初三动点问题经典练习word版本.doc

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动点问题练习

1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

A
B
C
D
E
F
O
（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

1. 解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）
图2
A
B
C
D
E
F
由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t．
∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴．
∴．解得t=4．
∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）

（2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF=×8×4+×2t×t=16+ t2．
即S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）
（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF2=，
EC2=，∴=．∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，∵EC2=，FC2=4t2，∴=4t2．∴；
③若EF=FC时，∵EF2=，FC2=4t2，
∴=4t2．∴t1=（舍去），t2=．
∴当t的值为4，，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，，
∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分）
∵AD∥BC∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE2=，∴=64．
∴t1=（舍去），t2=．
∴当t=时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）

2. 正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
D
M
A
B
C

N
（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．

2. 解：（1）在正方形中，
N
D
A
CD
B
M

，
，
，
，
在中，，
，
，
（2），
，
，
，
当时，取最大值，最大值为10．
（3），
要使，必须有，
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时．

y
A
O
M
Q
P
B
x
3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）若点P运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.

4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t
∵PQ⊥BC ∴△BPQ∽△BDC ∴即 ∴
当时，PQ⊥BC……………………………………………………………………3分
（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M
∴△BPM∽△BDC ∴ ∴……………………4分
∴=…………………………………………5分
∴当时，S有最大值．……………………………………………………6分
（3）①当BP=BQ时，， ∴……………………………………7分
②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=
∴△BQE∽△BDC ∴ 即 ∴……………………9分
③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F, 此时，BF=
∴△BPF∽△BDC ∴ 即 ∴……………………11分
∴， ，，均使△PBQ为等腰三角形． …………………………12分

4.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（09年济南中考） （1）求的长。
（2）当时，求的值．
A
D
C
B
M
N

（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

4.解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴
在中，

在中，由勾股定理得，
∴
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴
由题意知，当、运动到秒时，
∵
∴
又
∴
∴
即
解得，
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即
∴
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E

②当时，如图④，过作于
∵
∴
∴
即
∴
③当时，如图⑤，过作于点.
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F

∵
∴
∴
即
∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形

只供学习与交流