高二数学点-直线-平面之间的位置关系.doc

点，直线，平面之间的位置关系
　　一、知识网络　　

二、高考考点
　　1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.
　　2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.
　　3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.
　　三、知识要点
　　（一）空间直线
　　1、空间两条直线的位置关系
　　（1）相交直线——有且仅有一个公共点；　　（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；
　　（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.
　　2、平行直线
　　（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.　　符号表示：设a,b,c为直线，
　　（2）空间等角定理　　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
　　推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.
　　3、异面直线　　（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
　　（2）有关概念：
　　（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
　　特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.
　　认知：设 为异面直线a，b所成的角，则 .
　　（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.
　　（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.
　　（二）空间直线与平面
　　直线与平面的位置关系：　（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；
　　（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；　　（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.
　　其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.
　　1、直线与平面平行
　（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.
　（2）判定　　判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
　　认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .
　（3）性质　性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
　　2、直线与平面垂直
　　（1）定义：如果直线l和平面 内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ .
　　（2）判定：
　　判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.　符号表示： .
　　（3）性质
　　性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.　符号表示：
　　（4）概念
　　（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
　　（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
　　（三）空间两个平面
　　1、两个平面的位置关系
　　（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.
　　（2）两个平面的位置关系　（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；　（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.
　　2、两个平面平行
　　（1）判定
　　判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
　　判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.
　　（2）性质
　　性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
　　性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.
　　3、有关概念
　　（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
　　（2）两个平行平面的公垂线段都相等.　　（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
　　4、认知：
　　两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；
　　两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.
　　它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.

四、高考真题
　　（一）选择题
　　1，设 为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且 ，有如下的两个命题：
　　①若 ；②若 　那么（　　 ）
　　A、①是真命题，②是假命题； B、①是假命题，②是真命题；　C、①②都是真命题； D、①②都是假命题.
　　分析：这里 .　对于①，若 ，则l，m可能平行，也可能异面；
　　对于②，若 则 可能垂直，也可能不垂直.　　故应选D.
　　2、已知m,n是两条不重合的直线， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
　　① 　②
　　③ 　④若m,n是异面直线，
　　其中真命题是（　　　　 ）
　　A、①和②　　　　　　　　 B、①和③　　　　　　 C③和④　　　　　　　　 D、①和④
　　分析：　由面面平行判定定理知①为真命题；　注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，②为假命题；
　　③显然为假命题；　④由于m,n为异面直线，故可在 内确立两条相交直线与 平行，因而为真命题.　故应选D.
　　3，设 为平面，m,n,l为直线，则m⊥ 的一个充分条件是（　　 ）

　　分析：对于选项A，由于这里的直线m不一定在 内，故不一定有m⊥ ；
　　对于选项B，它与m⊥ 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假；　对于选项C，它与m⊥ 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，且直线m垂直于其中一个平面，则m也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题；　排除法可知应选D.选项D与m⊥ 构成的命题是：若直线m与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.
　　4、对于不重合的两个平面 ，给定下列条件：
　　①存在平面 ，使得 都垂直于 ；　②存在平面 ，使得 都平行于 ；
　　③ 内有不共线三点到 的距离相等；　④存在异面直线l,m，使得 ；
　　其中可以判定 平行的条件有（　　　　 ）
　　A、1个　　　　　　　　 B、2个　　　　　　　　 C、3个　　　　　　　　 D、4个
　　分析：对于①，垂直于同一平面 的两个平面 可能相交；
对于②，由面面平行的传递性可以判定 ；对于③，当 相交时， 内仍可存在不共线三点到 的距离等；
对于④，在m上取定点P，经过点P在l与点P确定的平面内作l＇//l，则ｌ＇与m可确定平面 .由于 　于是可知，本题应选B.
　　（二）填空题
　　1、已知m,n是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：
　　①若 　②若
　　③若 ④m,n是两条异面直线，若
　　上面的命题中，真命题的序号是　　　　　　　　　　　　　　 （写出所有真命题的序号）
　　分析：①显然为假命题；　　对于②， 内的直线m,n不一定相交，故②亦为假命题；
　　对于③，由题设知 ∴③为真命题；　对于④，由前面选择题第4题知此为真命题.
　　因此，答案为③、④.
　　2、在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于E，交 于F，则
　　①四边形 一定是平行四边形；　②四边形 有可能是正方形；
　　③四边形 在底面ABCD的投影一定是正方形；　④平面 有可能垂直于平面
　　以上结论正确的为　　　　　　　　　　　　　　 （写出所有正确结论的编号）
　　分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定理和 ，故四边形 为平行四边形，①正确；在这里，当 时，平行四边形 即 为矩形，且不可能为正方形，②不正确；③正确；而当平面 与底面ABCD（或 ）重合时有平面 ，故④正确.于是可知答案为①，③，④.
　　（三）解答题
　　1、如图1，已知ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成直二面角，如图2.
　　（1）证明： ；
　　（2）求二面角 的大小.　　
　　分析：循着解决平面图形折叠问题的基本思路：
　　（1）认知平面图形中有关线段的长度与联系；
　　（2）了解折叠前后有关线段的长度或联系的＂变＂与＂不变＂；　（3）利用＂不变＂的量与＂不变＂的关系解题.
　　在这里，由图1知， .至此（1）易证；对于（2），由（1）知 ， ，故 ，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.
　　解：（1）证明：由题设知 　∴∠AOB是所成的直二面角的平面角，即 ，
　　∴ 　　∴OC是AC在平面 上的射影　①
　　又由题设得　 　
　　从而　②　　∴根据三垂线定理由①②得， .
　　（2）解：由（1）知 ， ，　∴
　　设 ，在平面AOC内过点E作EF⊥AC于F，连结 （三垂线定理）
　　 由题设知，
　　∴ ∴
　　又 　∴　即所求二面角的大小为 .
　　点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量”与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中 ，是证明（1）以及解答（2）的基础与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.
　　2、在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB＝ .F是线段PB上一点， ，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
　　（1）证明：PB⊥平面CEF；　（2）求：二面角B-CE－F的大小.
　　 　　分析：
　　（1）要证PB⊥平面CEF，只要证PB垂直于CE或CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里， ， 故易得 BC⊥平面PAC，BC⊥AC等.注意到 ， ，便得PB⊥CF，于是问题获证.
　　（2）由（1）知CE⊥PB，从而CE⊥平面PAB，CE⊥AB，CE⊥EF，故∠BEF为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.
　　解：（1）证明：　∵PA2+AC2=36+64100=PC2　　∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，
　　同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，　△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
　故PA⊥平面ABC　 而
　　故CF⊥PB,　　 又已知EF⊥PB　∴PB⊥平面CEF
　　（II）由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC　∴AB是PB在平面ABC上的射影，　故AB⊥CE
　　在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，　EF1是EF在平面ABC上的射影，
　　∴EF⊥EC　故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。　tan∠FEB=cot∠PBA=
　　二面角B—CE—F的大小为arctan
　　点评：条件求值或证明中的已知数据经常具有双重作用，一是明确给出可用于计算或推理的量值，二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于本题，揭露并认知有关线段的垂直关系，乃是解题取胜的关键环节.
　　3、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
　　（1）求证：AE⊥平面BCE；　　（2）求二面角B-AC-E的大小；
　　（3）求点D到平面ACE的距离.　　
　　分析：（1）注意到BF⊥平面ACE，故AE⊥BF.又AE⊥CB明显，问题易证.
　　（2）注意到四边形ABCD为正方形，故想到连结BD交AC于G，若取AC中点为G，连结BG，则AC⊥BG.再连结GF，只要证GF⊥AC，便得出∠BGF为所求二面角的平面角.
　（3）注意到平面ACE经过线段BD的中点，故B、D两点到平面ACE的距离相等.据此，在直接画出并求解这一距离有困难时，可转而去求点B到平面ACE的距离，或运用体积法求这一距离.
　　解法一：
　　（1）　 平面ACE.　 　　
　　∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ，　 平面ABE，

　　（2）连结BD交AC于G，连结FG，　∵正方形ABCD边长为2，
　　∴BG⊥AC，BG= ，　 平面ACE，　由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
　　 是二面角B—AC—E的平面角.　由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，　∴AE⊥EB，
　　又 ，　∴在等腰直角三角形AEB中，BE= .
　　又 直角 　 ，
　　 　∴二面角B—AC—E等于
　　（3）
　　方法一：过点E作 交AB于点O.，OE=1.　∵二面角D—AB—E为直二面角，　∴EO⊥平面ABCD
　　设D到平面ACE的距离为h，　 　
　　 平面BCE，　 ∴点D到平面ACE的距离为
　　方法二：　∵G为BD中点，　∴D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离.
　　∵BF⊥平面ACE　∴BF即为点B到平面ACE的距离.
　　又由（2）知， 　∴所求点D到平面ACE的距离为 .
　　解法二：
　　（1）同解法一.
　　（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
　　 面BCE，BE 面BCE， 　 ，
　　在 的中点，

　　设平面AEC的一个法向量为 ，　则 即 　解得
　　令 得 是平面AEC的一个法向量.　又平面BAC的一个法向量为 ，
　　∴cos< , >= 　∴二面角B—AC—E的大小为
　　（3）∵AD//z轴，AD=2，　∴ ，　∴点D到平面ACE的距离

　　点评：直面点到平面的距离，当垂线段难以作出或者难以求出时，要注意适时转化或变通。这里（3）的解法，便给出了变通与转化的范例.
　　4、如图，在长方体 中， ，AB＝2，点E在棱AB上移动.　（1）证明： ；　　　　　　　　　
　　（2）当E为AB中点时，求点E到平面 的距离；
　　（3）AE等于何值时，二面角 的大小为 .　　
　　分析：（1）注意到这里的 不管在什么位置，它在侧面 的射影总是 ，要证 ，只要证 ，问题易证.　（2）注意到 面积易求，想到运用“体积法”.
　　（3）注意到 ，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.
　　解法一：（1）证明：∵在长方体中， ，∴四边形 为正方形　∴
　　∵ ，　 为 在侧面 上的射影.　　∴ （三垂线定理）
　　即 .
　　（2）设点E到平面 的距离为h
　由题设知在 中， ∴
　　而 　又∵ 　∴
　　∴ 　∴ 　由此得 　∴所求点E到平面 的距离为 .
　　（3）　∵ 　∴在平面AED内过点D作DH⊥CE于H，连结 ，DE，则
　　∴ 为二面角 的平面角　设
在 　又 ∴
　　∴ 　　另一方面，
∴ 　由此解得 .∴当 时，二面角 的大小为 .
　　解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
　　设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
　　（1）
　　（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），　从而 ， ，
　　设平面ACD1的法向量为 ，则 　也即 ，得 ，
　　从而 ，　所以点E到平面AD1C的距离为　
　　（3）设平面D1EC的法向量 ，　∴
　　由 　　令b=1, ∴c=2,a=2－x，　　∴
　　依题意
　　∴ （不合，舍去）， .　∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .
　点评：对于（3），设 则有 .据此，一方面利用二面角的平面角 ，可用x表出 ；另一方面，注意到EC在下底面内，又可从底面为矩形途径用x表出 .进而由EC的唯一性导出关于x的方程，通过解方程获得问题的答案.这一解方程的思路，也是解决立体几何问题的重要思路之一.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m