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培优专题：二次根式

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二次根式培优
一、 知识的拓广延伸
1、 挖掘二次根式中的隐含条件
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，其中。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是 ，由此我们判断下列式子有意义的条件：

2、 的化简
教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：，在此我们可将其拓展为：
（1）、根据二次根式的这个性质进行化简：
①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简=
②化简求值：；其中a=

③已知，，化简

④；
⑤若为a,b,c三角形的三边，则;
⑥计算
（2） 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。
①若,求m的取值范围。

②若，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
③若,求的值；

④

二．二次根式的双重非负性质：①被开方数是非负数，即
②二次根式是非负数，即
例1. 要使有意义，则x应满足（ ）．
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
例2（1）化简 ＝_______．
(2)若=(x＋y)2，则x－y的值为( )
(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．
例3(1)若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．以上都不是
(2)已知是实数，且与互为相反数，求实数的倒数。

三，如何把根号外的式子移入根号内
我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。
（1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：
①， ②
（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。

四，拓展性问题
1、 整数部分与小数部分
要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。
例：（1）、已知的整数部分为a，小数部分为b，试求ab—b2的值。

（2）若x、y分别为 的整数部分与小数部分，求2xy—y2的值。

（3）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值。

（4）若

2、巧变已知，求多项式的值。

3、用归纳法化简求值

五．其他
例11.观察分析下列数据，寻找规律：0，，
……那么第10个数据应是 。
例12.（1）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）。
A．3 B．5 C．15 D．25
（2）．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
26．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使并且,则将变成开方，从而使得化简。 例如：化简

仿照上例化简下列各式：（6分）
（1）　　　　　　　　　　　　　　（2）

（二）勾股定理提高题
一、选择题
1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（ ）
A、4 cm B、8 cm C、10 cm D、12 cm
2、如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
A、 25 B、 12.5 C、 9 D、 8.5
3、△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.
A、50元 B、600元 C、1200元 D、1500元
4、如图②是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A、13 B、26 C、47 D、94
E
A
B
C
D
图④
图①
图②
图③
5
20
15
10
C
A
B

5、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
6、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A、13 B、8 C、25 D、64
7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
8、△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
9、如图③，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A、5 B、25 C、+5 D、35
10、如图④，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
A、12 B、7 C、5 D、13
二、填空题
1、在RtABC中，C=900，A,B,C所对应的边分别是a,b,c.
(1)若a=3cm,b=4cm,则c= ；(2)若a=8cm,c=17cm,则b= ；
(3)若b=24cm,c=25cm,则a= ；(4)若a:b=3:4,c=10cm,则a= ,b= .
2、在RtABC中，A=900，a=13cm,b=5cm,则第三边c= .
3、已知直角三角形的两边长为5,12，则第三边的长为 .
4、在RtABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=______.
5、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
6、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为 cm.
7、如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑的高度是 m.
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________.
9、在RtABC中，C=90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13:5，则这个三角形的斜边长是 .
10、已知ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD= .
11、在ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为 .
12、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边长是两个连续的正整数，那么它的周长是 .
13、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边的长也是正整数，那么它的周长是 .
14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
15、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为 .
16、如图⑤，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A,C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 .

图⑧
C
A
B
S1
S2

图⑤ 图⑦
17、若正方形的面积为18cm²，则正方形对角线长为 cm。
18、如图⑦，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E,AD=8，AB=4，则DE的长为 .
19、若三角形的三边满足，则这个三角形中最大的角为 ；
20、如图⑧，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．
C
A
B
D

三、解答题
1、如图，在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC＝20BC＝15.
求BD和AD的长.

2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

3、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9 cm，宽AB=3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少?

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？

5、在RtABC中，C=90°，AC= .点D为BC边上一点，且BD=AD, ∠ADC=60°.求ABC的周长。（结果保留根号）

6、如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?

7、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E是AD上任一点.
求证:.

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