高二数学-双曲线及其标准方程.doc

高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间：
专 题
双曲线及其标准方程
目 标
掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念
重 难 点
双曲线的定义和标准方程
常 考 点
求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程
第一部分、基础知识梳理
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
（2双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1

x
O
F1
P
B2
B1
F2

顶 点

对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线

通 径

（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（5）常用结论：
双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，线段AB的长度为,则的周长=

设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是

第二部分 例题解析
考点一：求双曲线的标准方程
例1：讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。

例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点，且焦点在坐标轴上。
（2），经过点（－5，2），且焦点在轴上。
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点

考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程
例3：已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。

例4：在中，，且，求点的轨迹。

例5：求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点。
（2）与⊙和⊙都外切。
（3）与⊙外切，且与⊙内切。

考点三、双曲线定义的运用
例6、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，求的大小。

例7、已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，求的面积。

考点四、中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
例题8 已知双曲线，过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的
中点P的轨迹方程。

第三部分 巩固练习
一、选择题：
1、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3、设O为坐标原点，，是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P＝60°，∣OP∣＝，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±＝0 D. ±y＝0
4、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

5、已知双曲线的一条渐近线方程是y＝，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6、已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠＝，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

二、填空题：
7、点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则＝___
8、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。
10、若双曲线－＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝，则ｂ等于 。

巩固练习 参考答案：
1、C 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出a与b之间的等量关系，由此可知答案选C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。
2、D 解析：不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：，
则一个焦点为，B（0，b）。
一条渐近线的斜率为：，直线FB的斜率为：，，，解得。
3、D 解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。
4、D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除D。
5、B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。
依题意知，所以双曲线的方程为
6、B 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析1】由余弦定理得
cos∠

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

7、2
解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到a＝2，c＝6，，
8、
9、
解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c＝4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
10、1
解析：由题意知，解得b＝1。
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