珠海市2020届第一学期期末普通高中学生学业质量监测(数-学).doc

珠海市2020届第一学期期末普通高中学生学业质量监测
数 学（文科）
时间:120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．已知集合A=｛}，B=｛-1,0,1，2，3}，则
A．{0,1,2} B．｛0，1} C．{-1，0,1｝ D．{—2,—1，0,1，2｝
2．已知是虚数单位，复数满足，则
A． B． C． D．
3．己知命题任意，都有;命题a>b,则有以a2〉b2，则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生。为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取
A．10名学生 B．11名学生 C．12名学生 D．无法确定
5．已知的内角A,B，C的对边分别为a,b, c， ,则-定为
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半,六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。"其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了
A．24 里 B．6 里 C．18 里 D．12 里
7．已知满足，则在上的投影为
A．—2 B．-1 C．—3 D．2
8．双曲线C： 的两条渐近线与圆相切，则C的离心率为
A． B． C．2 D．
9．函数在区间[—4，4］附近的图象大致形状是
A B C D
10．已知,则
A．ab C．c 。
14．若,则 .
15．函数在区间的最小值为 。
16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P—ABC，点P，A，B,C都在球面上，且是边长为3的等边三角形,那么三棱锥P—ABC体积的最大值为 。
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题
17．(本小题满分12分）
已知正项等差数列｛｝满足,等比数列｛｝的前项和满足,其中c是常数.
（1）求c以及数列{}、{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前项和；
18．（本小题满分12分)
为了调查一款手机的使用时间,研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:
(1)根据图中的数据,试估计该款手机的平均使用时间；
（2）请将表格中的数据补充完整,并根据表中数据，判断是否有99.9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关。
参考公式： ,其中。
参考数据：
19．(本小题满分12分)
如图,四棱锥S—ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥ BC，
AB=2BC=2CD=2， 为正三角形，点M为线段AB的中点。
（1)证明:SM⊥ AD.
(2)当时SM=1时,求点B到平面SAD的距离。
20． （本小题满分12分)
中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过A(0,—1)、两点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于P,Q两点,求当m取何值时，的面积最大.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中为常数.
(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；
(2）当时，证明：.
（二）选考题
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分)
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：,曲线C的参数方程为:为参数）。
(1）写出直线的直角坐标方程；
(2）求曲线C上的点到直线的距离的最大值。
23．(本小题满分10分）
已知。
(1)解关于的不等式；
(2）若恒成立，求实数的取值范围。
数学（文科）参考答案
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
【答案】C。
解析： .则.
2．已知i是虚数单位,复数满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
解析:，所以.
3．已知命题：任意,都有；命题：,则有．则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
【答案】B.
解析：为真命题；命题是假命题，比如当或者取时，则 不成立.
4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质,现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取
A．10名学生 B．11名学生 C．12名学生 D．无法确定
【答案】A.
解析：得.
5．已知的内角的对边分别为,，则一定为
A．等腰三角形　　　B．钝角三角形　　　C．锐角三角形　　　D．等腰直角三角形
【答案】A.
解析：由结合正弦定理得，，从而。
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半,六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了
A．24里 B．6里 C．18里 D．12里
【答案】C。
解析：设第六天走了里，则第五天走了里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为:，解得,可知。
7．已知满足，,,则在上的投影为
A． B． C． D．2
【答案】A。
解析：在上的投影为。
8．双曲线：的两条渐近线与圆相切，则的离心率为
A．　　　　 B．　　 　　C．　　 　　D．
【答案】A。
分析：数形结合可得,，，所以选A。
9．函数在区间附近的图象大致形状是
A B C D
【答案】B。
解析：过点，可排除选项A，D。又，排除C。
10．已知则
A． B． C． D．
【答案】B.
解析：，由幂函数为上的增函数可知
又由指数函数为上的增函数可知,所以.
11．港珠澳大桥通车后,经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定
【答案】B。
解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
第一种方案的均价：；
第二种方案的均价：。
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油,价格高时少加油.
12．已知函数，若，则的取值范围是
A．　　 　B．　　 　C．　　　D．
【答案】C.
解析：法一：不妨设，由题意可知，函数的图象与直线有两个交点，其中，由，即，解得，
由，即,解得,
记，其中，,
∴当时,，函数单调递减;
当时,，函数单调递增.
所以函数的最小值为：;而，，∴，即.
法二:数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得最小值,而最大值为（取得到）或（取不到）时。
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数的图象在点处切线方程为 ．
【答案】。
解析：，则,又，则切线方程为
14． 若，则___________．
【答案】.
解析：。
15． 函数在区间的最小值为___________．
【答案】。
解析：，则，，可知的最小值
为。
16． 在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_________．
【答案】。
解析：如图:。
在中，。
三棱锥体积的最大时，最长的高为.
。
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．
（一）必考题
17．（本小题满分12分）
已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数．
(1）求以及数列、的通项公式;
（2）设,求数列的前项和．
解：(1）数列为正项等差数列，公差，
，又，
，，可得，即可得;
①
当时，，
当时，②
①②即可得，，又为等比数列，
，即可得，，；
（2）由题意得,
,③
，④
③④可得：．
．
18．（本小题满分12分）
为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：

愿意购买该款手机
不愿意购买该款手机
总计
40岁以下

600

40岁以上
800

1000
总计
1200

（1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；
（2)请将表格中的数据补充完整,并根据表中数据，判断是否有99．9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．
参考公式:，其中．
参考数据：

0。100
0.050
0。010
0。001

2。706
3。841
6.635
10.828
解：(1）
该款手机的平均使用时间为7.76年。
(2）

愿意购买该款手机
不愿意购买该款手机
总计
40岁以下
400
600
1000
40岁以上
800
200
1000
总计
1200
800
2000
可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄"有关．
19．（本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面为直角梯形,，,，为正三角形,点为线段的中点．
(1）证明；
（2）当时，求点到平面的距离．
解：（1）取的中点，连接、,
由题意可知：
。
为正三角形
。
又,，面，
面.
面，
。
（2） 由题意可知，且，
，且，
。
又，
。
由（1）知，且，面，
面，
三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，
则，
得。
20．(本小题满分12分）
中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，
(1）求椭圆的方程;
（2）设直线与椭圆交于，两点，求当取何值时，的面积最大．
解：(1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得
解得，得椭圆.
(2）将直线代入得：.
整理得：。
得。
由韦达定理得，.
。
由二次函数可知当即时,的面积的最大．
21．（本小题满分12分）
已知函数，，其中为常数．
（1）若函数在上是单调函数，求的取值范围；
(2）当时，证明：．
解：（1）求导得，
①当在上为单调递减函数时，即恒成立，
又，，．
②当在上为单调递增函数时，即恒成立，
又，,;
综上所述：在上为单调递减函数时，；
在上为单调递增函数时，．
（2）证明：要证，只需证恒成立，
令，，则，
令,，则。
易证当时，。
，即在上递减，
，即，在上递减,
即，命题得证．
(二)选考题
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分)
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：,曲线的参数方程为：为参数）．
(1)写出直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．
解：(1)直线的极坐标方程为：，
，
，．
（2）根据曲线的参数方程为：为参数)．
得：.
它表示一个以为圆心,以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：,
曲线上的点到直线的距离的最大值．
23．（本小题满分10分)
已知．
（1）解关于的不等式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，不等式化为,得即
当时,不等式化为，成立，即
当时，不等式化为，得即
综上所述：所求不等式的解集为.
(2）
若恒成立,则.
解得。
9