矩阵的等价-相似-合同的关系及应用.doc

目 录
摘 要 I
1引言 1
2矩阵间的三种关系 1
2.1 矩阵的等价关系 1
2.2 矩阵的合同关系 2
2.3. 矩阵的相似关系 2
3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 3
3。1矩阵的相似与等价之间的关系与区别.。.。。。..。。.。。.。.。.。。.。。。.。.。.。。。....。.。。.。。....。.。...。。。。..。..。.。。...。。。。...。.。。4
3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别.....。。.。..。。..。.。.。...。.....。...。.。...。..。..。。。。..。..。。...。。。..。。..。..。5
3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别。。。。.。.。。。.。。.。.。。。..。。.。。。.。.。.......。...。.。...。。.。....。..。.。..。。.。.。....。.。5
4矩阵的等价、合同和相似的应用 。。。.。。。.。。.....。.。...。。。。.。.。。.。.。..。.。..。。。。。。.。。.。..。.。.。。6
4。1矩阵等价的应用.。。。。。.。..。。.。。..。。。。。.。。。。。。.。。。。....。.。。。。.。。..。.。.。。。。.。。。。。.。.。..。。...。。..。.。。.。。。。.。。。。.。.。。....。7
4。2矩阵相似的应用。.。。。。。.。..。。....。。。.。.。。。...。...。.。.......。.。...。...。。。...。。。。.。..。。.。。。。..。。.。。。..。.。.。。。。。..。.。..。。.....。。。.。..。9
4.3矩阵合同的应用..。。。。.。..。。。...。。。....。.。。.。。。。。....。。..。。。。...。..。。.。。..。...。.。..。。....。。。。。。。..。。。。。..。..。.。........。。.。。。。.。。..9
4。4三种关系在概率统计中的应用.。。。...。..。.10
5结论.。。.........。。..。..。。。。。。。.。。。。..。.。..。。..。。。。.。。。。....。...。...。。。。。。。。。。。....。。。....。。。...。.。.。.。。。.。..。.。12
结束语.....。.。..。...。.。。。。。.。。....。。.。。。。。..。.....。.。。。...。。。。.。...。。。。.....。..。.。。。。。...。.。.。.。。.。。。。。。.。.12
参考文献。。。.。。.。。.。.。。.。.。。..。。.....。。...。.。。.。。。。..。。..。.。。....。。。。.。。..。。.。..。。.。.。.。。。。..。。。..。。.。.。..。。。。。.13
摘 要:
本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用,总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。
关键字：
矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用

1.引言
高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们,我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化,如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗?另外,三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的?
2.矩阵的三种关系
2。1矩阵的等价关系
定义2.1.1 : 两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵,使得
矩阵与等价必须具备的两个条件:
（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.
（2）存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵， 使.
2。1.2矩阵等价的性质：
（1）反身性:即.
（2）对称性：若，则.
(3）传递性：若，，则.
(4)A等价于B的充要条件是秩（A）=秩(B）
（5）设A为m×n矩阵，秩（A）=r，则A等价于,即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，使.
(6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵,即A相似于其中为矩阵A的特征值。
定理2。2.1： 若为矩阵，并且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶)，使，其中为阶单位矩阵.
推论2。2。1：设是两矩阵，则当且仅当。
2。2 矩阵的合同关系
定义2。2。1 :设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵)，由矩阵的合同关系,得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：
(1） 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
2.2。2矩阵合同的性质：
（1）反身性:任意矩阵都与自身合同.
（2)对称性：如果与合同,那么也与合同。
（3）传递性：如果与合同,又与合同,那么与合同。
（4） 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.
（5) 在数域上,任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
(6） 矩阵合同与数域有关。
因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
定理2.2.1 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理2.2。1 ：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形:
2。3. 矩阵的相似关系
定义2.3。1 设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使，则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵)。
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似,必须同时具备两个条件
（1） 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵
（2) 在数域上阶可逆矩阵，使得
2。3.2相似矩阵的性质
（1）反身性 : ;
(2)对称性 :由即得;
（3)传递性： 和即得
（4) (其中是任意常数）；
(5）;
(6）若与相似，则与相似（为正整数）;
（7） 相似矩阵有相同的秩,而且，如果为满秩矩阵，那么。
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。
(8)相似的矩阵有相同的行列式；
即：如果，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时,它们的逆矩阵相似;
设，若可逆，则从而可逆.且与相似.
若不可逆,则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论,因此我们把它写成以下定理
定理2。3。1 相似矩阵的特征值相同.
推论2.3。1 相似矩阵有相同的迹
3。矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别
3。1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别
定理3。1。1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ，则有，因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵，等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似．
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
定理 3。1.2:对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(与等价),且 （为阶单位矩阵），则与相似．
证明： 设对于阶方阵与，若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记 ,那么，也即，则矩阵也相似．
3。2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别
定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵,使得， 若记,，则有因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵，等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同．
什么时候等价矩阵是合同的?
只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵
3.3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别
合同矩阵未必是相似矩阵
例 单位矩阵 E 与 2E.
两个矩阵的正负惯性指数相同故合同
但作为实对称矩阵的特征值不同， 故不相似
相似矩阵未必合同
例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP，如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵
定理3.3。1： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，同时有,所以与合同。
同理可知,若存在一个正交矩阵,使得即与合同，则有
定理3.3。2：如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．
证明：设与的特征根均为，由于与阶实对称矩阵，一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同时，一定能找到一个正交矩阵使得，从而有
将上式两边左乘和右乘，得
由于，,
有，所以,是正交矩阵，由定理知与相似．
定理3。3.3:若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．
证明：不妨设是正交矩阵,则可逆，取U=A,有,则与相似，又知是正交阵,由合同矩阵的定义知与既相似又合同．
定理3。3。4:若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同．
证明： 因为与,与相似，则存在可逆矩阵,,使，令，则且，故与相似．
又因为与合同，与合同，故存在可逆矩阵，，
令
而
故与合同．
4. 矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用
4.1矩阵等价的应用
例4.4。1试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法．
解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程组可化为
，
记，则原方程组等价于
，
即．令，容易验证都是的解，从而它们构成的一基础解系． □
下面是具体的操作过程．
首先构造矩阵
，
然后对矩阵B作如下的初等变换：
对A(即B的前m行）作初等的行变换，
对B作初等的列变换，
则经过有限次上述的初等变换后，B可变为
,
此时Q的后个列向量构成的一基础解系．
试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法．
解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．
首先构造矩阵
，
然后对矩阵B作如下形式的初等变换：
对B的前m行作行的初等变换，
对B的前n列作列的初等变换，
则经过有限次上述变换后,B可变为
，
记，,此时可得如下的结论：有解当且仅当;当时，是的一个特解，是所对应的齐次线性方程组的一基础解系．
试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法．
解 设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使，，进而．这给出了求逆矩阵的一种方法．
首先构造矩阵
,
然后对B进行如下形式的初等变换：
对B的前n行进行初等的行变换，
对B的前n列进行初等的列变换,
则经过有限次上述变换后，B可变为
，
由此求得．
4.2矩阵相似的应用
例4。2。1判断矩阵 , 是否相似？
解： 对，的特征矩阵，分别作初等变换可得：
=
=
所以，有相同的初等因子，，所以,相似.
4.3矩阵合同的应用
例4.3.1设，，。不难验证：即矩阵A，B合同,但A的特征值为和;B的特征值为 1和.相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。另外，在一定条件下，两者是等价的。若矩阵A，B正交相似时，则它们既是相似的又是合同的.
本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。
例4.3。2 已知,,.试判断A，B，C中哪些矩 阵相似，哪些矩阵合同？
解：矩阵A的秩和矩阵B,C的秩不等，故A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B， C了;A的秩为3,而B,C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同，又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是,所以,B和C也不合同。
所以，矩阵A,B，C相互之间既不相似又不合同。
4。4三种关系在概率统计中的应用
例4。4.1 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60％表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中,25％的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率60％,能否预测n年后该产品市场占有状况？
解：设第i年购买该公司产品的客户为，不购买该公司产品的客户为，则有
，写成矩阵的形式：，其中，，令，，则有,,……,，由得P的特征值=1，=0.35，分别解0，i=1,2，得到相应的特征向量为,,令,则，于是，则，，当n=5时，计算≈。
这说明该产品市场占有率将由0。6下降到0。385因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施,才能保持并提高是市产场占有率。
例4.4。2某公司对职工进行分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人，计划每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训,而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设年后在岗职工于脱产培训人数分别为，记为向量,若职工总人数不变。
求与的关系式，并写成矩阵形式=；
求，且当充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比。
解 ： （1）
得==. （：1）
（2）由(1）式可得=,其中，
为计算，先求.
由,
对于=0.1，解（0.1—）x=0，得基础解系.
对于解，得基础解系，令P=,则，.
则
所以当充分大时，。
例4。4.3某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25％的客户表示将购买该产品,目前该产品在市场的占有率为 60％，能否预测年后该产品市场占有状况？
解： 设第年购买该公司产品的客户为,不购买该公司产品的客户为，则有
，写成矩阵的形式
其中，令，
则有由
，得的特征值分别解得到相应的特征向量为，则，
于是，则，
，当时，计算.
这说明该产品市场占有率将由0。6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率.
结 论
关于矩阵的等价、合同、相似的关系和应用,我们得知了：
1. 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是合同矩阵
2. 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵
3. 对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使，（与等价)，且 （为阶单位矩阵），则与相似．
4. 等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵
5. 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．
6. 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．
7. 相似矩阵的特征值相同.
8. 相似矩阵有相同的迹.
9.若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同．
参考文献
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