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正态分布教案
一、教材分析
正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章“随机变量及其分布"的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充,也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续.该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用.
旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源.新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。
正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。在这里学习正态分布,也有利于学生在大学阶段的进一步学习。
二、教学目标
1．知识与技能
① 通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源
②通过借助几何画板,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
2．过程与方法
①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法
② 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力
3、情感态度与价值观
①通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
②通过原则的学习，充分感受数学的对称美
三、重点、难点
重点：正态分布密度曲线的特点，利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
难点：正态分布密度曲线的特点
四、教法与学法
学情分析
在必修三的学习中,学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。
根据以上学情，我采取了如下的教学方法:
1、教法
本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程,所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。通过“观察-探究—再观察-再探究”等思维途径完成整个教学过程.而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣,还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。
2、学法
纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：
⑴ 观察探究：
观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）
⑵ 归纳分析：
引导学生观察归纳,能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。(如通过几何画板的观察,归纳分析参数、对图像的影响）
⑶ 理解应用
在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值,提高学习数学的兴趣。（如例题2及作业B组题的设置)
五、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
以境激情
通过对高尔顿板试验进行演示.

教师创设情境，为导入新知做准备。
学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。
学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。
教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。
研
探
论
证
1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律
⑴ 将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表。
⑵ 以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图
⑶ 将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.
在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。
教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？
学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率
教师引导学生得到:此时小球与底部接触时的横坐标是一个连续型随机变量.
教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。

通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.
通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解.
这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。
通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程.

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
研
探
论
证
2．正态曲线:
曲线中任意的一个均对应着唯一的一个值，经过拟合,这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像:
，
其中是圆周率，是自然对数的底，实数和（＞0）为参数。我们称的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线。
与分别反映的是均值与标准差。
教师提出课题并板书：正态分布
教师分析正态分布密度曲线表达式的特点,并指出两个参数的实际意义。

与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源.
3．正态曲线对应的解析式中含有两个参数和。下面结合函数解析式研究曲线特点,并分析参数和对曲线的影响:
⑴固定的值，观察对图像的影响

学生研探新知,并进行推理论证.
其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维.
教师利用几何画板，先后固定参数和,通过变化参数和的值得到一系列正态曲线,学生观察图像,分组讨论并派代表发言。
学生通过观察得到:当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；结合解析式分析知时它是个偶函数，于是参数决定了正态曲线的对称轴，时的图像可由时的图像平移得到.(教师板书：曲线是单峰的，它关于直线对称)
同时得到：曲线在时达到峰值（教师板书）。
针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度。
该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力。

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
研
探
论
证

⑵固定的值，观察对图像的影响
⑶ 综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？
学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一定时,影响了曲线的形状。即：越小,偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高;越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。
综合以上的图像并结合解析式分析得到:曲线位于轴上方，与轴不相交。（教师板书）.
最后引导学生由概率知识知:曲线与轴之间的面积为1（教师板书)。
该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。
这样的处理很好地突出了重点,突破了难点。
这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫。
4．曲线与轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量落在对称轴两侧的概率都是.请思考:对于任意一个随机变量,如何求出落在给定区间内的概率？
O
y
x

引导学生回忆得到：落在区间的概率的近似值其实就是在上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数在区间上的定积分.即：

通过设疑，引起学生对问题的深入思考,通过复习、巩固原有知识,以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
研
探
论
证
5． 正态分布概念：
一般地,如果对于任何实数＜，随机变量满足
，则称的分布为正态分布,常记作.如果随机变量服从正态分布，则记作.
教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。
引导学生分析得到，所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率.
以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀,易于接受新知识。同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯.
6．3原则
几何画板演示3原则：

引导学生分析，求定积分,通常需要求出原函数.根据现有知识，无法求原函数。得寻求别的方法求概率。
教师通过利用几何画板演示随机变量落在区间,
与
这三个区间内的概率，引入3原则的内容，并指出：在区间以外取值的概率只有0。0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
所以,在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取
之间的值，简称原则.我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。
（教师板书3原则的内容)

学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问,激发了他们要解决问题的欲望,变“要我学”为“我要学"。
新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难.教师利用几何画板，从数与形上体现了3原则的内容,能很好加深学生的印象便于理解.
这为后面3原则的应用作了铺垫.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
反
馈
矫
正
例题1 把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线,下列说法不正确的是（ ）
A．曲线仍然是正态曲线
B．曲线和的最高点的纵坐标相等
C．以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大2
D．以曲线为正态分布的总体的期望比以曲线为正态分布的总体的期望大2
学生独立分析，并学生间互问互检,质疑答辩.教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识。
学生易分析知：正态曲线经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与即均值(期望)有关。故C选项的说法不正确。
通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解。
例题2 某地区数学考试的成绩服从正态分布,其密度函数曲线如下图：
20 40 60 80 100
y
x
O

① 写出的分布密度函数;
② 求成绩位于区间的概率是多少？
③ 求成绩位于区间的概率是多少？
④ 若该地区有10000名学生参加考试,从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人?
学生相互讨论,根据对称轴可知，根据峰值可知,代入正态曲线表达式可得：
由知：

通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情。
本例是由课本74页练习2进行变式处理,做到了一题多用。
该环节设置的②③④这三个小问,分别要求学生根据原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1,求不对称区间的概率.体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度。
例3 设正态总体落在区间和区间内的概率相等,落在区间内的概率为,求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。
学生分析易知:落在和内概率相等知，由区间概率为99。74％，知,，
即，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为。

要求学生能根据题意画出草图,分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果。再一次强化了数形结合的解题思想。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用评价
1． 正态曲线有哪些具体的特点?
2．原则是什么?它对、取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗?
3．思想方法：数形结合等。
4．生活中的正态分布
教师引导学生进行课堂小结,自我评价。
学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。将课堂小结作为自我评价的主阵地.
教师结合例子对正态分布进行介绍。
通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果,引导学生进行反思与自我评价.教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法。
通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。
思维创新
A组 课本75页 A组 第1题
B组 第2题
B组 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约有多少人？
课外思考:请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值.
学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新.
教师通过布置作业,进行自我评价,更新教法。
学生通过作业，及时反馈,巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率,同时能在作业中发现教学的不足。

板书设计
正态分布
1． 解析式
2． 曲线性质
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
3．3原则
例1．

例2
①
②
③
④

例3
多媒体投影
六、教学设计说明
数学知识之间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联系，这样更容易使学生在学习过程中把前后所学知识联系起来进行理解记忆，更容易体会数学知识的形成过程。
该教学设计通过试验引入-—旧知铺垫—-生成函数--层层深入—-探究新知——延伸拓展等环节展示了一个完整的数学探究过程。为使课堂生动有趣，教学效果好,该设计将信息技术与课程内容进行有机整合，用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容,增大了课堂容量，使学生对重点内容的掌握更深入。
七、教学反思
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合,以利于学生认识数学的本质。本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量,使学生对重点内容的掌握更深入。
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