管理科学研究方法论文-广东财经大学-选修课程论文.doc

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班级 1 姓名 学号 1
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广东财经大学答题纸（格式二）
课程 管理科学研究方法 　20 13 －20 14学年第 一 学期
成绩 　评阅人 陈又星
评语：

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线性规划影子价格的讨论与运用
摘要：
讨论了约束条件中含有资源约束的线性规划问题， ，给出了资源部分出租时出租价格与影子价格的关系．相应的模型和算法。同时给出了怎样增加资源时效益最好的数学模型和算法，对边际效益得到了一个不常规的看法.
关键词： 线性规划 资源 增加量配置

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一、 引言
影子价格是对现有资源实现最大收益时的一种估价。企业可以根据影子价格的大小,对资源的使用进行合理决策：如果在某段时间内某资源或设备的租金或者市场价格高于影子价格,可以考虑出租设备(或者出售资源）;反之可以考虑购进设备货资源,扩大企业的生产能力。
线性规划原问题的求解是确定资源的最优分配方案，即用多少资源生产多少产品，而对偶问题的求解则是对资源进行恰当的估价。影子价格直接关系到资源的有效利用程度，反映不同资源的增加或减少对总体经济效益的影响状况。如果要增加生产能力,就要增加某种设备或者资源，此时应该首先考虑购进影子价格的设备或资源,这样可以用较少的资金，获得更大的总体收益。在企业内部，如果能利用资源的影子价格确定内部结算价格,可以更好的控制资源的使用情况，对节约资源，提高管理效益具有更积极的意义。
本文将介绍线性规划在影子价格的应用！
二、文献回顾
徐辉,张延飞：《管理运筹学》在介绍运筹学基本知识的基础上,系统讲解线性规划、对偶问题、运输问题、整数规划、目标规划、动态规划的基本概念、经济解释、建模方法及求解和计算方法，并介绍图与树的概念、最短路问题、网络最大流问题、网络最小费用最大流的算法和中国邮递员问题及其案例分析,还介绍网络图的绘制、网络计划的关键路线及网络优化方法.另外,还讲解基于不同决策准则下的不确定性决策问题的决策方法等内容。本书附录介绍管理运筹学软件包WinQSB 2.0及其在管理运筹学中的应用实
例。
胡运权：《运筹学习题集》含线性规划、目标规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、排队论、存贮论、对策论、决策论和多目标决策共14章,计700余题,分别给出答案、证明或题解。
张干宗:《高等学校数学系列教材·线性规划》主要内容:线性规划是运筹学的重要分支，它是一门实用性很强的应用数学学科.随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛.它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具.《线性规划》系统地介绍了线性规划知识，包括单纯形方法、对偶原理与对偶算法、灵敏度分析、分解算法、内点算法，以及整数线性规划等。《线性规划》适于用做高等院校、师范院校有关专业的线性规划课教材.
三、线性规划模型
1。线性规划模型的特点:
第一：求一组决策变量xj（j=1,2,…，n)，一般这些变量取值是非负的；
第二:确定决策变量可能受到约束，称为约束条件，他们可以用决策变量的线性等式或不等式来表示；
第三:在满足约束条件的前提下,使某个函数值达到最大(如利润、收益等）或最小（如成本、运价、消费等）,这种函数成为目标函数，它是决策变量的线性函数.
2。线性规划问题的一般形式:
求一组决策变量xj(j=1，2,…,n）使得
Max（min)z=c1x1+c2x2+…+cjxj+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn≤（＝，≥）b1，
a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn≤（＝，≥）b2,
s.t. …
am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn≤(＝，≥）bm，
xj≥0,j=1，2,…,n。
3. 线性规划问题的标准形式
Max z=c1x1+c2x2+…+cjxj+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn=b1，
a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn=b2,
s。t。 …
am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn=bm,
xj≥0,j=1，2，…,n。
此时，可用矩阵形式表示
=
简化形式为
Max z =cx，
Ax=b，
s.t
x≥0.
四、线性规划的对偶问题
例1
(2.1）
现在，从另一个角度来考虑该问题，假设这家企业想将自己生产产品改为对外加工，此时，工厂决策者必须考虑怎样为这三种资源定价的问题.设分别代表转让两种资源和出租设备的价格和租金.定价的原则是：生产一个单位的甲产品需消耗9个单位的钢材、4个单位的铜材、3个单位的设备台时，获利70个单位；那么,将这些资源全部转让时所获得的利润应不少于70个单位，即
（2.2)
同样的分析，有
（2。3）
此时，企业的总获利（即对方的总付出）为
（2.4）
为使对方容易接受,该厂只能在约束条件（2.2）和（2。3）下求(2。4）式的最小值，即

(2.5）
上述两个模型（2.1）和（2。5）是对同一问题的两种不同考虑的数学描述,其间有着一定的内在联系,我们对此进行比较分析,并从中找出规律，两个模型的对应关系有:
（1） 两个问题的系数矩阵互为转置；
（2） 一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；
（3） 一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；

（4） 一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类型，另一个问题的目标函数为极小化,约束条件为“≥"
我们把这种对应关系称为对偶关系,如果把（2.1）式称为原问题，则（2。5)式称为对偶问题.
五．线性规划的对偶问题在影子价格的应用
在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题,称它为对偶线性规划问题.
【例1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如下表：
产品资源
A B C
资源限量
Ⅰ
9 8 6
500
Ⅱ
5 4 7
450
Ⅲ
8 3 2
300
Ⅳ
7 6 4
550
每件产品利润
100 80 70

建立总收益最大的数学模型
【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数学模型为：
使用WinQSB2.0软件解决问题
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题.假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受,价格太低本单位收益又太少。合理的价格应是对方用最少的资金购买本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得的利润.这一决策问题可用下列线性规划数学模型来表示。
设y1,y2,y3及y4分别表示四种资源的单位增殖价格（售价＝成本＋增殖）,总增殖最低可用
min w=500y1+450y2+300y3+550y4
表示.企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9，5，8和7个单位，利润是100,企业出售这些数量的资源所得的利润不能少于100，即
同理，对产品B和C有
价格不可能小于零,即有yi≥0，i=1, …，4。从而企业的资源价格模型为
这是一个线性规划数学模型,称这一线性规划问题是前面生产计划问题的对偶线性规划问题或对偶问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。
【例2。2】某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150
单位，C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型。
营养成分
含量
食物
一
二
三
四
五
六
需求量
A
13
25
40
40
8
11
≥80
B
24
9
25
25
12
15
≥150
C
18
7
34
34
10
0
≥180
食物单价（元/100g)

0。5
0。4
0。8
0.9
0。3
0.2

【解】设xj为每天第j种食物的用量,数学模型为
使用WinQSB2。0软件解决问题
现有一制药厂要生产一种包含A、B、C三种营养成分的合成药，如何制定价格，使得此药既要畅销又要产值最大。
设yi(i=1，2，3）为第i种营养成分的单价,则
影子价格(Shadow price）： 上面两个线性规划有着重要的经济含义。原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品的数量和单位产品的收益来决定企业的总收益，没有考虑到资源的价格，但实际在构成产品的收益中,不同的资源对收益的贡献也不同，它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格，即对偶问题中的决策变量yi的值。
由后面的对偶性质可知：原问题和对偶问题的最优值相等,故有
即yi是第i种资源的变化率,说明当其它资源供应量bk(k≠i)不变时，bi增加一个单位时目标值Z增加yi个单位
例如,第一种资源的影子价格为y1=2，第二种资源的影子价格为y2=2，即当第一种资源增加一个单位时，Z增加2个单位，当第二种资源增加一个单位时，Z增加2个单位。
企业可利用影子价格调节生产规模。例如，目标函数Z表示利润(或产值 ），当第i种资源的影子价格大于零 （或高于市场价格）时，表示有利可图,企业应购进该资源扩大生产规模,当影子价格等于零（或低于市场价格)，企业不能增加收益，这时应将资源卖掉或出让，缩小生产规模。应当注意， 是在最优基B不变的条件下有上述经济含义，当某种资源增加或减少后,最优基B可能发生了变化，这时yi的值也随之变化。
六、结论：
从微观来看，企业应用影子价格理论是有利于经营管理,提高经济效益的,从客观上看，就整个国民经济的发展，应用影子价格理论也是必要的。根据资源的短缺和闲置程度,以及物资供应中的供需平衡与不平衡状态，利用影子价格对现行价格进行调整和修正，使现在资源得到充分利用，提高社会总体的经济效益。
参考文献:
［1］徐辉,张延飞。管理运筹学［M］。上海：同济大学出版社。2011年5月
［2］ 卢厚清， 袁永生. 下料问题数学模型研究[J ]。 运筹与管理， 1996， 5 (4) ： 61 66。
[3］ 运筹学编写组。 运筹学 ［M ]。 北京： 清华大学出版社， 1990 年
[4］ 运筹学习题集编写组 运筹学习题集[M ]。 北京： 清华大学出版社, 1985 年。
[5] 姜启源 谢金星叶俊编 数学模型［M ］。 北京: 高等教育出版社， 2003 年。
[6］ 张干宗编 线性规划第二版［M ]。 武汉: 武汉大学出版社, 2004 年。
[7］ 卢厚清,周先华,邱国庆,付成群. 线性规划模型建立的一个原则［J］。 数学的实践与认识，2003,33（1)，40—44.。