越野长跑团体赛记分规则的公平性模型.docx

越野长跑团体赛记分规则的
公平性

一、问题重述

越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小5个队员在所有参赛选手中的排名顺序到大）的顺序决定比赛排名。试回答以下问题：
1. 此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。
2. 试讨论在不计时时，仅仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？
3. 试根据2.中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。

二、 模型假设
1、 参赛的人名次不会相同，即俩个人的名次有先后，不会重复
2、 先到的人得分低，团体得分低的名次好
3、 每个人都跑完了，不会有人没有名次

三、 符号简单介绍
1、：表示A组的第i个人的成绩（i=1,2,3,4,5,6,7）；
2、：表示A组中人的平均名次
3、：表示A组名次的数学期望
4、：A组名次的标准差
5、：，表示名次在图上对应的纵坐标
6、：，表示的名次在本组 中占的权值
7、：A组最后求得的总的名次
四、 问题分析及一二问的解答
第一问：
根据对题的计分规则的研究可以知道，所给的积分规则有失公平，下面具体举例来说明
1. 如果一个队的差距很大，前五名成绩很好，后俩名成绩很差，则取前五个人的成绩，这个队的团体成绩会很好，但这违背了团体赛的意义，且不能如实反映队的真实情况。
举例: A、B俩个组，(A1代表A组的第一个人)
A1=10,A2=12,A3=14,A4=16,A5=18,A6=1000,A7=1001;
B1=11,B2=13,B3=15,B4=17,B5=19,B6=20,B7=21;
根据团体精神体现和日常认知，可知B组的成绩比A组的好，但是根据题中的计分规则却是A组的好，所以有失公平。
2. 如果有A、B俩组名次为
A1=1,A2=3,A3=5,A4=7,A5=100,A6=101,A7=1001;
B1=2,B2=4,B3=6,B4=20,B5=21,B6=1000,B7=1002;
那么如果如题中取前五名成绩则B组优胜，但如果取前六名或前四名，则A组优胜，所以成绩与所取人数关系很大，有失说服力，缺乏公平性。
3. 有A、B俩组人名次如下：
A1=1,A2=2,A3=3,A4=4,A5=200,A6=201,A7=202;
B1=10,B2=11,B3=12,B4=13,B5=14,B6=203,B7=204；
从优秀率考虑，可以认为A组比B组优秀，但由于一个人A5的差，使得A组整体差的太多，过分夸大了一个人的影响，所以有失公平性。

第二问：
一个好的计分规则要能最大程度的反映参赛团体的真实水平在任何极端的情况下都能做出公正的评判，所以积分规则应满足：

1. 不能过分的夸大一个人对集体的影响，应该对其影响进行弱化；
2. 不能忽略成绩差者对总体的影响，第一点和第二点实际上就是在说要弱化但不得忽略成绩差者对整体的影响；
3. 因为是团体赛，所以要体现团体的团结，名次相差不大的应该更加优秀一点；
4. 先到的分数少，团体分数小的优胜

五、 问题分析：
根据积分规则，首先不要忽视成绩差的对总体的影响，所以处理成绩时取一组所有人的数据；其次是不能让个别人成绩过大的影响总体，所以要进行一定的弱化；
最后要对每组人的名次的方差大小程度（可一定程度体现团结合作的精神）。

六、 模型的建立：
由于要使得名次排在后面的人对团体的影响小一些，所以可以建立一个权值系统使得名次靠后的人的成绩权值小，同时要兼顾团体成绩的离散程度对总体的影响，即对整体的影响，所以可以建立正态分布曲线模型

对每一个组的成绩求得一个正态曲线，其中为这组的平均名次，为他们的标准差，横坐标对应着名次，纵坐标为h，h的大小代表了对应的名次在总体中占得比重，反映了权值。

假设一组人的名次按从小到大的顺序依次为：A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7。
根据最大似然估计得：
均值

标准差

那么可以做出正态曲线：
，

每个名次在图上对应一个纵坐标，用表示，，那么每个名次所占的权值用表示，
，
最后求总的名次，用表示，
。
最后M值越小，名次越好，若相等，则比较每组中最好的名次，越小者则优胜。

综上可得A组的总得分为：

其中

。

七、模型验证

有一个350参加的长跑比赛；随机抽出七人每组的三组人，
A1=11,A2=22,A3=43,A4=64,A5=98,A6=209,A7=308;
B1=10,B2=34,B3=35,B4=45,B5=56,B6=203,B7=210；
C1=5,C2=14,C3=23,C4=36,C5=78,C6=89,C7=100；

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
Mb
名次
10
34
35
45
56
203
303

hi
0.0032
0.0039
0.004
0.0042
0.0045
0.0018
0.0016

Qbi
0.138
0.168
0.172
0.181
0.194
0.078
0.069

Ai*Qbi
1.38
5.712
6.02
8.145
10.864
15.834
20.907
68.862

C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
MC
名次
5
14
23
36
78
89
100

hi
0.0054
0.0068
0.0082
0.0097
0.0078
0.0061
0.0044

Qci
0.112
0.14
0.169
0.2
0.161
0.126
0.091

Ai*Qci
0.56
1.96
3.887
7.2
12.558
11.214
9.1
46.479

可以得出C组最好，其次是B组，A组最差，这与现实中大家的认知是吻合的较好。