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椭圆离心率的解法
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目:如图,O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点,准线L交OA于B，P、Q在椭圆上,PD⊥L于D，QF⊥AD于F，设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e=⑤e=
D
B
F
OBBB
A
P
Q

评:AQP为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵|AO｜=a，｜OF｜=c,∴有⑤;∵|AO｜=a,｜BO｜= ∴有③.
题目1：椭圆 +=1（a〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
B
A
F2
F1

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系.
解:∵|F1F2｜=2c |BF1｜=c |BF2｜=c
c+c=2a ∴e= = -1
变形1：椭圆 +=1（a〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上,使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率?OOOOOOOOOOOOOOOOOOO
P
F1
F2 F2F22

解：连接PF2 ，则|OF2|=｜OF1｜=｜OP｜，∠F1PF2 =90°图形如上图，e=—1
变形2： 椭圆 +=1(a>b 〉0）的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴,PF2 ∥AB，求椭圆离心率？B
A
F2
F1
P
O

解:∵|PF1|= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA|=a
PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b=
∴a2=5c2 e=
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率.
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
题目2：椭圆 +=1(a〉b >0），A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求e？
F
B
A
O

解：|AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a |AB｜=
a2+b2+a2 =（a+c)2 =a2+2ac+c2 a2—c2—ac=0 两边同除以a2
e2+e—1=0 e= e=（舍去）
变形：椭圆 +=1（a〉b 〉0），e=， A是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点,求∠ABF?
点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案:90°
引申:此类e=的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ，则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式.
题目3:椭圆 +=1（a〉b 〉0），过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1|,求e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a—am ｜BF2｜=2a-m
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=
题目4:椭圆 +=1（a>b 〉0)的两焦点为F1 （-c,0)、F2 (c，0),P是以｜F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且
∠PF1F2 =5∠PF2F1 ，求e？
分析:此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用.
解：由正弦定理： = =
根据和比性质:
=
变形得: ====e
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15°
e= =
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知
e=
变形1：椭圆 +=1(a〉b >0）的两焦点为F1 （-c，0）、F2 （c,0),P是椭圆上一点,且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围?
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α,则∠F2F1P=120°-α
e===
≥∴≤e<1
变形2：已知椭圆+ =1（t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合)设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若
分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e== ==
==e
∵<〈∴〈e<
三、 以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找e所符合的关系式。
题目5：椭圆 +=1（a〉b 〉0）,斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,—1)共线,求e？B(X2,Y2)
A(X1,Y1)
O

法一:设A（x1,y1） ，B(x2，y2）

（a2+b2）x2—2a2cx+a2c2—a2b2=0
x1+x2= y1+y2=-2c=
+=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则
—（x1+x2）=3（y1+y2)既 a2=3b2 e=
法二：设AB的中点N，则2=+
① —② 得：
=— ∴1=— （-3） 既a2=3b2 e=
四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围.
题目6:椭圆 +=1（a〉b 〉0)的两焦点为F1 （—c,0）、F2 (c,0），满足1·2 =0的点M总在椭圆内部,则e的取值范围？
F2
M
F1
O

分析：∵1·2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。
解：∴c〈b
a2=b2+c2 〉2c2 ∴0c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点,求e的取值范围？M
P
F2
F1
O

分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e
解法一：F1 (—c，0） F2 （c，0) P(,y0 ） M（，）
既（, ） 则1 =-( +c， y0 )
2 =-( —c， ） 1·2 =0
( +c， y0 ） ·( -c， ）=0
( +c)·（ —c）+ =0
a2—3c2≤0 ∴≤e<1
解法2:｜F1F2｜=｜PF2|=2c
｜PF2｜≥—c 则2c≥—c 3c≥
3c2≥a2 则≤e<1
设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围.
解法1:利用曲线范围
设P（x,y），又知，则
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
解法2：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
解法3：利用三角函数有界性
记
解法4：利用焦半径
由焦半径公式得
解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有平方后得
解法6：巧用图形的几何特性
由，知点P在以为直径的圆上。
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P
故有
离心率的五种求法
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决.
例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为(）
A。 B. C. D.
解:抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D
变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、,则其离心率为（)
A. B. C。 D.
解:由、知,∴,又∵椭圆过原点∴，,∴,，所以离心率。故选C。
变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）
A. B。 C。 D
解：由题设，,则，,因此选C
变式练习3:点P(—3,1)在椭圆（)的左准线上，过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()
A B C D
解：由题意知,入射光线为,关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A
1。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
2。已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍,则其离心率为
3。若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为
4。已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为。
5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。
6。。已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为
7。椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为,若，则该椭圆离心率的取值范围是
8。已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。
9.P是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点,是椭圆的左右焦点,已知椭圆的离心率为
10已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点,若, 则椭圆的离心率为
11.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为
12。设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是.
13.椭圆（a>b〉0）的两顶点为A（a，0)B（0，b）,若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣,则椭圆的离心率是.
14。椭圆（a>b〉0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是
15.已知直线L过椭圆（a〉b>0）的顶点A(a，0）、B（0，b）,如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的离心率是
16。在平面直角坐标系中,椭圆1( 0）的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=
二、构造、的齐次式,解出
根据题设条件，借助、、之间的关系,构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。
例2：已知、是双曲线（)的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A。 B。 C。 D。
解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式,
即,得，解得
（舍去）,故选D
变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点。已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为（ )
A。 B。 C。 D。
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式,得，
又, ∴，两边平方，得,整理得,
得或，又，∴，∴，∴,故选A
变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，,则双曲线的离心率为(）

A B C D
解：如图所示，不妨设，，，则
，又,
在中，由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴,∴,∴，∴，故选B
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
2．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是
3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是
4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是
6．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 （为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3:设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4:设椭圆()的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 。
解：如图所示,是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义,
变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（）
A B C D
解：
五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
2．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且,椭圆离心率e的取值范围为
3．已知是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点，且,椭圆离心率e的取值范围为
4．设椭圆(a〉b〉0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º,椭圆离心率e的取值范围为
5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是
配套练习
1。设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为()
A。 B。 C。 D.
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A B C D
4．在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D
5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）
A B C D
6．如图,和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（)
A B C D
7. 设、分别是椭圆（)的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且，则椭圆的离心率是(）
AB C D
8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（）
A B C D
9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()
A B C D
10．椭圆（)的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、,若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　)
A． B． C． D．
答案：1。由可得故选D
2。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴,椭圆的离心率,选D.
3。双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得，故选A
4。不妨设椭圆方程为(a>b>0），则有，据此求出e＝
5。不妨设双曲线方程为(a〉0，b〉0），则有，据此解得e＝，选C
6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,连接AF1,∠AF2F1=30°，｜AF1｜=c，｜AF2｜=c，∴,双曲线的离心率为,选D。
7.由已知P(），所以化简得．
8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且｜AF1｜=3|AF2｜，设｜AF2｜=1,｜AF1｜=3，双曲线中，，∴离心率,选B。
9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=,∴ e≥2，选C
10.椭圆的焦点为,，两条准线与轴的交点分别为，若，，,则，该椭圆离心率e≥,选D