专题二、分式不等式的解法知识交流.doc

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（一）分式不等式：
型如：或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式。
（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：
（1） （3）
（2） （4）
（3）小结分式不等式的解法步骤：
（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式
（2）转化为等价的整式不等式
（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）
（1）分式不等式的解法：

解关于x的不等式
方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为：
或
变式一：
等价转化为：
比较不等式及的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）

练一练：解关于x的不等式

例1、 解关于x的不等式：
解：

即，
（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）
等价变形为：
原不等式的解集为
例2、解关于x不等式
方法一：恒大于0，利用不等式的基本性质
方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。
例3、 解关于x的不等式：
解：移项
通分 即，
等价转化为，
当a>0时，原不等式的解集为
当a<0时，原不等式的解集为
当a=0时，原不等式的解集为
⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法
例1 解不等式.
分析一：利用前节的方法求解；
分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集的并集，即{x|}∪}=φ∪{x|-4写时可按下列格式：
解二：∵(x-1)(x+4)<0或
x∈φ或-44）
（-4，1）
（1，+）
x+4
-
+
+
x-1
-
-
+
(x-1)(x+4)
+
-
+
③由上表可知，原不等式的解集是{x|-40；
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-2，1，3；
③列表如下：

-2 1 3
x+2
-
+
+
+
x-1
-
-
+
+
x-3
-
-
-
+
各因式积
-
+
-
+
④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-23}.

小结：此法叫列表法，解题步骤是：
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；
②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；
③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；
④看下面积的符号写出不等式的解集.

练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1不等式的关系，能否作出函数图像求解

例2图 练习图
直接写出解集：{x|-23}. {x|-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

注意：奇穿偶不穿

例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-12+4x+4)0.
解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；
②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；
③在数轴上表示各根并穿线，如图：

④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.
说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.

2．分式不等式的解法
例4 解不等式：.
错解：去分母得 ∴原不等式的解集是.
解法1：化为两个不等式组来解：
∵x∈φ或，
∴原不等式的解集是.
解法2：化为二次不等式来解：
∵，
∴原不等式的解集是
说明：若本题带“即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是{x| -7
答案：1.⑴{x|-5-1/2}；2.{x|-13 12. 不等式的解集是
13. 不等式的解集是 14. 不等式的解集是
15. 不等式的解集是 16. 不等式的解集是
17. 不等式的解集是 18. 不等式的解集是
19. 不等式的解集是 20. 不等式的解集是

答案
1. 　　2. (-2，3)
3. 　　4.
5. 　　6.
7.　　　　8. (1，2)
9. 　　10.
11. 　　12.
13. 　　14.
15.　　　　16. [-1，2]
17.　　　　18.　　
19.　　　　20.

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