不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析电子教案.doc

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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析
一、不等式恒成立问题
问题引入：已知不等式对恒成立，其中，求实数的取值范围。
分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。
思路（2）通过分离变量，转化到解决，即。
思路（3）通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方。
小结：不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值：
（1）若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的下界大于A；
（2）若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的上界小于B。
t
g(t)
o
·
1
图1
t=m
例 已知对任意恒成立，试求实数的取值范围。
解：等价于对任意恒
成立,又等价于时,成立.由于
在上为增函数,
则,所以

2、分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；
（2）求在上的最大（或最小）值；
（3）解不等式 (或) ，得的取值范围。
例 已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解： 将问题转化为对恒成立。
令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例 已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围。
解：，， 即
（1）当时，不等式显然成立，
（2）当时，由得
，．
又，，．
综上得，的取值范围为。

3、数形结合法
（1）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；
（2）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。

例 设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.
x
-2
-4
y
O
-4
分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象
如图所示，的图象是半圆
的图象是平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足
解得（舍去)

例 当时，不等式恒成立，求的取值范围．
分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切，恒成立，只要在内， 的图象在图象的上方即可．显然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即．
解：设，，则要使对一切，恒成立，由图象可知，并且，故有，
， 又
点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。
此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小。

4、变换主元法
例 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。
分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。
解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是。
点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。

例 对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
例 设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围。

分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。
方法1：化归最值，；
方法2：变量分离，或；
方法3：变更主元， ，
简解：对于方法3：变更主元，原函数可以看成是关于的函数，只需即可，因为，所以当时有最大值在恒成立，只需。当时，，得的取值范围是。

练习题
1、设,当x[-1,+]时，都有恒成立，求a的取值范围。
解：a的取值范围为[-3，1]
2、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围。
t
g(t)
o
·
1
图2
t=m
解：由得到：因为为奇函数，故有恒成立，
又因为为R减函数，从而有对恒成立。设，则对于恒成立，
设函数,对称轴为.
t
g(t)
o
·
1
图3
t=m
①当时，，
即，又∴ (如图1)
②当，即时,
,即,
∴,又,∴(如图2)
③当时，恒成立.
∴（如图3）
故由①②③可知：.
3、若不等式对恒成立，实数a的取值范围是 。
4、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围
解：
5、当时，不等式恒成立，则的取值范围__________
解析：当时，由得.∴.

O
6、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________
解析：对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知，即。

二、不等式能成立问题
若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上；
若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上的
例 已知不等式在实数集R上的解集不是空集，求实数的取值范围______ 解：
例 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是__________
解：设.则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立,
即解得或
三、不等式恰好成立问题
例 不等式的解集为则__________：6
例 已知，当的值域是，试求实数的值。
解：是一个恰成立问题,这相当于的解集是.
当时，由于时，，与其值域是矛盾，
当时，是上的增函数，
所以的最小值为 ，令

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围
解：
2、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围
解：
3、已知函数，
（1）在R上恒成立，求的取值范围。
（2）若时，恒成立，求的取值范围。
（3）若时，恒成立，求的取值范围。
分析：（1）的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。
略解：
（2），令在上的最小值为。
① 当，即时， 又 不存在。
② 当，即时， 又
③ 当，即时， 又
总上所述，。
（3）解法一：分析题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。
略解：，即在上成立。
⑴
2
—2
⑵
综上所述，。
解法二：（利用根的分布情况知识）
⑴当，即时， 不存在。
⑵当，即时，，
⑶当，即时，，
综上所述。
说明：此题也可以利用参数分离法。

4、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
解：不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：或

5、已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围。
答案：
6、对任意的，函数的值总是正数，求的范围
解：
7、 若不等式在内恒成立则实数m的取值范围。
答案：
x
y
0
3

8、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。
解：画出两个凼数和在
上的图象如图知当时，
当，时总有所以。
9、不等式有解，求的取值范围。
解：不等式有解有解有解，所以。
10、① 对一切实数x，不等式恒成立，求实数a的范围。
② 若不等式有解，求实数a的范围。
③ 若方程有解，求实数a的范围。
解：①②③

11、若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。
分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。
解法一：原不等式化为
令，则，即在上恒大于0。
（1）若，要使，即， 不存在
（2）若，若使，即
（3）若，要使，即，
由（1）、（2）、（3）可知，。
解法二：，在上恒成立。
⑴
⑵
由⑴，⑵可知，。

12、（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围。.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立，即解得
（2）设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立，即解得或.

13、设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围。
分析：此题等价于二次不等式在上有解（能成立问题）。
解：(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大，

(2) 当时, 在或实现，
由,则
于是，实数的取值范围是
这个解法的关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考。

14、已知定义在区间上的两个函数和，其中（），．
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意、，恒成立，求的取值范围．
解：（1）由，得 …6分
（2），当时，，
又在区间上单调递增（证明略），故． …9分
由题设，得，故或 …12分
解得为所求的范围． …14分

15、已知函数的定义域为，对任意实数、，都满足，当时
（1）判断函数的奇偶性，单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

16、已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，有，
（1）证明在上的单调性；
（2）若对所有恒成立，求的取值范围。
分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。
（1）简证：任取且，则
又是奇函数
在上单调递增。
（2）解：对所有，恒成立，即
，
即在上恒成立。
。

高考真题全接触：
（2009年，理11）当，不等式成立，则实数的取值范围是___
（2006理，12）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则的取值范围为______________
解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映
设.
甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，
设
其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.
所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致。因而, 甲的解题思路不能解决本题.
按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象。然而，函数的图象并不容易作出。
由乙的解题思路，本题化为在上恒成立，等价于时， 成立
由在时，有最小值，于是.

（2008理，19）已知函数。
(1)若，求的值。
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围。
【出题背景：本题考查函数的概念、简单指数方程的解法及含字母系数的不等式的解法。】
解：（1）当时，；当时，。
由条件可知，即
解得 ，

（2）当时，，即。
，。
，，
故的取值范围是。

只供学习与交流