不等式整章复习(适合高一上海的学生)备课讲稿.doc

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知识框图
不 等 式
不等式的性质
不等式的证明
基本不等式
不等式的解法

比较法
综合法
分析法

一元二次不等式
分式不等式
绝对值不等式

对数不等式
绝对不等式
不等式的应用
定义域、根的分布、最值问题、实际应用

1． 有关不等式的性质
●主要运用不等式的8个性质及其基本不等式的知识，判断不等式的大小关系
1、若a>0，b>0，则不等式－b<或x> D.x<或x>
解析：－b<
答案：D
2、如果正数满足，那么（　　）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
解析：正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2
答案：A
3、设则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
正确答案：B
4、已知，则2a+3b的取值范围是
A B C D
错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。
5、已知，.

变式1：（1）如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
解：选A
设计意图：不等式基本性质的熟练应用

变式2：设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.
解：选A
设计意图：不等式基本性质的熟练应用

2. 有关不等式的解法及解集问题
●注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。
1、已知集合，．若，则实数的取值范围是
解析：集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2合为，求实数的取值范围。

2、若关于x的不等式组的解集只含有一个元素，求实数m的取值范围。

3、不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围是_________.

●解集注意端点等号的取值及其根的大小的判断
1、不等式的解集是
A B C D
错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。
2、0的解集为（ ）
A B C D
3、下列各式中与等价的是（　　）
A． B． C D．
●已知不等式解集，探究系数关系
1、若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
类似：不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：
① a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是_____2、3、4___________________________.

2、若不等式的解集为，则的值为
3、一元二次不等式的解集是，求实数与的值。

4、若不等式的解集为，其中，求不等式的解集；

3. 一元二次方程根的分布讨论
记，方程的根为、
，，，设

根的分布
利用韦达定理讨论
图示
结合图像讨论
两个正根

两个负根

一个正根
一个负根

两根都
大于m

两根都
小于m

一根大于m
一根小于m

一根小于n
一根大于m

两根都在区间（n，m）内

有且只有一根在区间（n，m）内

1、已知二次方程的两根都大于5，求k范围

2、为何实数时，方程的两个根都在0和1之间？

3、求实数m的范围，使关于x的方程有两实数根且分别满足（1）一个根比2大，一个根比2小；
（2）两根都比1大；
（3）两根、满足；
（4）两根、都在（0，4）内。

4．有关不等式的证明
1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
例1 已知a＞0，b＞0，且a+b=1.
求证：(a+)(b+)≥.
证法一：(分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.
证法二：(均值代换法)
设a=+t1，b=+t2.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.
证法三：(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

2、已知、、，，求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．
证明：∵
∴

∵，同理：，。
∴
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的

5.有关不等式的求最值问题
●基本不等式问题的几大类型（强调一正二定三相等思想的判断）

1、已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.
错解：
错因：由得，，
等号成立的条件是与已知矛盾。
正解：
2、下列式子中最小值为的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
题型1 当积为定值时,求和最小值
【例1 】 已知且满足,求的最小值。

练兵场：
1、已知x>0.y>0,且=1，求x+y的最小值。
2、已知则的最小值为 。
3、已知，则的最大值是________。
4、函数y=+x(x>3)的最小值是_________。
5、函数的最大值是 。
6、若，求的最大值。
7、若的最值。

题型2 当和为定值时, 求积最大值
【例1】已知0求函数的y=x (1-3x)最大值。

练兵场：
1、设08则x+y>8

2、已知，且，求的最小值。

3、若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______ ，则的取值范围---------

●恒成立问题
1、若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是 。
正确答案：(－2,2) 。
错误原因：容易忽视m＝2。
2、如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ）
A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥
正确答案：（B）

3、－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件
错解：充要条件
错因：忽视时符合题意。
正解：充分非必要条件
4、设函数的定义域为R，则k的取值范围是 。
A、 B、 C、 D、
答案：B

5、若不等式对一切成立，则的范围是

6、已知不等式的解集为，则实数的取值范围是________________.
7. 已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是 。
正确答案：

●分式类型注意判断分子、分母的
1、对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是____________

2、若关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围。

6.有关不等式的应用题

例：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。
一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。
⑴现有可围成36长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
⑵若使每间虎笼的面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？

⑴设每间虎笼长为，宽为，
则 ，面积。由于
所以，即，当
且仅当时取等号。，所以，每间虎笼长、宽
分别为时，可使面积最大。
⑵设围成四间虎笼的钢筋网总长为，则，所以
，当
且仅当时取等号。。故每间虎笼长、宽分别为、时，可使钢筋的总长最小，为。
类题：
1、经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

2、市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格低，购买的人较多．现有某杂志以每本本的价格可以发行万本，若每本价格每提高元，发行量就减少本，要使总收入不低于万元，则该杂志的定价应是多少元？每本价格是多少时，可使总收入最高？

3、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元。
（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围？

4、A市一卡车运送物资到相距120千米的B市，卡车每小时的费用L（元）可表示为车速v（千米/小时）平方的一次函数。当车速为60km/h时，每小时的费用为19元；当车速为90km/h时，每小时费用为31.5元。求：
（1）写出每小时费用（L）与车速（v）之间的函数关系式；
（2）写出本次运输的总费用y（元）与车速v（km/h）的函数关系式并指出v为多大费用最省。（精确到1）

5、某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，设矩形温室的一边长为，蔬菜的种植面积为（如图所示）．
（1）试建立关于的函数关系式；
（2）当矩形温室的长和宽分别为多少时，蔬菜的种植面积最大，并求出最大值。

6、某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.

只供学习与交流