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2437微积分初步

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2437微积分初步习题

一、填空题（每小题4分，本题共20分）
　⒈函数的定义域是．
⒉若，则　2　 ．
　⒊曲线在点处的切线方程是．
⒋ 0 ．
⒌微分方程的特解为．
6函数，则 ．
7.当　　0时，为无穷小量.
8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(1) = ．
9.．
10.微分方程的特解为.
11.函数，则．
1⒉　1　　　　．
1⒊曲线在点处的切线方程是．
1⒋若，则．
1⒌微分方程的阶数为 5 ．
16.函数，则．
17.若函数,在处连续，则　2　 ．
　18.函数的单调增加区间是．
19.．
20.微分方程的阶数为 4 ．
21.设函数，则 ．
　22.设函数 在x = 0处连续，则k =．
　23.曲线在点的斜率是　　　1　　　．
　24.　4　．
25.微分方程的阶数是　　3　　　．
26.函数的定义域是　　　　　　　　答案：且.
27.函数的定义域是　　　　．答案：
28.函数，则 ． 答案：
29.若函数在处连续，则　　 ．答案：
30.函数，则　　 ．答案：
31.函数的间断点是　　 ．答案：
32.　　　　　．答案：1
33.若，则　　　　　．答案：
34.曲线在点的切斜率是　　　　答案：
35.曲线在点的切线方程是　　　　　．答案：
36.已知，则=　．答案：， =27（
37.已知，则=　　　　　．答案：，=
38.若，则 ．答案：，
39.函数的单调增加区间是　　 ．答案：
40.函数在区间内单调增加，则应满足 ． 答案：
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数，则该函数是（　A）．
A．偶函数　B．奇函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
⒉当（ C ）时，函数，在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
⒊下列结论中（ C ）正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C．在处不连续，则一定在处不可导.
D．函数的极值点一定发生在不可导点上.
⒋下列等式中正确的是（　D）．
　　A . 　　　　　B.
　　C. 　　　　 　 D.
⒌微分方程的阶数为（　B）
A. 2；　 　B. 3； C. 4； D. 5
6.数的定义域是（　C）．
A． 　B．　　C． D．
7.曲线在处切线的斜率是（D ）．
A． B． C． D．
8.下列结论正确的有（ B ）．
A．若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点
B．x0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0
C．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点
D．使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点
9.下列无穷积分收敛的是（A　）．
　　A．　　　　　 　B．
　　C． 　　　　 　　　D．
10.微分方程的阶数为（D
　）．
A. 1；　B. 2；　C. 3； D. 4
11.设函数则该函数是（　D）．
A．非奇非偶函数　B．既奇又偶函数　　C．偶函数 D．奇函数
12.当时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.
A． 　　　B． C．　 　　D．
13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．
A． B． C． D．
1⒋ 设，则（ C ）．
A. B. C. D.
1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
16.设函数，则该函数是（B　）．
　　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
17.当时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.
A． 　　　B． C．　 D．
18.若函数f (x)在点x0处可导，则( D )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．函数f (x)在点x0处连续
C．函数f (x)在点x0处可微 D．，但
19.若，则（ C ）.
A. B.
C. D.
20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B　）
A. ；　 　B. ；
C. ； D.
21.函数的定义域为（D ）．
A． B． C．且 D．且
　22.曲线在对应点处的切线方程是（　C ）．
A. B. C. 　　 D.
　23.下列等式中正确的是（D　）．
　　A . 　B. 　　C. D.
　24.下列等式成立的是（A　）．
　　A．　B． C．　　D．
25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B　）
A. ；　 B. ； C. ； D.
26.设函数，则该函数是（B　）．

　 A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
27.下列函数中为奇函数是（ C ）．
A． B． C． D．
28.函数的定义域为（ D ）．
A． B． C．且 D．且
29.设，则（C ）
A．　　 B． 　 C．　　　 D．
30.当（D ）时，函数在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
31.当（B ）时，函数，在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
32.函数的间断点是（A ）
A． B． C． D．无间断点
33.若，则=（　C ）．
　　A. 2　 B. 1 　C. -1　　 D. -2
34.设，则（　B ）．
A． B． C． D．
35.设是可微函数，则（D ）．
A． B．
C． D．
36.若，其中是常数，则（C ）．
A． B． C． D．
37.函数在区间是（ D ）　

A．单调增加　　 B．单调减少 C．先增后减　 D．先减后增
38.满足方程的点一定是函数的（C ）.
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
39.下列结论中（ Ａ ）不正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．在处不连续，则一定在处不可导.
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．函数的极值点可能发生在不可导点上.
40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B ）．
A． B． C． D．

三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限．
原式
　⒉设，求.

⒊计算不定积分
=
⒋计算定积分

5.计算极限．
　6.设，求.

7.计算不定积分
=
8.计算定积分

9.计算极限．
原式
　10.设，求.

11.计算不定积分
=
12.计算定积分

13.计算极限．
原式
　14.设，求
.

15.计算不定积分
解：=
16.计算定积分
解：
17. 计算极限
解：原式
18. 计算不定积分
解：=
19.计算极限．
解：原式
20.设，求．
解：
21.计算不定积分
解：
22.计算定积分
解：=- ==
23.．
解：
24.
解：
25.
解：
26.计算极限．
解：

27.计算极限
解：

28.设，求．
解：
29.设，求.
解：

30.设，求.
解：
31.设，求.
解：
32.设是由方程确定的隐函数，求.
解：方程两边对求导，得

于是得到
33.设，求．
解：方程两边对求导，得

于是得到
34.求微分方程 的通解
解：将原方程分离变量

两端积分得通解为

35.求微分方程满足的特解.
解：将原方程分离变量
两端积分得 lnlny = lnC x
通解为 y = eCx
将代入通解，得，故特解为y = ex
36.求微分方程的通解.
解 此方程为一阶线性微分方程，且，
则方程的通解为

37.求微分方程满足初始条件的特解．
解 此方程为一阶线性微分方程，且，
则方程的通解为

将初始条件代入通解，得，于是满足初始条件的为

四、应用题
1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
且，
说明是函数的极小值点，所以当，
2．用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的表面积最小.
此时的费用为 （元）
3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以是函数的极小值点，即当，时用料最省.
4.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？

解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为，由已知，于是，则其表面积为

令，解得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省．

5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为
于是 =3

令得唯一驻点（舍去）
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省.
6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
且，
说明是函数的极小值点，所以当，时用料最省。
7.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
且，
说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.
8.用钢板焊接一个容积为4的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为 （元）
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