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说题稿

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让课堂充满问题 让问题充满思考
——《格点中的多边形面积》问题探讨
李金枝
我说题的内容是《格点中的多边形面积》。我想从题目内容、题目背景、题目分析、题目解法、题目变式、反思总结六个方面谈谈我的设想。
题目内容：
如下图所示，每相邻两个点之间的距离为1，这样的点称为格点。顶点在格点上的多边形称为格点多边形。小明记得有一个计算格点多边形的面积公式，这个公式表明格点多边形的面积与多边形内的格点数和多边形上的格点数有关，请你通过研究，还原这个公式。
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题目背景：
1、题目来源：五年级上册。
2、涉及的数学思想： “分割法”、“扩展法”、 “毕克定理”中的数形结合思想，解题中的建模思想。
3、涉及的知识点：解稍复杂多边形面积的知识。
研读教材，思考： 学习解这道题的目的是什么？
研究学情，探索： 通过解这道题应该给学生留下什么?
走进课堂，尝试： 多样化的解题方法中找联系感受数学思想；
多个生活实际问题中抽象建立数学模型。
题目分析：
解题重点：让学生经历不同解法解决多边形面积问题的过程中，体会用图形结合解决问题的优越性；感受数学思想建立解决生活中此类问题的方法。观察比较，多样统一。
解题难点：理解用“毕克定理”解决格点与面积问题。
策 略：以点带面，图形结合。
题目解法：
基本解法一：分割法
分析：如下图，将原图分割成三个小三角形，这几个三角形的底、高很容易就能观察出来，分别用求出3个三角形的面积再减轻小三角形的面积，所以这个多边形的面积为：5×1÷2+4×2÷2+2×5÷2-2×1÷2=10.5
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基本解法二：扩展法：
将原图扩展成一个长方形，很明显这个长方形的长、宽分别为5、3个单位长度，而四个扩展的三角形的面积也是很容易求的！四个三角形面积：1×2÷2×3+1×3÷2=4.5
所以多边形面积为3×5-4.5=10.5
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基本解法三：毕克定理：
分析：这种多边形的面积可根据图形内部及它的边上的格点数目来计算，算法十分简洁。设格点多边形的面积为S,多边形内部的格点数为N,它边上的格点数为L，下面我们就来探究S与N、L三者之间的数量关系S=½L+N-1
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故多边形面积=½L+N-1=½×9+7-1=10.5
小结：不同的解法，蕴含着不同的相同的数学思想——数形结合，通过对几种典型解法的梳理、分析、比较，使学生在掌握不同解法的同时，能懂得这些解法之间的区别和联系，逐步在方法多元的基础上找到自我优化的出发点。
五、 题目变式：
1.用“割、补”法和“扩展”法求图中多边形的面积，并用“毕克定理”加以验证。

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变式二：当N为0时的格点多边形，根据图1观察下表
（1） （2）
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根据上图观察下表，填空：
图形序号
S
N
L
1
1
0
4
2
2
0
6
从上表可以发现S与L之间的数量关系式是：S= ½L -1
小结：变化的是形式，不变的是解题策略——由格点六边形面积到九边形面积这一演变的过程是对面积问题的类推与抽象。在学习中引导学生进行联系、对比、分析，感悟数学思想，积累活动经验， 让孩子的思维碰撞出灵感的火花。
反思总结：
著名数学家华罗庚说过：“天才源于积累，聪明在于勤奋。”学
数学不会像技能的习得那样立竿见影，它需要教师在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。只有培养学生兴趣，不断让他们收获成功的喜悦，才能让孩子们真正融入到数学王国乐园中来。
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