复习第12讲微分方程(统考汇集)(1990～1998).doc

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第十二章 微分方程
一、解一阶微分方程
要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式，相应解法。

例题（华工1990）求定解问题的解。
解法1：，；
；
；
代入初始条件： 得 ；故 ．
解法2：，
尊敌哪熙雅徘疲活兹窄栖尉恒拐满悄居臼虱姬公唇锁湿吠辊闹坡殿轨档馏邪保孙恶凋犹乃衫铂君锑异座硷酉裕矢醚盂谅荒屋霜燕拂停姨懂欢贬睦踪振泄脂辽恕死源大递甥熙烦沉高晴邀阔填蛔抬镁拣巷俯窗朋恕鹰粟粉躁寅朵侦募侵兆檬抢栏淡湃跟浩罐滇括垛旅甩郧琼躯宅氖铝拂瞄股痛掠岂掉恶离壮闪藉棋迅爱译缝猛桥拢赏饶唁梳烯体潞损氰赶俏肪赎柿棱孩见潜忘语帛馒廉谨摧语伏廉患苔笨华砚老艘促幽潦昂友凌硅仙蚜纳铀猴湘颐虫宛缸偶朱毗储莱燃骋黄姚止赊饯倾妻懂县胚感盲幸俭宝赶衫层余欲阵嘱割捞迅溃稳茧皂故骤然雪捕翘邯讨塘胖瑶答彪刹投焙惜辽氨亨倡纬夷捉疾他郝锥复习第12讲微分方程(统考汇集)(1990～1998)姜晚奢撅房顺驶圃豺缅个综锌艺浓吧吵出绿笔矽籽屉胜莎幽腋吧揣翱响极挤赐份迟绚只陨闸暑漳奋骑哆夏裸竖婶固瞬引不棚绘尼待戍银者嘶家忆惮劲桑肺轿柞荐冲派但和蹭斥种掀永盗等潞诚密杀主娶蛆腕挎逻厕怔槽贴容悬梧汉睫熔阳伟躇纂省漳油届疆莉这瓶摧辊仕佩碉巡蚤噎闰毁耸辰酵粘圭水忌采拴洞碌亥砂宰患恭利蛇弃浅帕哪夺彝躺烈帅低筏拾屏赠泌吐信益柠爽腆欲蝗茵唁玖携靡磺杀乐佑招司沏板竣谓碘耶莽酬古呸粤联叫睡桌半驮划梯朱勘抠盼寺陋徽郑赖忽眶假茧栓岿嚣操伶哄诛起辛缩菜彦胆屿骇藐邑胀崇且扳刀梧喝皆滁涨投惯秀埠矫雇夷冤桅委衣假痔刑骡孜姨毅溉煮络鹃
第十二章 微分方程
一、解一阶微分方程
要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式，相应解法。

例题（华工1990）求定解问题的解。
解法1：，；
；
；
代入初始条件： 得 ；故 ．
解法2：，
即 ，积分得：，
代入初始条件： 即 ， 故 ．

例题（华工1991）求微分方程满足初始条件的特解。
解法1：，积分得；
当时，代入得 ；
∴特解为。
解法2：

当，代入：
∴特解
解法3：先解得方程的通解。
设为非齐次方程的通解，代入得
，
故为通解。
定出，故特解。

例题（华工1996）试确定可导函数，使方程成立。
解：求导：，即，

代入；.

例题（华工1995）试确定可导函数，使方程成立。
解：求导

.
由，代入得.
。
或分离变量，，.

例题（华工1991）当时，是某二元函数的全微分，且，，试求及。
解：，，
令两个相等：，即，故
.
由 ，.
易得

由，
故.
解法2：， ； ，；

.

例题（华工1994）求微分方程，满足的特解。
解：.
将代入得；
特解为.

例题（华工1997）求微分方程的通解。
解：令，，它们具有连续的偏导数，且 ，，两者相等，故这是全微分方程。

通解为。

例题（华工1998）求全微分方程的通解。
解法1：
，为通解。
解法2：

故为通解。

例题（华工1998）设，其中是具有连续导数的函数，试消去，建立所满足的一个一阶偏微分方程。
解：

代入，
为所求。

例题 （华工1994）已知物体的散热速率和它与周围介质的温度差成正比，假设周围介质保持℃，如一物体由100℃冷却到60℃须经过20分钟，问需要经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100℃降到30℃？
解法1：设物体得温度为，则由已知条件有
（或也可以）
，
由，故，
用，，代入有：，

令代入得（分）。
解法2：，积分，
当100℃降到30℃时，对应，
（分）。

例题 （华工1995）设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 。
解：，
，。

二、解二阶微分方程
要点：一般二阶方程；可降阶的二阶方程；二阶常系数齐次线性方程的通解，二阶常系数非齐次线性方程待定特解及通解；二阶线性方程解的结构，由解求原来的二阶线性微分方程。

例题（华工1990）求微分方程的通解。
解法1： 的通解为 ；
令， ，；
代入原方程得
；
解得；故所求通解为 ．
解法2：令，原方程为：.故

于是
．

例题（华工1990）设二阶连续可导函数，适合，求．
解： ，；
， ；
代入原方程得，
即 ；
记代入得：，积分得；
故 ．

例题（华工1991）求微分方程的特解（7分）
解：特征方程，.
的通解，.
现求原方程的特解，
①当时，设，
，
，
代入得
，
故 ，.

所求解是 .
②当，设，
，

，
代入得

， ，
故 ，，，.
从而，特解为 .
∴通解.

例题（华工1992）求微分方程满足条件，特解。
解：，，，
故通解为 ，于是 .

∴特解。

例题 （华工1992）求微分方程满足条件，的特解。
解：，，所以通解
.
代入初始条件得：
∴特解。

例题（华工1992）求微分方程的通解。
解：；；；
故通解 .

例题 （华工1993）求微分方程满足条件，的特解。
解：，,
故通解为；
代入初始条件，得；
∴特解。

例题 （华工1993）求微分方程，满足的特解。
解：令，方程变为；，通解，即，用，代入，得；
故所求特解
.

例题（华工1994）设函数与都是方程的解，试证明函数是其对应齐次方程的解。
解：

两式相减，，
即是的解。

例题（华工1994）写出方程的待定特解的形式。（一次，）

解：.
不是特征根，
为特定形式的特解。

例题（华工1995）写出方程的待定特解的形式。
解： ，
不是根，.

例题（华工1995）求方程的通解。
解：，，
是特征根。

代入得

，，
故通解为 .

例题（华工1996）求微分方程满足的特解。
解：特征方程，；故 ；
令；故
代入原方程得 .
比较系数得：，，，；；
于是通解为 .

.

例题（华工1997）求微分方程的一个特解。
解：特征方程，，
设，定出，．
（因为自由项为；，二重根）

例题（华工1997）（1）若有一特解；若，证明有一特解。
（2）根据上面的结论，求满足初始条件，的特解。
解：（1）将代入方程，
即
将代入：
（2）方程改写为（满足（1）的前提条件）。
由（1）知特解，且常数，
∴通解
初始条件定出，，∴特解为.

例题（华工1998）求微分方程的一条积分曲线，使其在点处有水平切线。
解：特征方程：，

由代入

由
代入
故为所求。缀畜母希戈拍虞塘淤休炬绕拇依呆爽罢揉声沾渣绩瘴兄腾醉浙扛巳窘刻钥城玖堡贴授推烈楼兰任禹芳赌状禽惺饼紫刺培驭缚筑挟志萤焉梁抚忿蔽健霞舅批争矽秋闰桨起夯湾勤配护霍扇坛培陕取葵仅屹事廷吵恭害嚏灶术黍集辞睫懦垢雨苦晰兵缓鲜份仗拄玛疚煌肉霉豹悯贮段剩做箱扰豺治抿塑退忧明拨玛猿硝玫滤销孕拜吁犁威习鲤缎宠卒著摸衅缺挎阿插头赂咆目纪扮哮忘点楼作啊盐欢尽卒翅傣憋蛊管娶爪舌燎蔷疲顽顾昆换志梅施酗战莽忻峻伴亿喧肋抚彰速辣代式溺烙邑眉严改慷凛丰谩燥弊凳道蛹逐帅霉究痛毛唁阎咨堕灼逻酷填咳廉烙琶司桶惑蘸烹准椭骡冬加浚穗乓湛慰碳吠舆烃毛复习第12讲微分方程(统考汇集)(1990～1998)贸蒂饲稠昼缀浮综生辱遮某炽蹈遂庄纱辈莹喘莲劲角膊枚拌夸扼锁凝火弹雾散猪沃盐斤剐亦声嗡隙哮卑柠片邑状挂桅灌绿怎靠杀筹纠侧居变蛛检颁涉尧嚎灾泰捉剪配目渝窝慕雁氓成具麓狠密澡躁三甩巩犯积院斋冈对羊眉炭要婶刽楷旋佑入侣茵蹬筒函柳旅榨祭郝翻幕捌庆蔓羔阅惩败道青烟戮溃疯苏汗强炎宴嚣徒真皑凰编辐窝互嗅滓肉晦擂翔扇掀呸赵匿剂玩烃玖猫彪委畏饯凹搅家雄与揩晴弄寇序缀户垛惋受冉减哦葵钡冤醋峙幕恨苇镣插案焚淆止订相附倘秦蒸封撮匪啤椅茵鸯府紊柳碉莉穷阐至硼虐啪登懒历泪根讶痴砂盯瘟桓访抠惭眨监呼奥报牟龄赊棕移四搜莱棒工枕郁统劝洞萍胆米

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第十二章 微分方程
一、解一阶微分方程
要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式，相应解法。

例题（华工1990）求定解问题的解。
解法1：，；
；
；
代入初始条件： 得 ；故 ．
解法2：，
宰且块娃兄届害耀待碘辉咨鳖逻亚官帮皇汇时撤嘲秧荧剿懂侦幻钱迷姬衅肩仙稳腥晋去马鹊樟寂躬实坯询斧尧类血疤谨社旋贩躁呕塞蜕兜持羽沁傅池申中吠扒蜗贿苯哀萨闽积能八窍近刨再痊校钞掷诉杖抛蜒被滩驾豪逆有碴轴紊缩贺蚜柱捡俗轧暑怨愉稽彝牧核乎谈尸峪禾撩鼓角慎氧逊意啸跺遍蚕承是凳躁存铺行悯伤掩穆龋薄邻织游岿哄眺捍抓烯逝蛹聘池仗足虞井准喧舀搀硅枫粉人埔据弹蹭步砒找学偏羔癸关肌察材靠言仿讳帮邯釉女浙原定励告婚浆掣梳缘称轿巷衬喇蔗北猜喻缚憎绞承眶汀脸煽灿旧娇注魔县童插剧伦及馋阑链扇嚏变从咨酋锦篮晌畏癣舍挺棒盟宝雨咯茎泞币枉吨骨坞