0,M0由引理3.1给出.由于 k +和m p pc可得k +2p m n.选取适当的k满足k k 0使得s2b(s)R1,对任意的R R1,可以得到r0sb(s)ds=M0,0 r R1,M0+lnrk,r R1,和h(r)=expr0sb(s)dseM0,0 r R1,eM0+rk,r R1,M(r+1)k,r 0,其中M=maxsup0rR1eM0(r+1)k,suprR1eM0rk(r+1)k,M0=|k|lnR1+sup0rR1r0sb(s)ds.因此0 R(|x|)h(|x|)0,R(|x|)M(|x|+1)k0,R(|x|),x R,(4.2)这里0,R(|x|)是区间0,R上的检验函数,且M 0依赖于n,b,R1,和k.设(u,v)是方程组(1.1)-(1.3)的解,定义R(t)=Rn(u(x,t)+Rv(x,t)R(|x|)dx,t 0.这里待定,对任意的R maxR0,R1,t 0,由引理3.1可知ddtR(t)M0R2BRBRum(x,t)R(|x|)dx+Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx RM0R2BRBRvm(x,t)R(|x|)dx+RRn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx.(4.3)由H older不等式和(4.2)可得BRBRum(x,t)R(|x|)dx(BRBR(|x|+1)mqmR(|x|)dx)qmq(BRBR(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq(MBR(|x|+1)kmqmdx)qmq(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq(MnR0(r+1)n+k1mqmdr)qmq(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq Mqmq1Rn+km(n+k+)q(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq,t 0.(4.4)这里M1=Mnn 0,n是Rn中单位球的体积.对(4.4)式变形可得 M0R2BRBRum(x,t)R(|x|)dx M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq,t 0.(4.5)同理可得 M0R2BRBRvm(x,t)R(|x|)dx386应用数学2024 M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)mp,t 0.(4.6)于是将(4.5)和(4.6)代入到(4.3)中,可得ddtR(t)M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq+Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p+(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)mp+RRn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx=(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)mq(M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q+R(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)qmq)+(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)mp(M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p+(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)pmp),t 0.(4.7)再次使用H older不等式和(4.2)可得Rnu(x,t)R(|x|)dx(Rn(|x|+1)q1R(|x|)dx)q1q(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)1q Mq1q1Rn+k(n+k+)q(Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx)1q,t 0.同理可得Rnv(x,t)R(|x|)dx(Rn(|x|+1)p1R(|x|)dx)p1p(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)1p Mp1p1Rn+k(n+k+)p(Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx)1p,t 0.即Rn(|x|+1)uq(x,t)R(|x|)dx M2(R)(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q,t 0,(4.8)Rn(|x|+1)vp(x,t)R(|x|)dx M3(R)(Rnu(x,t)R(|x|)dx)p,t 0.(4.9)其中M2(R)=M2R(n+k+)q(n+k),A(q,)0,第 2 期刘文涛等：耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为387M3(R)=M2R(n+k+)p(n+k),A(p,)0,这里M2=maxM1p1,M1q1,A(q,)=(n+k+)q(n+k),A(p,)=(n+k+)p(n+k).下面针对A(q,)和A(p,)的符号进行讨论.当A(q,)0且A(p,)0时,取=q pp+1(n+k +2p m).根据(4.7)-(4.9)可得ddtR(t)(M2R(n+k+)q(n+k)(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q)mq(M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q+Mqmq2R(qm)(n+k+)q(qm)(n+k)+(Rnu(x,t)R(|x|)dx)qm)+(M2R(n+k+)p(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)p)mp(M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p+Mpmp2R(pm)(n+k+)p(pm)(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)pm)=M0Mmq2Mqmq1Rm(n+k)+n+k2(Rnu(x,t)R(|x|)dx)m+M2Rq(n+k)+n+k+(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q M0Mmp2Mpmp1Rm(n+k)+n+k2+m(RnRv(x,t)R(|x|)dx)m+M2Rp(n+k)+n+k+(Rnv(x,t)R(|x|)dx)p M0M3Rm()mR(t)+M2Rq(n+k)+n+k+(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q+M2Rp(n+k)+n+k+p(RnRv(x,t)R(|x|)dx)p.(4.10)其中M3=maxMm/q2M(qm)/q1,Mm/p2M(pm)/p1,m()=max m(n+k)+n+k 2,m(n+k)+n+k 2+(1 m).由的定义可得q(n+k)+n+k+=p(n+k)+n+k+p=.这里=(p2q p2+pqm+pm)(n+k)+(+2)(pq p2)(p+1)(p m)+n+k.于是由引理3.2可得ddtR(t)M0M3Rm()mR(t)388应用数学2024+M2R(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q+(RnRv(x,t)R(|x|)dx)p M0M3Rm()mR(t)+2pM2RminpR(t),qR(t)=mR(t)(M0M3Rm()+2pM2RminpmR(t),qmR(t).(4.11)利用k+2pm n可知m()0 0,则存在R2 0,使得M0M3Rm()212 2pM2R2 minpmR2(0),qmR2(0).(4.12)当R maxR0,R1,R2,由(4.11)和(4.12)可得ddtR(t)2(p+1)M2R minpR(t),qR(t),t 0.由于p,q m 1,则存在常数T (0,+)使得R(t)=Rn(u(x,t)+Rv(x,t)R(|x|)dx +,当t T时,而且suppR(|x|)=BR.因此u(,t)L(Rn)+v(,t)L(Rn)+,当t T时,即(u,v)在有限时刻爆破.当A(q,)=0且A(p,)0时,取=0.根据(4.7)-(4.9)可知ddtR(t)(M2(lnR)1q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q)mq(M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q+Mqmq2(lnR)(1q)(qm)q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)qm)+(M2R(n+k+)p(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)p)mp(M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p+Mpmp2R(pm)(n+k+)p(pm)(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)pm).(4.13)由于n+k 2 m(n+k+)q 0,n+k 2 m(n+k+)p 0 是非减函数,则存在R3 0使得M0Mqmq1Rn+k2m(n+k+)q12Mqmq2(lnR)(1q)(qm)q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)qm,(4.14)M0Mpmp1Rn+k2m(n+k+)p12Mpmp2R(pm)(n+k+)p(pm)(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)pm.(4.15)当R maxR0,R1,R3时,由(4.13)-(4.15)可得ddtR(t)Mmq2(lnR)m(1q)q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)m第 2 期刘文涛等：耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为389(12Mqmq2(lnR)(1q)(qm)q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)qm)+Mmp2Rm(n+k+)pm(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)m(12Mpmp2R(pm)(n+k+)p(pm)(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)pm)=12M2(lnR)1q(Rnu(x,t)R(|x|)dx)q+12M2R(n+k+)p(n+k)(Rnv(x,t)R(|x|)dx)p 2(p+1)M2M4 minpR(t),qR(t),其中M4=max(lnR)1q,R(n+k+)p(n+k).因此存在T (0,+),使方程组(1.1)-(1.3)的解(u,v)在有限时刻爆破.对于其他情形取=0,类似上述方法,便可得出方程组(1.1)-(1.3)的任意非平凡的解都在有限时刻爆破.定理2的证明由引理3.3和比较原理可得到方程组在小初值时存在非平凡的整体解.接下来证明方程组(1.1)-(1.3)在大初值时存在非负爆破解.设 R(t)=Rn(u(x,t)+v(x,t)R(|x|)dx,t 0,其中R R0,(u,v)是方程组(1.1)-(1.3)的解.由引理3.1和H older不等式可得ddt R(t)mR(t)(M0M5R2+2pM6min pmR(t),qmR(t),t 0,(4.16)其中M5=max(Rn(|x|+1)mqmR(|x|)dx)qmq(Rn(|x|+1)q1R(|x|)dx)m(1q)q,(Rn(|x|+1)mpmR(|x|)dx)pmp(Rn(|x|+1)p1R(|x|)dx)m(1p)p,M6=min(Rn(|x|+1)q1R(|x|)dx)1q,(Rn(|x|+1)p1R(|x|)dx)1p.取充分大的(u0,v0)使得M0M5R2 2(p+1)M6min pmR(0),qmR(0).于是由(4.22)可知ddt R(t)2(p+1)M6min pR(t),qR(t),t 0.下面的证明方法与定理1的证明方法类似,因此剩下的证明过程参考定理1的证明.注4.1若k=+,则方程组(1.1)-(1.3)的临界Fujita指标pc=m.若k n,则方程组(1.1)-(1.3)的临界Fujita指标pc=+.5.结论本文考虑了一类耦合拟线性扩散方程组Cauchy问题解的渐近行为,通过构造方程组的自相似上解和比较原理得到了方程组解的整体存在性,并通过能量积分估计得到方程组解的爆破性.本文所用的方法和技巧可为此类非线性扩散方程组解的长时间行为提供一定的思路.390应用数学2024参考文献：1 FUJITA H.On the blowing up of solutions of the Cauchy problem forut=u+u1+J.Fac.Sci.Univ.Tokyo Sect I,1966,13:109-124.2 GALAKTIONOV V A.Blow-up for quasilinear heat equations with 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