椭圆离心率求法总结.doc

椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。基础题目:如图,O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点,准线L交OA于B，P、Q在椭圆上,PDL于D，QFAD于F，设椭圆的离心率为e，则e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ评:AQP为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得，。|AO=a，OF=c,有;|AO=a,BO= 有.题目1：椭圆 +=1（ab 0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系.解:|F1F2=2c |BF1=c |BF2=cc+c=2a e= = -1 变形1：椭圆 +=1（ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上,使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率?OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接PF2 ，则|OF2|=OF1=OP，F1PF2 =90图形如上图，e=1 变形2： 椭圆 +=1(ab 0）的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PF1 X轴,PF2 AB，求椭圆离心率？BAF2F1PO解:|PF1|= F2 F1=2c OB=b OA|=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率.二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 +=1(ab 0），A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点,ABF=90,求e？FBAO解：|AO=a OF=c BF=a |AB=a2+b2+a2 =（a+c)2 =a2+2ac+c2 a2c2ac=0 两边同除以a2 e2+e1=0 e= e=（舍去）变形：椭圆 +=1（ab 0），e=， A是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点,求ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案:90引申:此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为B1 ，则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式.题目3:椭圆 +=1（ab 0），过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2BF1|,求e?解：设BF1=m 则AF2=2aam BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=题目4:椭圆 +=1（ab 0)的两焦点为F1 （-c,0)、F2 (c，0),P是以F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ，求e？分析:此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用.解：由正弦定理： = = 根据和比性质:= 变形得: =ePF1F2 =75PF2F1 =15e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆 +=1(ab 0）的两焦点为F1 （-c，0）、F2 （c,0),P是椭圆上一点,且F1PF2 =60，求e的取值范围?分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=,则F2F1P=120-e=e0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合)设PF1F2 =,PF2F1 =若tan tan ,求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e= =e e三、 以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找e所符合的关系式。题目5：椭圆 +=1（ab 0）,斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,1)共线,求e？B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一:设A（x1,y1） ，B(x2，y2）（a2+b2）x22a2cx+a2c2a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c=+=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则（x1+x2）=3（y1+y2)既 a2=3b2 e=法二：设AB的中点N，则2=+ 得：= 1= （-3） 既a2=3b2 e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围.题目6:椭圆 +=1（ab 0)的两焦点为F1 （c,0）、F2 (c,0），满足12 =0的点M总在椭圆内部,则e的取值范围？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：cb a2=b2+c2 2c2 0e题目7：椭圆 +=1(ab 0）的两焦点为F1 （c,0）、F2 （c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点,求e的取值范围？MPF2F1O分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 (c，0） F2 （c，0) P(,y0 ） M（，）既（, ） 则1 =-( +c， y0 ) 2 =-( c， ） 12 =0 ( +c， y0 ） ( -c， ）=0 ( +c)（ c）+ =0a23c20 e1解法2:F1F2=PF2|=2c PF2c 则2cc 3c3c2a2 则eb0）的两顶点为A（a，0)B（0，b）,若右焦点F到直线AB的距离等于AF,则椭圆的离心率是. 14。椭圆（ab0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是15.已知直线L过椭圆（ab0）的顶点A(a，0）、B（0，b）,如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的离心率是16。在平面直角坐标系中,椭圆1( 0）的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=二、构造、的齐次式,解出根据题设条件，借助、之间的关系,构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：已知、是双曲线（)的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A。 B。 C。 D。 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式,即,得，解得（舍去）,故选D变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点。已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为（ )A。 B。 C。 D。 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式,得，又, ，两边平方，得,整理得,得或，又，,故选A变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，,则双曲线的离心率为(）A B C D 解：如图所示，不妨设，则，又,在中，由余弦定理，得,即，,，故选B1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是4设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是6设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 （为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4:设椭圆()的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是。解：如图所示,是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义,变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A B C D 解：五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且,椭圆离心率e的取值范围为3已知是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点，且,椭圆离心率e的取值范围为4设椭圆(ab0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q，使F1QF2=120,椭圆离心率e的取值范围为5在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率6设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是配套练习1。设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为()A。 B。 C。 D. 2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A BCD3已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A B C D 4在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D 5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A B C D 6如图,和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（)A B C D 7. 设、分别是椭圆（)的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且，则椭圆的离心率是(）AB C D8设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（）A B C D 9已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A B C D 10椭圆（)的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、,若，则该椭圆离心率的取值范围是（)AB CD答案：1。由可得故选D2。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，,椭圆的离心率,选D.3。双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得，故选A4。不妨设椭圆方程为(ab0），则有，据此求出e5。不妨设双曲线方程为(a0，b0），则有，据此解得e，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,连接AF1,AF2F1=30，AF1=c，AF2=c，,双曲线的离心率为,选D。7.由已知P(），所以化简得8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且AF1=3|AF2，设AF2=1,AF1=3，双曲线中，离心率,选B。9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=, e2，选C10.椭圆的焦点为,，两条准线与轴的交点分别为，若，,则，该椭圆离心率e,选D