算法设计与分析期末备考知识点总结.doc

l 通俗地讲，算法是解决问题的方法，严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列.
l 算法还必须满足一下五个重要特性:输入、输出、有穷性、确定性、可行性.
l 程序（Program）是对一个算法使用某种程序设计语言的具体实现，原则上，算法可以用任何一种程序设计语言来实现。
什么是算法的计算复杂性？
l 算法分析指的是对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间（时间复杂性和空间复杂性进行估算，所需要的资源越多，该算法的复杂性就越高.
l 表示计算复杂性的O你掌握了?
若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T(n）≤c×f（n）,则称T（n）=O(f(n))（或称算法在O(f(n)）中)。
我们主要介绍了哪几种算法设计方法？
分治法:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。
减治法：减治法在将原问题分解为若干个子问题后，利用了规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间的关系,这种关系通常表现为：
（1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；
（2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。
由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解.
动态规划法、贪心算法、回溯算法、概率
RAM程序
分治法——-—-—合并排序
设算法4。3对n个元素排序的时间复杂性为T(n）,则该二路归并排序算法存在如下递推式：
二路归并排序的时间代价是O(nlog2n)。
所需空间只 要O（m+n+min（m， n）)的空间就够了（假设两个合并串的长度分别为m和n）。
分治法—-——--快速排序
在最好情况下在具有n个记录的序列中,一次划分需要对整个待划分序列扫描一遍，则所需时间为O(n).时间复杂度为O(nlog2n）。
在最坏情况下必须经过n—1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n—i次关键码的比较才能找到第i个记录的基准位置，因此，总的比较次数为：
时间复杂度为O(n2)
分治法-—--—-最大子段
递推式： 算法时间复杂度: O（nlog2n）
分治法—-—--—棋盘覆盖问题
T（k）满足如下递推式：
分治法-—————循环赛日安排问题
基本语句的执行次数是:
算法的其时间复杂性为O（4k）。
顺序统计问题：
算法１ 找出n个元素中的第k个最小元素
输入 ：从一个有线性序的集合中抽出的n个元素的序列S及一个整数k，1≤k≤n。
输出 ：S中的第k个最小元素
算法2
算法2的期望时间是O(n).最坏情况O（n2）
减治——-—-插入排序(手工题）
堆的概念：
n个元素的序列{K1,K2，….。Kn}，当且仅当满足
动态规划求解TSP问题
注：用动态规划解决TSP问题，算法的时间复杂性为O(n22n）。和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂性是O(n!）的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数时间. 但遗憾的是这一动态规划算法需要O（n2n）的空间。当n较大时，空间难以满足.
多段图的最短路径算法:
1．For （i=1； i〈=n； i++)
COST［i］=0；初始化：数组cost[n]初始化为最大值,数组path［n]初始化为-1；
2．for （i=n—2; i>=0; i-—)
2.1 对顶点i的每一个邻接点j，根据
cost［i］=min{cij+cost［j]｝ (i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点）计算cost［i];
2.2 根据 path[i]=使cij+cost[j]最小的j 计算path［i］；
3．输出最短路径长度cost[0］；
4。 输出最短路径经过的顶点：
4。1 i=0
4。2 循环直到path［i］=n—1
4.2.1 输出path[i］；
4.2.2 i=path［i］;
最优二叉查找树算法：
最优二叉查找树是以这n个记录构成的二叉查找树中具有最少平均比较次数的二叉查找树，即 最小,其中pi是记录ri的查找概率，ci是在二叉查找树中查找ri的比较次数。

回溯法—--—解空间树的动态搜索过程
注：搜索过程中，采用两种策略避免无效搜索:
1. 用约束条件剪去得不到可行解的子树；
2. 用目标函数剪去得不到最优解的子树。
例一: 对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为{20, 15， 10}，价值为{20, 30， 25}，背包容量为25,从图8。2所示的解空间树的根结点开始搜索,搜索过程如下：
(注：树枝左侧为1,右侧为0，1代表装包,0代表不装包，从上到下每一层代表一个物体)
例二： 对于n=4的TSP问题，解空间树如下:代价矩阵C如下：

1. 目标函数初始化为∞;
2. 从结点1选择第1棵子树到结点2，表示在图中从顶点1出发；
3. 从结点2选择第1棵子树到达结点3,表示在图中从顶点1到顶点2，依代价矩阵可知路径长度为3；
4. 从结点3选择第1棵子树到达结点4，表示在图中从顶点2到顶点3，依代价矩阵可知路径长度为3+2=5；
5. 从结点4选择唯一的一棵子树到结点5，表示在图中从顶点3到顶点4，路径长度为5+2=7,结点5是叶子结点，找到了一个可行解,路径为1→2→3→4→1,路径长度为7+3=10，目标函数值10成为新的下界，也就是目前的最优解；
6. 从结点5回溯到结点4，再回溯到结点3,选择结点3的第2棵子树到结点6，表示在图中从顶点2到顶点4，路径长度为3+8=11，超过目标函数值10,因此，对以结点6为根的子树实行剪枝;
搜索后的结果图：

回溯法——-—图着色问题的算法
用m种颜色为一个具有n个顶点的无向图着色
设数组color［n]表示顶点的着色情况,回溯法求解m着色问题的算法如下：
回溯法-—--n皇后问题的算法