点集拓扑学期末考试练习题(含答案).doc

点集拓扑学期末考试
一、单项选择题（每题1分）
1、已知,下列集族中,（ ）是上的拓扑。
① ②
③ ④ 答案:③
2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④ 答案:②
3、已知，下列集族中，（ ）是上的拓扑。
① ②
③ ④ 答案：①
4、设，下列集族中，( ）是上的拓扑.
① ② `
③ ④ 答案：②
5、已知，下列集族中，（ ）是上的拓扑。
① ②
③ ④ 答案：④
6、设,下列集族中,（ ）是上的拓扑。
① ②
③ ④ 答案：③
7、已知，拓扑，则=（ )
①φ ② ③ ④ 答案：④
8、 已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④ 答案：④
9、 已知,拓扑，则=( )
①φ ② ③ ④ 答案：②
10、已知,拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④ 答案：④
11、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④ 答案：②
12、已知,拓扑，则=( ）
①φ ② ③ ④ 答案:④
13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集个数（ )
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设，拓扑，则的既开又闭的非空真子集的个数为( )
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设,拓扑，则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设，拓扑，则的既开又闭的子集的个数为( )
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④
18、设，拓扑，的既开又闭的非空真子集个数（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②
19、在实数空间中，有理数集的内部是（ )
① ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中,有理数集的边界是( ）
① ② Q ③ R —Q ④ R 答案:④
21、在实数空间中，整数集的内部是（ ）
① ② ③ R—Z ④ R 答案:①
22、在实数空间中,整数集的边界是（ ）
① ② ③ R—Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中,区间的边界是（ ）
① ② ③ ④ 答案：③
24、在实数空间中，区间的边界是( ）
① ② ③ ④ 答案：③
25、在实数空间中，区间的内部是（ )
① ② ③ ④ 答案：④
26、设是一个拓扑空间,A，B 是的子集，则下列关系中错误的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ③
27、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ①
28、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④ 答案： ④
29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是( ）
① ②
③ ④ 答案：①
30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若,则 ② 若,则
③ 若A={},则 ④ 若， 则 答案:④
31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ )
① 若，则 ② 若，则
③ 若A=｛｝，则 ④ 若，则 答案：①
32、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ）
① ｛ ，,｛c}，{d｝，{c,d｝,｛a，b，c｝} ② {，,{c}，｛d｝，{c,d｝｝
③ ｛ ,,｛c},{a，b，c}｝ ④ ｛ ，，｛d｝，｛b,c｝,｛b,d},｛b，c，d}} 答案:①
33、设是至少含有两个元素的集合,， 是的拓扑,则（ ）是的基.
① ②
③ ④ 答案：③
34、 设，则下列的拓扑中（ ）以为子基.
① ｛ ， ，{a}，{a，c｝} ② {, ,｛a}｝
③ { ， ,{a}，｛b｝，｛a，b}｝ ④ {, }答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间中的任一单点集是 ( ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②
38、实数空间R的子集A ={1,, ，，……},则＝（ )
①φ ② R ③ A∪｛0｝ ④ A 答案：③
39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集答案:④
41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是(　　)
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④
42、已知,则上的所有可能的拓扑有(　　）
① 1个　　　② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知=｛a,b,c｝，则上的含有４个元素的拓扑有（　　）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 （ ）
① ②
③当时, ④ 当时, 答案：③
45、在实数下限拓扑空间中,区间是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设是一个拓扑空间,，且满足，则是（
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②
47、设，是的拓扑，，则的子空间的拓扑为( ) ① ②
③ ④ 答案：③
48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（ ） ① ②
③ ④ 答案：②
49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) ① ②
③ ④ 答案：②
50、设，是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（ ) ① ②
③ ④ 答案：①
51、设,是的拓扑，，则的子空间的拓扑为( )① ②
③ ④ 答案：②
52、设,是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（ ） ① ②
③ ④ 答案：④
53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（ )
① ② ③ ④ 答案：②
54、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是( ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ )① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射,则是( ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④
59、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ )① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，，则有（ ）
① ② ③ ④ 答案：②
61、有理数集是实数空间的一个（ )
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对 答案:①
62、整数集是实数空间的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对
答案:①
63、无理数集是实数空间的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对
答案:①
64、设Y为拓扑空间X的连通子集，Z为X的子集，若, 则Z为（ ）
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案:②
65、设是平庸空间,则积空间是(　　　）
① 离散空间 　　　 　② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 　　　 　　④ 不连通空间
答案:③
66、设是离散空间，则积空间是（　　　)
① 离散空间 　　　　　② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 　　　　 　④ 连通空间
答案:①
67、设是连通空间，则积空间是(　　　）
① 离散空间 　　　 　② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 　　　　 　④ 连通空间
答案:④
68、实数空间R中的连通子集E为（ )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对
答案：④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ）
① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 以上都不对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　答案：③
70、实数空间R中的连通子集E为（ ）
① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 区间或一点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　答案:④
71、下列叙述中正确的个数为( ）
（Ⅰ）单位圆周是连通的； （Ⅱ）是连通的
（Ⅲ）是连通的 （Ⅳ）和同胚
① 1 ② 2 ③　3 ④ 4
答案:②
二、填空题（每题1分）
1、设，则的平庸拓扑为 ；答案：
2、设,则的离散拓扑为 ；答案：
３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ； 答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R
5、当且仅当对于的每一邻域有 答案：
6、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;答案：
7、设是有限补空间中的一个无限子集,则= ;答案:
8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ；答案：
9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ；答案：
10、设，的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：｛2｝
11、设,的拓扑，则的子集 的内部为 ；答案：{1}
12、设，的拓扑,则的子集 的内部为 答案：｛1｝
13、设，的拓扑，则的子集 的内部为 ;答案：
14、设,则的平庸拓扑为 ；答案:
15、设，则的离散拓扑为 答案：
16、设,的拓扑，则的子集 的内部为 ；答案：｛3}
17、设，的拓扑，则的子集 的内部为 ;答案：{1}
18、是拓扑空间到的一个映射,若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚,则称映射是一个 .答案:嵌入
19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑,则称是一个 ;答案：商映射
20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集,则称映射是一个　　　　　　答案：开映射
21、设是两个拓扑空间，是一个映射,若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集,则称映射是一个　　　　　　答案:闭映射
22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得，则是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得，则是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 答案：不连通空间
25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ；答案：有限可积性质
29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个 ；答案:不连通空间。
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案：√
理由：设是离散空间,是拓扑空间,是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的。
2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑（ ）答案：×
理由：因为(1）是的拓扑，故T1，T２,从而；
（２）对任意的T1T２,则有T1且T２，由于T1， T2是的拓扑，故T1且T2，从而 T1T２；
（３）对任意的，则,由于T1， T2是的拓扑,从而UT’UT1， UT’UT2,故UT'U T1T２;
综上有T1T２也是的拓扑．
3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由:设是任一满足条件的映射,由于是平庸空间，它中的开集只有，易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续。
4、设为离散拓扑空间的任意子集,则 （ )答案：√
理由:设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以是的开子集，且有,即，从而 。
5、设为平庸空间（多于一点)的一个单点集，则 （ ）答案:×
理由：设，则对于任意，有唯一的一个邻域，且有，从而，因此是的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域，有,所以有.
6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：√
理由：对于任意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻域,且有,因此是的一个凝聚点，即，所以有。
7、设是一个不连通空间,则中存在两个非空的闭子集，使得（ ）答案：√
理由：设是一个不连通空间，设是的两个非空的隔离子集使得，显然,并且这时有:
从而是的一个闭子集,同理可证是的一个闭子集，这就证明了满足.
8、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间（ )√
理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集,令,则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空.
五．简答题（每题4分)
1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明。
答案：对于任意，设是的任何一个邻域，则有,由于,从而，因此，故.
2、设都是拓扑空间., 都是连续映射,试说明也是连续映射。
答案：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.
3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.
答案：对于,则，由于是一个闭集,从而有一个邻域使得,因此，即，所以对任何，是的一个邻域，这说明是一个开集。
4、设是一个拓扑空间，。试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.
答案：设，则，由于是一个开集,所以是的一个邻域，且满足，因此,从而,即有，这说明是一个闭集。
5、在实数空间R中给定如下等价关系:
或者或者
设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑T.
答案：
6、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
　　设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑T 。
答案：
7、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.
答案：
8、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑T。
答案:
9、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
　　设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑T .
答案：
10、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
　　设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .
答案：
11、在实数空间R中给定如下等价关系：
或者或者
　　设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T 。
答案：
六、证明题（每题8分）
1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.
证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 …………………………………………… 3分
于是是的非空子集，并且:
所以是的非空隔离子集 此外，，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明： 如果和是的两个无交的开集使得,则或者，或者。
证明:因为是的开集,从而是子空间的开集.
又因中,故 ………………… 4分
由于是的连通子集，则中必有一个是空集. 若,则;若，则………………… 8分
3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的闭集使得,则或者，或者.
证明：因为是的闭集,从而是子空间的闭集。
又因中,故 ………………… 4分
由于是的连通子集,则中必有一个是空集。 若,则;若,则………………… 8分
4、设是拓扑空间的一个连通子集满足，则也是的一个连通子集.
证明:若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集 使得.因此 ………………………………… 3分
由于是连通的,所以或者,如果，由于，所以，因此 ，同理可证如果，则,均与假设矛盾。故也 是的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族。如果,则是的一个连通子集。
证明：若是的一个不连通子集.则有非空的隔离子集使得………………………………………… 4分
任意选取,不失一般性，设，对于每一个,由于连通,从而及，矛盾，
所以是连通的. ………………………………………… 8分
6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：如果，则。
证明:若，则结论显然成立.
下设,由于是的一个既开又闭的集合，从而是的子空间的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于及连通，所以，故。………… 8分
7、设A是连通空间X的非空真子集。 证明：A的边界.
证明：若,由于，从而
，
故是的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A是X的非空真子集，所以A和均非空，于是X不连通，与题设矛盾。所以。 ……………………………………………… 8分
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。
二、辨析题(每题5分,共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）
1、拓扑空间中有限集没有聚点。
答：这个说法是错误的.
反例: ，规定拓扑 ，则当时，和都是的聚点。因为和的领域只有一个，它包含，不是的聚点，因为。
2、欧式直线是紧致空间。
答：这个说法是错误的。
反例：对而言,有开覆盖，而对于该开覆盖没有有限子覆盖.
3、如果乘积空间道路连通,则和都是道路连通空间。
答：这个说法是正确的。
证明：对于投射有，，由投射是连续的,又知是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以和都是道路连通空间。
4、单位闭区间与不同胚。
答:这个说法是正确的。
下面用反证法证明，反设与同胚，则
也是同胚映射，不连通,则 不连通,故矛盾,所以单位闭区间与不同胚。
5、紧致性具有可遗传性质。
答：这个说法是错误的。
反例 ：紧致但不紧致。
三、证明题(每题10分，共50分）
1、规定为，证明是连续映射,但不是同胚映射。
证明：由于限制在与上连续，由粘接引理，连续。但不连续,如是的闭集,但不是的闭集，所以不是同胚映射。
2、证明：空间的子空间也是空间。
证明：设是空间，是的任一子空间，需证是空间。,由是空间，所以存在在的开邻域、使得,是在中开邻域，是在中开邻域，，故是空间。
3、证明：从紧致空间到空间的连续双射是同胚。
证明：要证明连续，只需证是闭映射，设是的闭子集紧致,所以是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以是的紧致子集，又由于空间的紧致子集是闭集，所以是的闭集。
4、设是的既开又闭的子集，是的连通子集,则或者或者。
证明:是的既开又闭的子集，由于连通，则或者或者即。
5、证明：道路连通性具有可乘性质。
证明：设是是中两点，和都是道路连通，则有中道路，以为起始点，又有中道路，以为起始点,作中道路为：
,，则连接和,所以道路连通性具有可乘性质。
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