高一上数学经典能力题.doc

高一上学期数学能力提升题
备注：（1）黄色底纹部分不用做；
（2）若基础较好，可从第6题（红色）开始.
一、函数概念与基本初等函数Ⅰ
1、分段函数也是函数的一种形式。
例如：①已知函数，则的值是_____
已知，则的值为______
②已知，则不等式的解集是________
③若定义运算，则函数的值域是______
函数的值域呢？
④已知函数 ，若互不相等，且，则的取值范围
是______
2、对于函数，一定要注意系数！
例如：若对一切恒成立，则的取值范围是___

3、求解与函数、不等式有关的问题（如值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等），要注意优先考虑定义域。影响定义域的因素主要有①分母；②偶次根式被开方数；③对数真数；对数底数且；④负指数、零指数幂的底数；⑤问题的实际意义。
例如：①函数的定义域为_________；②函数的定义域是
4、还记得复合函数的求法吗？——一般地，若定义域为，复合函数定义域由解出；若定义域为，则定义域相当于时的值域。
例如：①若函数的定义域为，则的定义域为__________；
②若函数的定义域为，则函数的定义域为________
5、还记得函数值域的常用求法吗？（①单调性法；②换元——根式、三角等；③数形结合；④基本不等式；⑤判别式法；⑥导数法，等等），其中，单调性是我们的首选。
例如：①的值域是_________ ②函数的值域是______
③的值域是_________ ④的值域为___________
⑤已知点在圆上，则的取值范围是_________
⑥若函数在上的值域为，则
6、函数为奇函数与之间到底是什么关系呢？
例如：①若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的____________条件
②已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为___
③已知函数为定义域上的奇函数，则实数
④若函数为偶函数，为奇函数，则__

7、你会利用函数的奇偶性解题吗？
例如：①设是定义在上的奇函数，当时，，则______
②函数，若，则的值为____
③已知，若偶函数，且的最小值为1，
则_____
④已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，
若，则____
⑤已知函数，若，则实数的取值范围是_______
⑥已知函数的最大值为，最小值为，那么 ____
8、你会利用函数的单调性解题吗？利用函数的单调性，不仅可以比较大小，解不等式，还可以求函数的最值，研究方程的零点的个数。
例如：①定义在上的函数，如果，
则实数的取值范围为　　_____
②已知是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，
若， ，，则大小关系是________
已知函数，令，则的大小为________
③已知，设函数的最大值为，最小值为，
那么___
9、函数周期性——函数满足，则是周期为的周期函数。
记住：函数满足，则的周期。
例如：①若，则=______
②设是上的奇函数，，当时，，
则等于_____
③设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中．
若，则的值为
10、对称性——轴对称，点对称，两个函数之间的对称，还记得吗？
（1）一个函数图像自身的对称性
性质1：的图像关于直线对称
性质2：的图像关于点对称.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数与的图像关于直线对称；
2.函数与的图像关于直线对称；
3.函数与的图像关于原点对称；
4.函数与的图像关于直线对称（无需死记，掌握推导）
例如：①若是上的奇函数，则函数的图象必过定点
②已知定义在上的函数满足为奇函数，且，则
③在同一坐标系内，函数的图象关于_____对称
④在同一坐标系内，函数和的图象关于_____对称
11、函数图像——包括图像变换、数形结合等，能熟练掌握了吗？
例如：①方程的实根个数是
②已知函数是上的增函数，则的取值范围是_________
若函数对任意的都有，则实数的取值范围
是______
已知函数，数列满足，且是单调递增数列，
则实数的取值范围是______
③已知实数,，当时，恒成立，实数的取值范围是，则
x
y
O
1
1
－1
－1

④函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集为 ______
函数的图象是以原点为圆心，1为半径的两段圆弧，则不等式的解集为______________
⑤已知函数，且关于的方程有6个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为_____
12、 指数、对数的运算法则要熟练掌握——
关注：，，，，，，
例如：①若，则（用表示）；②的值为_____
13、涉及指对数型函数的单调性时，注意对底数的讨论
例如：①若函数在区间上的最大值和最小值之差为，则实数的值为_______；
②若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________
14、幂函数有哪些性质？
例如：①已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为___
②当时，幂函数的图象不可能经过第_________象限
15、什么是函数的零点？如何解决根的分布问题？
例如：①若函数的零点在区间内，则整数____
②已知函数 的零点，其中常数满足，
则的值是__
③函数零点的个数为
④已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是________
⑤*若关于的不等式的解集中仅有4个整数解，则实数的取值范围为
16、二次函数——必须熟练掌握基本的配方，开口、对称轴、特殊点等，并注意在指定区间上的讨论，含参问题，包括带绝对值问题等，注意数形结合的合理使用。
例如：①设二次函数，如果，则等于_____
②已知函数是偶函数，定义域为，则____
③已知函数满足，则的取值范围是_________
已知函数满足，若存在，使得，
则的取值范围是_________
④已知函数，设的最大值为，则当取最小值时，
17、抽象函数利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。——还记得哪些？
常见抽象函数的特征表达式：
①正比例函数型： ---------------；
②幂函数型： --------------，；
③指数函数型： ------------，；
④对数函数型： -----，；
⑤三角函数型： -----
例如：①若为偶函数且在上是减函数，又，则的解集为___________
②设的定义域为，对任意，都有，且时，，
又，(1)求证为减函数； (2)解不等式.

③定义在上的单调函数满足且对任意都有．
(1) 求证为奇函数；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
18、对于一些多选题、新颖定义的题目，需要仔细阅读，利用掌握的函数性质求解。
例如：①在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过 个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数(1)；(2)；(3)； (4)，其中是一阶整点函数的是_________
②定义在上的函数，若对任意，都有，则称为
“函数”，给出下列函数：（1）；（2）；（3）；
（4），其中是“函数”的个数为________
③已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
（1）；（2）；（3）；
（4），其中是“垂直对点集”的序号是
④设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”。现给出下列函数：（1）；（2）；（3）；
（4）是定义在实数集的奇函数，且对一切均有。
其中是“倍约束函数”的是___ ___
⑤若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：（1）；（2）；（3） ；（4），
其中所有存在“稳定区间”的函数序号是____ _____
⑥已知为点集，记性质为“对，均有”。给出下列集合：
（1）；（2）；（3）；
（4），其中所有具有性质的点集序号是_________

二、基本初等函数Ⅱ（三角函数），三角恒等变形
1、是否熟悉了三角函数的定义？
例如：①已知角的终边过点，且，则的值为_____
设角的终边过点，则的值是_____
②“且”是“为第三象限角”的_________条件
③已知点在直线上，则实数的值为_____
已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，______
2、同角三角函数关系还记得吗？齐次式呢？
例如：①若，则
②已知，则＝____； ＝_____
3、熟记诱导公式吧！——奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视a为锐角)
例如：①求值：；②______
③已知
4、对函数——掌握五点法作图，图象变换，注意对图象的影响。
例如：①将函数上点的横坐标缩短到原来的，然后再向右平移个单位后的图象解析式是____________
②将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴可以是__________
③已知函数的图象（部分）如图所示，则_________
④已知，函数在区间上单调，那么的取值范围是_________
5、如何求函数的值域呢？对称轴、对称中心、单调区间、最小正周期呢？
例如：①函数的值域是________
②如果函数的图象关于对称，则的最小值为______
③设，若在上关于的方程有两个不等的实根，
则___
④若函数在上单调递增，则的最大值为
⑤函数的单调递增区间是_
⑥若函数的图象和直线的交点中，最近两点之间的距离为，
则____
6、三角公式记住了吗？两角和与差的公式？二倍角公式？
解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数，看特征”,基本的技巧有：巧变角,公式变形
使用,化切为弦,用倍角公式将高次降次。
例如：①函数是偶函数，则____
②化简
求值： 求值：=
③已知______；
④已知，，那么____
若，，，，则____
的值为______
已知，则的值等于______
⑤函数的单调递增区间为_____________________
7、你还记得之间的关系吗？
例如：①已知，则
②若，则函数的最大值为______
8、运用时千万别把算错呀！
例如：①已知为偶函数，则的值为____________
②中，内角成等差数列，则的取值范围是_________
9、在三角函数求值中，千万别忽视角的取值范围，别让遗憾产生！
例如：①已知，则
②在中，，，则
10、多项选择题，需要对知识掌握全面，不遗漏每个题支。
①给出下面的三个命题，其中正确的命题个数______________
（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；
（3）是函数的图象的一条对称轴
②下列五个命题，其中真命题的序号是 （1）的最小正周期是；
（2） 终边在轴上的角的集合是；
（3）在同一坐标系中，的图象和的图象有三个公共点；
（4) 在上是减函数；
（5）把的图象向右平移得到的图象。
③下列命题，其中真命题的个数是____
（1）若锐角满足 则；
（2）若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则； w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
（3）在中，“”是“”成立的充要条件；
（4）要得到函数的图象, 只需将的图象向左平移个单位，

三、平面向量
1、平面向量的基本概念，如：向量的表示、向量的长度、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量等。向量的加法法则和减法法则？
①平面上有四个互异的点，满足，则是_________三角形
（3） 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为_____三角形
②若非零向量、满足，则与的夹角是_______
③半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径的中点，则的值是_____
改：为半径上任意一点，则的最小值为___
④如图，在中，，是上的一点，若，
则实数_____
2、什么是向量的线性运算？会运用平面向量基本定理解题吗？
例如：①若，则 “”是“三点共线”的__________条件
已知三点共线，是该直线外的一点，且满足,则____
②在中，为线段上的一点，，且，则
在中，点是上一点，且，又，则___
中，，若，则
若在直线上存在不同的三个点，实数满足（点不在上），
则____
③设分别是的斜边上的两个三等分点，已知，则
如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若，，
且，则
④如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为
P
A
D
C
M
B

3、向量共线（或垂直）的充要条件是什么？注意坐标运算的差异。
（）；
例如：①已知向量,若向量与向量共线，则的值为
②已知向量与垂直，则实数的值为_____

4、两个向量夹角是怎样定义的?它的取值范围是什么?
例如：①在边长为1的正三角形中，则
②已知，且的夹角大于，则实数的取值范围是______
5、注意向量夹角与数量积的关系。 为锐角； 为钝角
例如：若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是________
已知，与的夹角为，且向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是____
6、你会求两个向量的数量积吗？
计算两个向量的数量积，有两种方法：和。
例如：①已知向量，的夹角为,,则
②已知，且关于的方程有实数根，则与夹角的取值范围是______.
③在边长为1的正六边形中，的值为_____
在平行四边形中，已知，
为的中点，则___
7、注意向量运算的转化，减少运算。
例如：如图，半径为2的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是 ____
8、在中，有哪几个心？
（1）（其中为边中点）； （2）为的重心；
（3）为的垂心；
（4）向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
例如：①若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，
设，则的值为___
②在中，点满足，若 ，则实数的值为
已知点是的重心，若，，则的最小值是____
中，重心为，若，则
③已知点为的外心，且,则
④已知点为所在平面内一点，且，则一定为的_____心
⑤已知平行四边形ABCD满足：AB＝，＋＝，则它的面积为_____
9、向量综合。
例：①设是内部一点，且，则的面积之比为
改为：呢？
②正方形边长为，为中点，若为正方形内（含边界）任意一点，
则的最大值为
③已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数, 的最小值是　　　
④如图放置的边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动，则的最大值是
如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第
一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是
⑥已知非零向量，满足，，则的最小值为
已知非零向量，，则的最小值为