高三数学大题专项训练-导数.doc

最后一道大题赏析1.已知函数. （1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的定义域为,，2分令得，当时，是增函数；当时，是减函数，在处取得极大值，无极小值. 5分（2）当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，,又当时， 当时，；当时，；与图象的图象在上有公共点，解得，又，所以. 9分 当时，即时，在上是增函数，在上的最大值为，所以原问题等价于，解得.又,无解. 综上，实数a的取值范围是. 13分2. 已知函数的导数为实数，.（）若在区间-1，1上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（）设函数，试判断函数的极值点个数。【答案】解：（）由已知得， 1分由得.，当时，递增；当时，递减.在区间-1，1上的最大值为.3分又.由题意得，即，得为所求。 5分（）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，的方程为.6分（2） 当切点P不是切点时，设切点为切线的斜率，的方程为。又点P（2，1）在上，来源:学科网ZXXK.切线的方程为.故所求切线的方程为或.8分（）解：. 10分二次函数的判别式为得：.令，得，或。，时，函数为单调递增，极值点个数0； 12分当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点. 14分3. 已知函数（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：（，为自然对数的底数）【答案】（1）函数定义域为，由，当时，当时，则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。由题意得，故所求实数的取值范围为4分 (2) 当时，不等式 令，由题意，在恒成立。 令，则，当且仅当时取等号。所以在上单调递增，因此，则在上单调递增，所以，即实数的取值范围为 8分（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，即， 10分令，则有分别令，则有， 将这个不等式左右两边分别相加，则得故，从而14分4. 已知函数，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数tR，求的取值范围及函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） 图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， 2分， 3分（2）=4分令，在 时，在单调递增， 5分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 6分当即时， 7分当即时， 8分,所以在区间上单调递增 9分时，当时，有，得，同理，分 由的单调性知 、从而有，符合题设. 11分当时，由的单调性知 ，与题设不符 12分当时，同理可得，得，与题设不符. 13分综合、得 14分5已知定义在R上的偶函数的最小值为1，当时，（1）若当时都有不等式：恒成立，求实数的取值范围；（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有【答案】解：（1）因为为单调函数，故，得,当时，则，综上：所以当时，则若，则当时，为减函数，而，从而当时，符合题意； 若时，则当时，为减函数，当时，为增函数，所以不合题意， 综合可得的取值范围为。（2）因为任意，都有，故且当时，从而， 当时，从而， ，综上，故，故得：，即存在，满足 ，即，令，则当时，单调递减；当时，单调递增，又，由此可见，方程在区间上有唯一解， 且当时，当时，故，此时.下面证明：对任意恒成立，当时，即，等价于，当时，即，等价于令，则，在上递减，在上递增，而，综上所述，对任意恒成立。 6.设函数，。分别是的导函数。（1）若，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值若不存在，说明理由;（2）设有两个零点和，且、成等差数列，是的导函数，试探究值的符号（1）由f(1)=g(1)，f(1)=g(1),得 b=1, a+b=2，解得a=b=1则g()=lnx+x2分因与有一个公共点(1，1)，而函数=在点(1,1)的切线方程为y=2x1.下面验证 f(x)2x1 ,g(x)2x1 都成立即可由0，得2x1，知f(2x1恒成立设h=lnx+x，即=lnxx+1，易知其在(0,1)上递增，在上递减，所以h=lnx+x的最大值为=0，所以lnx+x2x1恒成立故存在这样的k和m，且k=2，m=.6分（2）G(x0)的符号为正，理由为：G(x)=x22alnxbx有两个不同的零点x1，x2，则有，两式相减得x22x12a(lnx2lnx1)b(x2x1)=0.即x1x2b=，于是G(x0)2x0b=(x1x2b)= = ln = ln，当0x11，且G(x0)=lnt，故(t)=lnt (t1)，(t)=0，则(t)在1，)上为 增函数，而(1)0，(t)0，即lnt0，又a0，x2x10，G(x0)0，当0x20，综上所述：G(x0)值的符号为正.13分7. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实 数的取值范围（3）求证：（其中，e是 自然对数的底数）【答案】解：（1），； 3分 5分 9分 13分8. 已知是指数函数，且过点，令.（I）求的单调区间；（II）记不等试的解集为P，若且，求实数的取值范围；（III）当时，设，问是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在R上的最小值相等？若存在，求出符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.【答案】解：由题意可设，又过点，,. （）,(1)时，所以的单调区间是；(2)时，令，得，且当时，当时，所以的单调减区间是，单调增区间是. 4分（） 因为，所以.从而不等式在上恒成立,即在上恒成立.令，则，所以在上递增，在上递减.，且，所以，所以. 8分（），所以.由(I)知，当时，的最小值是.假设存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，则为方程即的解.令，由，知在上为减函数，在上为增函数，所以，故方程在上有唯一解.所以，符合条件的存在，且只有一个. 13分9. 设函数，其中 ( I )若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值； ()当时，设，讨论的单调性； ()在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由【解答】10.11. 已知函数满足对于，均有成立.（1）求的解析式；（2）求的最小值；（3）证明：【答案】（1）依题意得 解之得 4分（2） 当x0时 当x0时 )在上递减在上递增f (0) 1 8分（3）由（2）得 恒成立，令ae， 则在中令x（k1，2，n-1）1（1）ne1 ， （1）ne2（1）ne(n1)，（）n1（）n（）n（）n（）n1e1e2e(n1) 14分12.已知函数(I)当a0时，求函数.的极值；(II)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；(III)求证：当x0时，.(说明：e为自然对数的底数，）13 已知函数（1）若k=e，试确定函数的单调区间，（2）若k0，并且对任意xR，恒成立，求实数的取值范围（3）设函数【答案】（1），令得增区间为，得减区间为，