2020年中考数学动态问题折叠中图形存在性问题(含答案).doc

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目依据落点定折痕建立模型设出未知数列方程求解得到结论.解题核心知识点：折叠性质；折叠前后图形大小、形状不变；折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019金水区校级模拟）如图，AOB=90，点P为AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M关于射线OP对称，且直线MM与射线OA交于点N，当ONM为等腰三角形时，ON的长为 例2.（2017蜀山区期末）如图所示，ABC中，ACB=90，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，则B=.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017营口）在矩形纸片ABCD中，AD8，AB6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为 例4.（2019唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将APE沿PE折叠得到FPE，连接CE，CF，当CEF为直角三角形时，AP的长为.例5.（2019许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10，sinA=, 点M为AB边上一动点，过点M作MNAB交AD边于点N，将A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当CDE为直角三角形时，AM的长为.例6.（2019金水区校级一模） 如图，在RtABC中，AB3，BC4，点P为AC上一点，过点P作PDBC于点D，将PCD沿PD折叠，得到PED，连接AE若APE为直角三角形，则PC 例7.（2019卧龙区一模）如图，在RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E，将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F如果EFC是直角三角形，那么AD的长为 例8.（2019河南模拟）在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019金水区校级模拟）如图，AOB=90，点P为AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M关于射线OP对称，且直线MM与射线OA交于点N，当ONM为等腰三角形时，ON的长为 .【分析】分三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即MN=MO，设ONM=x，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30，进而利用三角函数求得ON的长；当MN=ON时，作出图形，得到ONM度数，利用三角函数求解；当MO=ON=OM=，此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即MN=MO，如图所示，设ONM=x，则OMM=OMM =2x,AOB=90，x+2x=90，解得：x=30，在RtNOM中，ON=；当MN=ON时，如下图所示， 由知：NOM=30，过M作MHOA于H，HM=,在RtHNM中，NM=，即ON=1；当MO=ON=OM=，此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：1或3.例2.（2017蜀山区期末）如图所示，ABC中，ACB=90，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，则B=.【分析】由题意知，CDF是等腰三角形，则CD=CF，BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当DE=BD时，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45；当BD=BE时，作出图形，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30；当BE=DE时，得FDB=90，FDB+CDF=135180，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45或30.【解析】解：由题意知，CDF是等腰三角形，则CD=CF，CDF=CFD=45，FDB=135，BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：当DE=BD时，见下图，设B=x，则DEB=x，EDB=1802x，由折叠知：A=FDE=90x，1802x+90x =135，解得：x=45，即B=45；当BD=BE时，如下图所示，设B=x，则EDB= ，由折叠知：A=FDE=90x，+90x =135，解得：x=30，即B=30；当BE=DE时，得B=EDB，FDB=FDE+EDB=A+B=90，FDB+CDF=135180，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：45或30.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017营口）在矩形纸片ABCD中，AD8，AB6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为 【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【解析】解：AD8，AB6，四边形ABCD为矩形，BCAD8，B90，根据勾股定理得：AC10由分析知，EFC为直角三角形分下面两种情况：当EFC90时，如下图所示，由折叠性质知：AFEB90，EFC90，AF=AB=6,A、F、C三点共线，又AE平分BAC，CF=ACAF=4，设BE=x，则EF=x，EC=8x，在RtEFC中，由勾股定理得：，解得：x=3，即BE=3；当FEC90时，如下图所示由题意知：FEC90，FEB90，AEFBEA45，四边形ABEF为正方形，BEAB6综上所述：BE的长为3或6故答案为：3或6例4.（2019唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将APE沿PE折叠得到FPE，连接CE，CF，当CEF为直角三角形时，AP的长为.【分析】当CEF为直角三角形时，通过分析知：FCE90，不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：EFC=90或FEC=90，作出图形求解；【答案】或1.【解析】解：分以下两种情况讨论：（1）EFC=90，如下图所示，由折叠性质知：A=PFE=90，AP=PF所以点P、F、C在一条直线上，EF=ED=3，RtCEFRtCED，由勾股定理得：CE=5， CD=CF=4，设AP=x，则PF=x，PC=x+4，BP=4x，在RtBCP中，由勾股定理得：，解得：x=，即AP=；（2）FEC=90，如下图所示，过F作FHAD于H，过P作PGFH于G，易知EFH=ECD，,即FH=, EH=,AH=PG=，由FPG=HFE，cosFPG= cosHFE，即,解得：PF=1；故答案为：或1.例5.（2019许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10，sinA=, 点M为AB边上一动点，过点M作MNAB交AD边于点N，将A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当CDE为直角三角形时，AM的长为.【分析】分两种情况讨论：当CDE90，根据折叠的性质及勾股定理求解；当DEC90，过D作DHAB于H，根据相似三角形的性质：得到DH6，AH8，设EHx，根据勾股定理得到x82，x8+2（舍去），得AEAH+HE162，于是得到AM8【答案】4或8.【解析】解：当CDE为直角三角形时，当CDE90，如下图所示，在平行四边形ABCD中，ABCD，DEAB，由折叠知：MNAB，AMEM，MNDE，ANDNAD5，由sinA，MN3，AM4；当DEC90，如下图所示，过D作DHAB于H，由题意知：HDC90，HDC+CDECDE+DCE90，HDEDCE，DHECED，sinA，AD10，DH6，AH8，设EHx，DE4，由勾股定理得：DH2+HE2DE2，62+x216x，解得：x82，x8+2（不合题意舍去），AEAH+HE162，AM8，故答案为：4或8例6.（2019金水区校级一模）如图，在RtABC中，AB3，BC4，点P为AC上一点，过点P作PDBC于点D，将PCD沿PD折叠，得到PED，连接AE若APE为直角三角形，则PC 【答案】.【解析】解：当AEP90时，设PCx，在RtPDC中，sinC，cosC，所以PDx，CDx由折叠知：DECDxBEBCCEx在ABE和EDP中，BPDE，BAE+AEB90，PED+AEB90，BAEPEDABEEPD，即，解得x故答案为:例7.（2019卧龙区一模）如图，在RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E，将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F如果EFC是直角三角形，那么AD的长为 【分析】根据勾股定理得到AB10，分三种情况讨论：CFE90，ECF90，CEF90时，得到结论【答案】或5.【解析】解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得：AB10，（1）若CFE90，在RtABC中，ACB90，1+2B+A90，由折叠知：A2，AEEF，1B，即CFBC6，在RtCEF中，由勾股定理得：CE2EF2+CF2，CE2（8CE）2+62，CE，AE，由ADEACB，得：AD；（2）当ECF90时，点F与B重合，AD5；（3）当CEF90时，则EFBC，AFEB，AAFE，AB，ACBC（与题设矛盾），这种情况不存在，故答案为：或5例8.（2019河南模拟）在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为 【答案】.【解析】解：（1）当AFG=90时，如下图所示，设CFy可得：AFGABC即解得：x；（2）当AGF=90时，如下图，设CFx在RtABC中，AB3，BC4，由勾股定理得：AC5由折叠知：GFFCAGFABC90GFECAGFABC即解得：x；故答案为：.14