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第9章 思考题
在下面思考题中A、B、C、D的备选答案中选择正确的答案。（选择题答案请参见附录）
9.1 若用积分法计算图示梁的挠度，则边界条件和连续条件为。
v
o
q
x
L
a

（A)x=0： v=0； x=a+L： v=0; x=a： v左=v右，v/左=v/右.
（B)x=0： v=0; x=a+L： v/=0； x=a： v左=v右，v/左=v/右.
（C)x=0： v=0； x=a+L： v=0,v/=0; x=a: v左=v右.
(D)x=0: v=0； x=a+L： v=0，v/=0； x=a： v/左=v/右。
9.2梁的受力情况如图所示。该梁变形后的挠曲线为图示的四种曲线中的（图中挠曲线的虚线部分表示直线,实线部分表示曲线）。
P
a
a
a
a

x
v
x
v
x
v
x
v
(A)
(B)
(C)
(D)

B
q
C
A
v
x
x
L
a
9。3等截面梁如图所示.若用积分法求解梁的转角和挠度，则以下结论中是错误的。
（A) 该梁应分为AB和BC两段进行积分。
(B） 挠度的积分表达式中，会出现4个积分常数.
（C） 积分常数由边界条件和连续条件来确定.
（D） 边界条件和连续条件的表达式为：x=0：y=0； x=L，v左=v右=0，v/=0.
C
B
x
q
A
v
x
L
a
9.4等截面梁左端为铰支座，右端与拉杆BC相连，如图所示。以下结论中 是错误的。
（A） AB杆的弯矩表达式为M(x）=q（Lx—x2)/2.
（B） 挠度的积分表达式为：y（x)=q｛∫［∫—(Lx—x2)dx］dx+Cx+D｝ /2EI。
(C） 对应的边解条件为:x=0: y=0; x=L： y=∆LCB（∆LCB=qLa/2EA)。
（D） 在梁的跨度中央，转角为零（即x=L/2: y/=0）。
C
B
A
P
M
L
L/3
9。5已知悬臂AB如图，自由端的挠度vB=—PL3/3EI –ML2/2EI，则截面C处的挠度应为。
（A) -P(2L/3）3/3EI –M（2L/3）2/2EI.
（B） -P（2L/3）3/3EI –1/3M（2L/3）2/2EI.
（C） —P（2L/3）3/3EI –（M+1/3 PL）（2L/3)2/2EI.
(D） —P(2L/3）3/3EI –（M—1/3 PL)（2L/3）2/2EI。
P
(3)
(2)
(1)
B
A
a
a
9.6图示结构中，杆AB为刚性杆,设ΔL1，ΔL2,ΔL3分别表示杆（1),（2)，(3）的伸长，则当分析各竖杆的内力时，相应的变形协调条件为.
（A） ΔL3=2ΔL1+ΔL2。 （B）ΔL2=ΔL3-ΔL1.
（C) 2ΔL2=ΔL1+ΔL3。 （D)ΔL3=ΔL1+2ΔL2。
x
P
A
v
9。7一悬臂梁及其所在坐标系如图所示.其自由端的
（A)挠度为正，转角为负； （B）挠度为负，转角为正；
（C)挠度和转角都为正; (D)挠度和转角都为负。
R
A
B
9。8 图示悬臂梁AB，一端固定在半径为R的光滑刚性圆柱面上，另一端自由.梁AB变形后与圆柱面完全吻合，而无接触压力，则正确的加载方式是
（A)在全梁上加向下的均布载荷；
（B）在自由端B加向下的集中力;
（C）在自由端B加顺时针方向的集中力偶;
（D) 在自由端B加逆时针方向的集中力偶。
F
B
A
9。9 一铸铁简支梁，如图所示．当其横截面分别按图示两种情况放置时,梁的
（A) 强度相同,刚度不同; (B） 强度不同，刚度相同;
（C) 强度和刚度都相同; (D） 强度和刚度都不同.
第9章 习题
积分法
9.1 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。
（1） 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状;
(2） 利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角.
(b)
B
A
a
q
(a)
a
Me
B
A

习题9。1图
Me
B
A
MA
x
解：（a)
（1）求约束反力
MA＝Me
（2）画剪力图和弯矩图
x
FS

x
M
Me
(+)

(3)画挠曲轴的大致形状
Me
B
A
MA

(4）列弯矩方程
（5）挠曲线近似微分方程
（6)直接积分两次
(7)确定积分常数
边界条件:
求解得积分常数
转角和挠曲线方程是
,
(7)最大转角与最大挠度.
，
(b）
(b)
B
A
a
q
x
（1）求约束反力
FA
B

FA＝F B＝q a/2
x
FS

（2）画剪力图和弯矩图
x
M
(+)

(b)
B
A
a
q
(3）画挠曲轴的大致形状
(4)列弯矩方程
（5）挠曲线近似微分方程
（6）直接积分两次
（7）确定积分常数
边界条件：
求解得积分常数
转角和挠曲线方程是
（8）最大转角与最大挠度.
，
9。2 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数.
（1） 试写出计算梁位移的边界条件与连续条件；
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2
(d)
C
B
A
q
l/2
l/2
F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
(c)
l/2
C
B
A
q
l/2
（2） 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状。
习题9.2图
解：（a)
（1）边界条件:
（2）连续光滑条件：
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2
FA
FB
（3）求约束反力
FA =FB＝Me/l
x
FS
(+)
Me/l
(4）画剪力图和弯矩图
x
M
Me
(+)
(-)
-Me

（5）画挠曲轴的大致形状
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2

(b）
(1）边界条件：
（2）连续光滑条件：
FA
FB
F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
（3）求约束反力
FA =F, FB＝2F
（4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
F
(-)

x
M
(-)
-F
-Fl/2

F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
(5）画挠曲轴的大致形状
（c)
（1）边界条件：
（2)连续光滑条件:
(c)
l/2
C
B
A
q

l/2
FA
MA
（3）求约束反力
FA =ql/2, MA＝3ql2/8
（4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
ql/2
x
M
(-)
-ql2/8
-3ql2/8

(c)
l/2
C
B
A
q
l/2
（5)画挠曲轴的大致形状
(d)
（1）边界条件：
（2）连续条件：
q
FB
MB
FA
（3）求约束反力
A
C

MB
FA
B
FB
B
a
B

l/2
l/2

(d)

FA =ql/4=FB, MB＝ql2/8
(4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
ql/4
-ql/4

x
M
(-)
-ql2/8
ql2/32

(d)
C
B
A
q
l/2
l/2
（5)画挠曲轴的大致形状

叠加法
9。3 图示各梁,弯曲刚度EI均为常数,试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。
(b)
l/2
C
B
A
l/2
F
F
F
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2

习题9.3图
F
(1)
+
C
B
A
l/2
l/2
(2)
Me
C
A
l/2
l/2
解：a)
（1）F单独作用时
（2)Me单独作用时
（3）P和Mo共同作用时
（b）
(1)
l/2
C
B
A
l/2
F
+
(2)
l/2
C
B
A
l/2
F

A
(2)
l/2
C
B
A
l/2
F
(2)
l/2
C
B
l/2
F
Me=Fl/2

+
(22)
l/2
C
B
A
l/2
Me=Fl/2
(21)
l/2
C
B
A
l/2
F

A
(1+2)
l/2
C
B
l/2
Me=Fl/2

9。4 图示外伸梁,两端承受载荷F作用,弯曲刚度EI为常数，试问：
（1） 当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等；
（2） 当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度最大。
F
x
x
l
F

习题9.4图
(2)
M＝Fx
C
B
A
F
x
x
l
F
M＝Fx
D
(1)
+
B
A
F
FB
MB
解：
（1）自由端的挠度
（2）中点的挠度
(3）中点的挠度与自由端的挠度数值相等时
x（1）=0。705l（舍去)， x（2)=0。152l
（4）跨度中点的最大挠度
x（1）= l/2（舍去）， x(2)= l /6
9。5试计算图示刚架截面A的水平与铅垂位移。设弯曲刚度EI为常数。
C
a
A
B
h
F

习题9。5图
解：
C
B
hD
F
MA=Fa
（1）水平位移δx
分析CB杆，由B点水平位移引起
(2）铅垂位移δx
C
a
A
B
h
F
θB
分析AB、CB杆，由AB杆A点铅垂位移与CB杆B点转角引起A点铅垂位移
9。6试用叠加法计算图示各阶梯梁的最大挠度.设惯性矩I2＝2I1。
(a)
a
l1
a
F
l2
a
F
(b)
B
A
a
a
C
a
l1
l2
l1

习题9.6图
B
(1)
a
A
F
l2
(2)
a
a
F
MA=Fa
A
+

解：a）
(22)
a
a
F
A
(21)
a
a
MB=Fa
A
B
+

F
(b)
B
A
a
a
C
a
l1
L2
l1
a
a
FB=F/2
B
+
（b）
由梁的对称性,其右半端的变形与图中悬臂梁的变形相同。
由上题结论得：
9。7一跨度l=4m的简支梁如图所示，受集度q＝10 kN/m的均布载荷和P＝20kN的集中载荷作用。梁由两槽钢组成.设材料的许用应力[σ]=160MPa，梁的许用挠度［f]=l/400。试选定槽钢的型号，并校核其刚度。梁的自重忽略不计.
B
A
l
q
P

习题9.7图
解1)求约束反力
(2)画出剪力图和弯矩图
M (kNm)
40
x
(+)
Fs (kN)
-30
x
(-)
10
-10
30
(+)

（3）按正应力强度条件计算
查槽钢表，选用18号,其抗弯截面系数是W=152 cm3，I＝1370 cm4；
(4) 按刚度进行校核：
用叠加法求梁的最大挠度
刚度校核
∵[f］=l/400=4/400＝0.01m∴
轴的刚度不够。
（5） 按刚度条件计算
查槽钢表，应选用20a号，其抗弯截面系数是W=178 cm3，I＝1780 cm4；
（6） 结论:强度与刚度都足够;
q
C
B
A
a
a
9.8试求图示梁的支反力，并画剪力图和弯矩图.设弯曲刚度EI为常数。
习题9.8图
解：（1)确定静不定梁的基本结构：取B为多余约束
FB
FC
FA
q
C
B
A
a
a

A
FB
q
C
B
A
x
C
B
+
(1)
(2)
dx

2）求变形几何关系
（3)求物理关系
(4）补充方程
（5）求约束力FA、FB;
由平衡方程
（6）画剪力图和弯矩图
Fs
x
(+)
(-)
(-)
-qa/16
9qa/16
-7qa/16
M
x
(-)
(+)
qa2/16
49qa2/518

9.9图示结构,悬臂梁AB与简支梁DG均用No18工字钢制成，BC为圆截面钢杠，直径d=20mm,梁与杆的弹性模量均为E＝200GPa.若载荷F＝30kN，试计算梁与杆内的最大应力,以及横截面C的铅垂位移.
B
F
2m
G
1.4m
D
A
C
2m
2m

习题9.9图
解：(1）确定静不定梁的基本结构：取C为多余约束
(2)
F
G
D
C
F C’
B
FC
(1)
C
A

(2)求变形几何关系
(3）求物理关系
（4）补充方程
（5）求约束力Fc；
查表IAB＝IDG=1660×10-8m4,ABC＝A=πd2/4=π×10-4。
FC=10kN
(1)
C
B
A
F A
MA

（6)计算梁的最大应力
受力分析，分析（1）、(2）求约束力
∴ FD=FG=10kN
∴ Mmax（1） =10×2=20kNm
(2)
F=30kN
G
D
C
F C’ =10kN
F D
F G
∴ Mmax（2） =10×2=20kNm
∴Mmax） =20kNm
查表W＝185×10—6m3。
（7）计算杆的最大应力
(8）计算截面C的铅垂位移
思考题参考答案
9。1 (C) 9。2 （D） 9.3 (D） 9。4 （D) 9。5 C） 9.6 （C） 9。7 （D) 9.8 （C） 9.9 (B）
第11章 思考题
在下面思考题中A、B、C、D的备选答案中选择正确的答案.（选择题答案请参见附录)
F
l

A
B
11。1细长杆AB受轴向压力F作用，如图示。设杆的临界力为Pcr,则下列结论中是正确的。
(A) 仅当F下端固接于弹性地基上,如图所示，试判断该杆长度系数μ的值.
(A） μ〈0。7 (B)0。7<μ〈1 (C）1〈μ〈2 （D) μ〉2
F
l

11。3压杆下端固定,上端与水平弹簧相连，如图所示.试判断该杆长度系数μ值的范围.
(A） μ〈0。5 (B）0。5〈μ〈0.7 （C)0.7〈μ〈2 （D） μ>2
F′
①
F″
②
11。4两根细长压杆如图示，杆①为正方形截面，杆②为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积相同，若其临界荷载分别用P’lj和P''lj表示，则下列结论中是正确的。
（A）F'cr〉F’'cr （B)F'cr〈F’’cr C）F'cr=F’’cr （D) 压杆采用圆截面最为经济合理
11。5 图示两种构架中，横杆均视为刚性，各竖杆的横截面和长度均相同,材料均为A3钢.设P和P’分别表示这两种构架的最大许可荷载,则下列结论中哪些是正确的?
G
a
a
a
B
F
D
A
C
E
G′
a
a
a
B
F′
D′
A
C′
E′

(1) F〉F'；
(2) F〈F'
(3) F值完全取决于杆EG的稳定性；
(4) F'值完全取决于杆C’D'的稳定性。
(A） （1)、(3） （B） （2)、 (4） (C） （1） 、（4) （D）（2)、(3）
11。6 在横截面积等其他条件均相同的条件下，压扦采用图示哪个截面形状，其稳定性最好?
(A)
(B)
(C)
(D)

11.7 采取什么措施，并不能提高细长压杆的稳定性。
（A）增大压杆的横截面面积； （B）增加压杆的表面光洁度；
（C)减小压杆的柔度； (D）选用弹性模量E值较大的材料。
11。8图示钢桁架中各杆的横截面及材料相同，在节点A承受竖直向下的集中力P.若力的方向改为向上，其它条件不变，则结构的稳定性
F
A
B
C
α

（A） 提高； （B） 不变； （C） 降低； （D) 变化情况不确定.
第11章 习题
111图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E＝200Gpa，试用欧拉公式计算其临界载荷。
（1) 圆形截面，d=25mm，l=1.0m；
(2) 矩形截面，h＝2b＝40mm,l＝1。0m;
z

y

F
d

b

l

h

z

y

(3） No16工字钢，l＝2。0m。
习题11.1图
解：（1)圆形截面杆：
两端球铰：μ=1，
（2）矩形截面杆：
两端球铰:μ=1, Iy〈Iz
（3) No16工字钢杆：
两端球铰：μ=1， Iy截面细长压杆组成.,设载荷F与杆AB的轴线的夹角为q,且0压杆，有三种支持方式。杆长l＝300mm，截面宽度b＝20mm，高度h＝12mm，弹性模量E＝70Gpa，λ1＝50，λ2＝0，中柔度杆的临界应力公式为σcr＝382MPa – (2。18 MPa）λ。试计算它们的临界载荷，并进行比较。
习题11。3图
解:（a）
(1） 比较压杆弯曲平面的柔度:
长度系数： μ=2
(2)压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；
(b）
（1） 长度系数和失稳平面的柔度:
（2）压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力;
（c)
(1）长度系数和失稳平面的柔度：
(2）压杆是中柔度杆,选用经验公式计算临界力
三种情况的临界压力的大小排序：
11。4图示压杆,截面有四种形式.但其面积均为A＝3.2×10mm2，试计算它们的临界载荷,并进行比较。材料的力学性质见上题。
D

(d)
b

3m

(a)

2b

(c)
d

a

(b)

0.7D

F
a

z

y

z

y

习题11。4图
解：（a）
(1) 比较压杆弯曲平面的柔度:
矩形截面的高与宽:
长度系数：μ=0.5
（2)压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力:
(b)
（1）计算压杆的柔度：
正方形的边长：
长度系数:μ=0。5
(2)压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：
（c)
(1)计算压杆的柔度：
圆截面的直径：
长度系数:μ=0。5
（2）压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力:
（d）
(1)计算压杆的柔度:
空心圆截面的内径和外径：
长度系数：μ=0。5
（2）压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力;
四种情况的临界压力的大小排序:
11.5图示压杆，横截面为b×h的矩形，试从稳定性方面考虑，确定h/b的最佳值.当压杆在x–y平面内失稳时,可取μy＝0。7。
x
y
x
z
h
l
b

习题11.5图
解：（1）在x–z平面内弯曲时的柔度；
(2）在x–y平面内弯曲时的柔度；
（3） 考虑两个平面内弯曲的等稳定性;
11。6图示结构AB为圆截面杆，直径d=80 mm，A端固定，B端与BC直杆球铰连接。BC为正方形截面，边长a=70 mm,C端也是球铰。两杆材料相同，弹性模量E＝70Gpa,比例极限σp＝200MPa，长度l＝3m。求该结构的临界力。
A
B
C
P
1.5l
l

习题11。6图
解：（1）计算AB和BC杆的柔度：
（2）比较和确定计算的压杆:因为，所以AB杆的稳定性比BC杆差,选AB杆计算；
（3) 判别压杆的性质并计算临界力:
,AB是细长压杆；
11。7图示托架中AB的直径d＝4cm，长度l＝80cm，两端可视为铰支，材料是Q235钢。
(1)试按杆AB的稳定条件求托架的临界力Qcr；
（2)若已知实际载荷Q＝70kN，稳定安全系数［nst］=2，问此托架是否安全？
A
Q
D
C
B
0.6m
0.3m
0.8m

习题11。7图
解:（1）受力分析
以梁CD为研究对象,由静力平衡方程可求得
(2)AB压杆的柔度
（3）判别压杆的性质并计算临界力：
由Q235钢，E＝210 GPa，比例极限σp=200MPa，屈服极限σs=240Mpa，a=310 Mpa，b＝1.14 MPa。
AB杆为中长杆
（4)计算临界压力
(5)稳定性校核
不满足稳定要求。
思考题参考答案
11.1 （A) 11。2 （D） 11。3 （C) 11.4 (A） 11。5 (D) 11.6 (D） 11。7 (B) 11。8 （C）