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精炼总结平抛运动的知识点、例题与练习题(有答案)

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第4节 抛体运动的规律
【知识要点】
1、分解平抛运动的理论依据
上节的实验探究得到了这样的结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，水平方向的分运动是匀速直线运动。
这个结论还可从理论上得到论证：物体以一定初速度v水平抛出后，物体只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力方向一致，大小为a＝mg/m＝g，方向竖直向下；由于物体是被水平抛出的，在竖直方向的初速度为零。所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动。而水平方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以水平方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v。
O
x
y
v
图4－1
2、平抛物体的规律
如图4－1所示，以物体水平抛出时的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。
（1）位移：水平方向的分运动x＝vt
竖直方向的分运动y＝gt2
（2）轨迹：从以上两式中消去t，可得y＝x2
y＝x2是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程。
（3）速度：水平分速度vx＝v，竖直分速度vy＝gt
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小
v＝
设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ，则有
tan θ＝＝。
3、对平抛运动的进一步讨论
（1）飞行时间：由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有，
即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
（2）水平射程：由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x＝vt＝v
即水平射程与初速度v和下落高度h有关，与其他因素无关。
（3）落地速度：根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小

以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有

即落地速度也只与初速度v和下落高度h有关。
x

y
O
vt
y
图4－2
vx
vy
B（x′，0）
A（x，y）
x
s
v
θ
θ
фθ
（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔△t内的速度改变量△v＝g△t相同，方向恒为竖直向下。
（5）速度与位移两方向间的关系：做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为ф。
如图4－2所示，由平抛运动规律得
tan θ＝，tanф＝ ＝＝
所以，tanθ＝2tanф
（6）平抛物体速度反向延长线的特点：如图6－43所示，设平抛运动物体的初速度为v从坐标原点O到A点的时间为t，A点的坐标为（x，y），B点的坐标为（x′，0），则由平抛运动的规律可得x＝vt，y＝gt2，vy＝gt
又tan θ＝＝，联立以上各式解得＝。
即做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
x
y
O
v
vx
vy
图4－3
4、斜抛物体的位置随时间变化的规律
如图4－3，物体以初速度v斜向上抛出，我们以物体离开手的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。
物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向做匀速直线运动，速度vx＝vcosθ，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为x＝vxt＝vtcosθ；
物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度a＝g，方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于vy＝vsinθ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为y＝vyt－at2＝vt sin θ－gt2。
5、斜抛物体的运动轨迹
从以上两式中消去t，可得
y＝－＋tanθ·x
因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：
（1）对y＝－ax2＋bx＋c，当x＝时，y有最大值ym＝＋c。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当
x＝
时，y有最大值ym＝。
对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。
（2）设斜抛运动轨迹方程中的y＝0，则有
x1=0， x2＝
式中x2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射程有最大值xm＝。
6、斜抛物体的速度随时间变化的规律
我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t后，物体水平方向的速度vxt＝vcosθ
x
y
O
v
vxt
θ
图4－4
vyt
竖直方向的速度vyt＝v sin θ－gt。
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v＝
速度的方向可用图4－4中的θ表示，
tanθ＝
【例题解析】
图4－5
h
θ
A
v0
【例1】如图4－5所示，一高度为h＝0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ＝30°的斜面连接，一小球以v0＝5m/s的速度在水平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑。g取10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则
＝v0t＋g sin θ t2。
由此可求得落地的时间t。
问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则请说明理由，并求出你认为正确的结果。
【解析】不同意上述解法，小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确的解法是：
假如小球直接落至地面，则小球在空中运动的时间为
t＝
落地点与A点的水平距离x＝v0t＝5×0.2m=1m。
斜面底宽l＝hcotθ＝0.2×m≈0.35m。
因为x＞l，所以小球离开A点后确实不会落到斜面上，而是直接落至地面，因此落地时间即为平抛运动时间0.2s。

【例2】飞机在2km的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投一包裹。（g取10m/s2，不计空气阻力）
（1）试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。
（2）包裹落地处离地面观察者多远？离飞机的水平距离多大？
（3）求包裹着地时的速度大小和方向。
【解析】（1）飞机上的飞行员以正在飞行的飞机为参照物，从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞行，但由于离开了飞机，在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。
（2）抛体在空中的时间取决于竖直方向的运动，故
t＝＝20s
包裹在完成竖直方向2km运动的同时，在水平方向的位移是
x＝v0t＝＝2000m
即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m。
空中的包裹在水平方向与飞机是同方向同速度的运动，即水平方向上它们的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。
（3）包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，
vx＝v0＝100m/s，vy＝gt＝10×20m/s＝200m/s
故包裹着地速度的大小为
vt＝m/s＝100m/s≈224m/s。
而tanθ＝＝＝2
故着地速度与水平方向的夹角为θ＝arctan2。
【例3】一水平放置的水管，距地面高h＝1.8m，管内横截面积S＝2.0cm2，有水从管口处以不变的速度v＝2.0m/s源源不断地沿水平方向射出。设出口处横截面积上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开，g取10m/s2，不计空气阻力，求水流稳定后在空中有多少立方米的水？
【解析】水由出口处射出到落地所用的时间为
t＝
单位时间内喷出的水量为Q＝Sv
空中水的总量为V＝Qt
由以上三式联立可得
图4－6
A
O
v
V＝Svm 3＝2.4×m3。
【例4】如图4－6所示，高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点的正下方，则油滴的落地点必在O点的_______（填“左”或“右”）方，离O点的距离为______________。
【解析】因为油滴自车厢顶部A点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动x1＝vt
A
O
A
x1
x2
x
O
图4－7
竖直方向做自由落体运动h＝gt2
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O点）的位移为x2＝vt－at2。
如图4－7所示，x＝x1－x2，
所以油滴落地点必在O点的右方，离O点的距离为 h。
【例5】在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆高速行驶的汽车从山顶上落入山谷。为了拍摄重为15000N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车来代替实际汽车。设模型汽车与实际汽车的大小比例为1∶25，那么山崖也必须用1∶25的比例模型来代替真实的山崖。设电影每秒钟放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果，在实际拍摄的过程中，电影摄影机每秒拍摄的胶片数应为实景拍摄的胶片数的几倍？模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的几倍？
【解析】由h＝gt2，可得h∝t2，又h模＝h实，所以有t模＝t实，故实际拍摄时每秒钟拍摄的胶片张数应是实景拍摄时胶片张数的5倍。
因为模型汽车飞行时间是实际汽车飞行时间的，而模型汽车在水平方向飞行的距离为实际汽车在水平方向飞行距离的，则由x＝v0t可得v0模＝v0实。
图4－8
x
y
【例6】观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。
【解析】设某一发光质点的抛出速度为v0，与水平方向夹角为θ，将v0沿水平方向（x轴）和竖直方向（y轴，向上为正方向）正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为
x＝v0 cos θ ·t
y＝v0 sin θ ·t－gt2。
联立以上两式，消去θ即得
x2＋(y＋gt2)2＝ (v0t)2
这是一个以C（0，－gt2）为圆心、以v0t为半径的圆的方程式。可见，只要初速度v0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图4－8所示。

高一物理必修2章节练习题（平抛运动）
一、选择题
1. 做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（　A　）
Ａ.大小相等，方向相同　　　　Ｂ.大小不等，方向不同
Ｃ.大小相等，方向不同　　　　Ｄ.大小不等，方向相同
2. 在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1s投放一物体，则（　AC　）
Ａ.这些物体落地前排列在一条竖直线上　　
Ｂ.这些物体都落在地同上的同一点
Ｃ.这些物体落地时速度大小和方向都相同
Ｄ.相邻物体在空中距离保持不变
3. 从高h处以水平速度v0抛出一物体，物体落地速度方向与水平地面夹角最大的时候，h与v0的取值应为下列四组中的（　D　）
Ａ.h＝30m，v0＝10m/s　　　　　　　　　　Ｂ.h＝30m，v0＝30m/s　
Ｃ.h＝50m，v0＝30m/s　　　　　　　　　　Ｄ.h＝50m，v0＝10m/s
4. 物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tanα随时间t变化的图像是图1中的（　B　）
tanα
0
t
tanα
0
t
tanα
0
t
tanα
0
t
A
B
C
D
图1

5. 如图2所示,重物A、B由刚性绳拴接,跨过定滑轮处于图中实际位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在水平面上,用外力水平向左推A,当A的水平速度为vA时,如图中虚线所示,则此时B的速度为(　C　)
300
600
vA
F
图2
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

6. 对于一个做平抛运动的物体，它在从抛出开始的四段连续相等的时间内，在水平方向和竖直方向的位移之比，下列说法正确的是（　C 　）
Ａ.1:2:3:4；1:4:9:16　 Ｂ.1:3:5:7；1:1:1:1　
Ｃ.1:1:1:1；1:3:5:7　 Ｄ.1:4:9:16；1:2:3:4
7. 在用描迹法＂研究平抛物体的运动＂的实验中，让小球依次沿同一轨道运动，通过描点画出小球做平抛运动的轨迹，为了能够准确地描绘出运动的轨迹，下面列出了一些操作要求，你认为正确的选项有（　ABCD　）
Ａ.通过调节，使斜槽的末端保持水平　　
Ｂ.每次释放小球的位置必须相同
Ｃ.每次必须由静止释放小球　　　　　　
Ｄ.小球运动时不应与木板上的坐标纸相接触
Ｅ.记录小球位置用的凹槽每次必须严格地等距离下降
Ｆ.将球位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
8. 雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打着伞以3m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向（　AC　）
Ａ.应向前倾斜，与竖直方向成370角 Ｂ.应向后倾斜，与水平方向成530角
Ｃ. 应向前倾斜，与水平方向成530角 Ｄ. 应竖直向上
a
c
b
d
O
图3
9. 如图3所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd，从a点正上方Ｏ以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面的b点；若小球从Ｏ以速度2v水平抛出，不计空气阻力则它落在斜面上的（　A 　）
Ａ.b与c之间某一点　
Ｂ.c点　
Ｃ.d点　　　　　　　　
Ｄ.c与d之间某一点
Ａ
Ｂ
图4
10. 平抛物体的运动规律可以概括为两点：（1）水平方向做匀速运动；（2）竖直方向做自由落体运动.为了探究平抛物体的运动规律，可做下面的实验：如图4所示，用小锤打击弹性金属片，Ａ球就水平习出，同时Ｂ球被松开，做自由落体运动，无论Ａ球的初速度大小如何，也无论两球开始距地面高度如何，两球总是同时落到地面，这个实验（　B 　）
Ａ.只能说明上述规律中的第（1）条
Ｂ. 只能说明上述规律中的第（2）条
Ｃ.不能说明上述规律中的任何一条
Ｄ.能同时说明上述两条规律

二、填空题
11. 小球在离地面高为h处，以初速度v水平抛出，球从抛出到着地，速度变化量的大小为 ，方向为　竖直向下　
12. 如图5所示，飞机距离地面高Ｈ＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，则飞机应在距汽车水平距离v1
v2
图5
Ｈ
x＝　800　m远处投弹.（g＝10m/s2）
Ａ
Ｃ
Ｂ
图6

13. 如图6所示为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中方格的边长为5cm，如果取g＝10m/s2,那么
（1）闪光频率是　10　Ｈz.
2）小球运动的水平分速度为　　1.5　　m/s.
（3）小球经过Ｂ点时速度的大小为　　2.5　　m/s.
x1
A
B
x2
A´
B´
图7
14. 一个同学做＂研究平抛物体运动＂实验时，只在纸上记下了重垂线的方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置，并只在坐标上描出了如图7所示的曲线.现在在曲线上取Ａ、Ｂ两点，用刻度尺分别量出它们到y轴的距离AA´＝x1,BB´＝x2,以及ＡＢ的竖直距离h.则小球抛出时的初速度v0＝

三、计算题
15. Ａ、Ｂ两小球同时从距地面高为h＝15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0＝10m/s.Ａ球竖直向下抛出，Ｂ球水平抛出，（空气阻力不计，g取10m/s2）.求：
（1）Ａ球经多长时间落地？
（2）Ａ球落地时，Ａ、Ｂ两球间的距离是多少？

解：（1）Ａ球做竖直下抛运动，由平抛运动规律可知
　　 　　　　　　　　　　　①
　　 　　　　　　　　　　②
　　 ③
联立方程①②③解得：　 　④
　　　（2）Ｂ球做平抛运动，由平抛运动规律可知
　　 ⑤
　　　　　　　　　　　⑥
联立方程②④⑤⑥解得：x＝10m、y＝5m
此时，Ａ球与Ｂ球的距离Ｌ为：

所以，Ａ球经1s落地；

Ａ球落地时，Ａ球与Ｂ球的距离.

16. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特别建造的跳台进行的，运动员穿着专用滑雪板峭带雪杖在助滑路上取得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到b点着陆，如图8所示测得ab间距离Ｌ＝40m，山坡倾角θ＝300,试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间.（不计空气阻力，g取10m/s2）

解：由题意知，运动员起跳后做平抛运动，由平抛运动规律可知：
a
L
图8
　　　 水平位移x＝v0t＝Ｌcosθ ①
竖直位移y＝gt2/2＝Ｌsinθ ②
题中已知L＝40m，θ＝300　③
联立方程①②③解得：，t=2s
所以，运动员起跳的速度为，
他在空中运动的时间为t=2s.

Ａ
v0
θ
图9
17. 如图9所示，与水平面成θ角将一小球以v0＝2m/s的初速度抛出（不计空气阻力，g取10m/s2）求：
（1）抛出多长时间小球距水平面最远？最远距离为多少？
（2）θ角为多少度时,小球具有最大射程?,最大射程为多少?

解：（1）小球抛出后做斜抛运动，
以抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系，
当小球在竖直方向上的分速度为零时，小球达到最高点，
即，解得
此时小球距地面高度为
　　　（2）设小球做斜抛运动的水平最大射程为x
当小球在竖直方向上的位移为零时，即
解得时，小球的水平最大射程为
即当θ角为450时,x有最大射程xmax=0.4m

图10
y
18. 某同学在做平抛运动实验时，不慎未定好原点，只画出了竖直线，而且只描出了平抛物体的后一部分轨迹，如图10所示，依此图只用一把刻度尺，如何计算出平抛物体的初速度v0？

解：在轨迹上取两两水平距离相等的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，
Ｂ、Ｃ点与Ａ点的竖直距离分别为y1、y2，如图所示.
设物体由Ａ运动到Ｂ的时间为T，有：
　　 　　　　①
　　　 ②

Ａ
Ｂ
Ｃ
△x
△x
y2
y1
y
联方方程①②解得：

α

α

α

v乙

v乙合

v甲合

v甲

v水

19. 甲乙两船在静水中的速度分别是v甲的v乙，两船从同一渡口的河对岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，求甲、乙两船渡河所用的时间之比.

解：设河水速度为v水，由题信息可知，
两船在河水的合速度方向相同且，如图所示，
则有： ①
两船在河对岸同一点靠岸则有：　②
联立方程①和②解得：　　③
由图中几何关系可得：
　　　　两边平方整理得：

即：　　　④
联立方程③和④解得：
所以，甲、乙两船渡河所用的时间之比为

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