高三导数及其应用测试题及答案解析.doc

高三数学章末综合测试题导数及其应用
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为(　　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.
2．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)A．(0，＋∞) B. C．(－∞，－1) D.
3．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A．4 B．－ C．2 D．－
5．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
6．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是(　　) A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1) C．f(2)与f(－2) D．f(－2)与f(2)
7．若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
8．下图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)

9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝3x－2 C．y＝x＋1 D．y＝－2x＋3
10．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)
A．在(－2,1)内f(x)是增函数 B．在(1,3)内f(x)是减函数新 课标 第 一 网m]
C．在(4,5)内f(x)是增函数 D．在x＝2时，f(x)取到极小值
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)
A.、0 B．0、 C．－、0 D．0、－
12．若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝(　　) w w w .x k b 1.c o mA．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．
14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为__________．
16．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．
①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；
③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；④当x＝7时，函数f(x)有极小值．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值；
(2)若对任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；.xkb1.]
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．]
19．(12分)已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当m＞0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
20．(12分)已知函数f(x)＝(a－)x2＋lnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方，求a的取值范围．
21．(12分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a，b的值； (2)对任意x＞0，试比较f(x)与g(x)的大小．
22．(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－. (1)求a，b，c，d的值； (2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为(　　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.
解析：y′＝x2＋1，当x＝1时，k＝y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y－＝2(x－1)．当x＝0时，y＝－，当y＝0时，x＝.
∴三角形的面积S＝×|－|×＝.
答案：A
2．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
解析：由y＝4x2＋，得y′＝8x－. 令y′＞0，即8x－＞0，解得x＞，
∴函数y＝4x2＋在上递增.
答案：B
3．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：据已知可得f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′＝1.由两直线的位置关系可得－×1＝－1，解得a＝2.
答案：D
4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)
A．4 B．－
C．2 D．－
解析：∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，X k b 1 . c o m]
f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
答案：A
5．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＞3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
解析：由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a，
由3x2－a≥0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，
3x2≥a，∴a≤3.
若a＜3，则f′(x)＞0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立．
若a＝3，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0恒成立．
x＝－1时，f′(－1)＝0，∴a≤3.
答案：D
6．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是(　　)
A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(2)与f(－2) D．f(－2)与f(2)
解析：由y＝xf′(x)的图像知±2是y＝f′(x)的两个零点，设f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．
当x＞2时，xf′(x)＝ax(x－2)(x＋2)＞0，∴a＞0.
由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知，f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.
答案：D
7．若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，得f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，
令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，
令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，
∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，
即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，
∴倾斜角为.
答案：D
8．下图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)

解析：由y＝f′(x)的图像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A，C.又由图像知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D.
答案：D
9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝3x－2
C．y＝x＋1 D．y＝－2x＋3
解析：令x＝0，解得f(0)＝1.对f(x)求导，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，解得f′(0)＝1，故切线方程为y＝x＋1.
答案：C
10．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)

A．在(－2,1)内f(x)是增函数
B．在(1,3)内f(x)是减函数新 课 标 第 一 网m]
C．在(4,5)内f(x)是增函数
D．在x＝2时，f(x)取到极小值
解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)上也不是单调函数，在x＝2的左侧，函数f(x)在上是增函数．在x＝2的右侧，函数f(x)在(2,4)上是减函数，所以在x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数.
答案：C
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)
A.、0 B．0
C．－、0 D．0、－
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝，或x＝1.
从而求得当x＝时，f(x)取极大值；当x＝1时，f(x)取极小值0.故选A.
答案：A
12．如右图，若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝(　　) w w w .x k b 1.c o m
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由图像知f(1)＝3，f′(1)＝1，故f(1)＋f′(1)＝
3＋1＝4.
答案：D
第Ⅱ卷　(非选择　共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．
解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈，
∴0≤a≤2.从而g(a)＝a2－a＋1＝2＋.
当a＝时，g(a)min＝；a＝2时，g(a)max＝3. 故P点纵坐标范围是.
答案：
14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，
则F′(x)＝＋2－2ax－a＝，x∈(0，＋∞)．
当a≤0时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立．
当a＞0时，令F′(x)＝0，得x＝，或x＝－(舍去)．
当0＜x＜时，F′(x)＞0；当x＞时，F′(x)＜0.故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F，由题意F≤0恒成立，即ln＋－1≤0.令φ(a)＝ln＋－1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要条件是a≥1.
答案：[1，＋∞)
15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为__________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋k(k＞0)，∴f′(x)＝2ax＋b.又f(x)在x＝0处有极值，故f′(0)＝0，从而b＝0.由曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f′(1)＝2，∴2a＝2，得a＝1.
∴a＋b＝1＋0＝1.
答案：1

16．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号)
①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；
②函数f(x)在区间1,7)内单调递减；
③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；
④当x＝7时，函数f(x)有极小值．
解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f(x)的导函数数值大于零，所以f(x)单调递增；在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零，所以f(x)单调递减；在x＝－3左右的导函数符号不变，所以x＝－3不是函数的极大值点；在x＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f(x)在x＝7处有极小值．故②④正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值
(2)若对任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则⇒或
当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点；
当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，故函数无极值点；
故b的值为－11.
(2)方法一：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
则F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
∵x≥0，F(a)在a∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，
∴得F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0对任意的x∈[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)max，
又－3x2＋8x＝－32＋≤，
当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，得b≥，
故b的最小值为.
方法二：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
即b≥－3x2－2ax对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)max.
令F(x)＝－3x2－2ax＝－32＋，
①当a≥0时，F(x)max＝0，于是b≥0；
②当－4≤a＜0时，F(x)max＝，于是b≥.
又∵max＝，∴b≥.
综上，b的最小值为.
18．12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；.xkb1.]
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．]
解析：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，
∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．
设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.
(2)由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.
x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.
∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，
∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，
∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，
所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当m＞0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：(1)当m＝1时，f(x)＝，f(2)＝，
又因为f′(x)＝＝，则f′(2)＝－.
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝
＝.
令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝m.
∵m＞0，∴－＜m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

m
(m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减
从而f(x)在区间，(m，＋∞)内为减函数，在区间内为增函数，
故函数f(x)在点x1＝－处取得极小值f，且f＝－m2，函数f(x)在点x2＝m处取得极大值f(m)，且f(m)＝1.
20．(12分)已知函数f(x)＝(a－)x2＋lnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋lnx，f′(x)＝x＋＝.
对于x∈[1，e]有f′(x)＞0，
∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝1＋，f(x)min＝f(1)＝.
(2)令g(x)＝f(x)－2ax＝(a－)x2－2ax＋lnx，
则g(x)的定义域为(0，＋∞)．
在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方等价于g(x)＜0在区间(1，＋∞)上恒成立．
∵g′(x)＝(2a－1)x－2a＋
＝
＝，
①若a＞，令g′(x)＝0，得极值点x1＝1，x2＝，
当x2＞x1＝1，即＜a＜1时，在(x2，＋∞)上有g′(x)＞0，
此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不符合题意；
当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不符合题意；
②若a≤，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)＜0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
要使g(x)＜0在此区间上恒成立，
只需满足g(1)＝－a－≤0⇒a≥－，
由此求得a的取值范围是.
综上可知，当a∈时，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方．
21．(12分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)对任意x＞0，试比较f(x)与g(x)的大小．
解析：(1)f(x)＝lnx的图像与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)＝a＋b＝0.①
又f′(x)＝，g′(x)＝a－，
且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②
由①②得，a＝，b＝－.
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝lnx－＝lnx－x＋，
∴F′(x)＝－－＝－2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
当0＜x＜1时，F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)；
当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)．
22．(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.
解析：(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，
∴对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，
∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，
即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，
∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，
∵当x＝1时，f(x)取极小值－，
∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，
解得a＝，c＝－1.
(2)当x∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立．
假设图像上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′(x)＝x2－1知，两点处的切线斜率分别为k1＝x12－1，k2＝x22－1，
且(x12－1)(x22－1)＝－1.(*)
∵x1，x2∈[－1,1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0.
∴(x12－1)(x22－1)≥0.
此与(*)相矛盾，故假设不成立．
(3)f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在[－1,1]上是减函数，
且f(x)max＝f(－1)＝，f(x)min＝f(1)＝－.
∴在[－1,1]上，|f(x)|≤，
于是x1，x2∈[－1,1]时，
|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)|≤＋＝.