基于排队论的超市收银员的优化.doc

2012南昌大学第九届数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题.
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写)： A 。
报名序号是 30 .
参赛队员（打印并签名） ： 所属院系(请填写完整的全名)：
1。 王亚先 签名：_________________院系： 信息工程学院电子系
2. 潘书敏 签名：_________________院系: 信息工程学院电子系
3。 邓儒超 签名：_________________院系： 信息工程学院电子系
日期:2012 年5 月 29 日
2012南昌大学第九届数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评阅编号：
评阅记录：
评
阅
人

备
注

基于排队论的超市收银员的优化
摘要
本文主要基于排队论中的M/M/S排队模型研究了超市收银员的管理与优化问题，确定最合适的收银员人数，从而缓解排队的拥挤状况并减少超市企业聘请收银员的成本。
对于这个问题，我们首先分析了题目中给出的数据，发现工作日和周末超市的客流量相差比较大,所以我们分为工作日和周末两种情况来分析该问题，再将超市的营业时间分时段进行研究.通过对M/M/S排队模型进行分析，我们得到顾客的平均等待队长关于平均到达率,平均服务率和收银员人数的函数关系，还有顾客的平均等待时间与收银员人数、平均服务率以及平均等待队长的函数关系。然后，根据实际情况,我们假设收银员的服务时间是服从（0.8,5)的均匀分布，根据概率论知识，当顾客到达量服从泊松分布时顾客到达时间间隔服从负指数分布，从而模拟仿真(附件一）得到负指数分布中的值，再通过超市的人流量与平均到达率和平均服务率之间的关系算出每个时间段的平均服务率.在整个系统中,我们确立了模型中收银员的服务强度和平均等待时间这两个约束条件。根据对这两个约束条件进行分析，我们运用Matlab软件编写了关于该数学模型的程序（附件二），得到最合适的收银员人数。
最后，我们通过对结果以及实际情况进行讨论和分析，对模型有了进一步的改进，使超市对收银员的管理更协调.
关键字: M/M/S排队模型 收银员人数 平均等待时间 平均服务率
一、 前言
随着市场经济的发展,超市越办越多。在激烈的市场竞争中,如何提高经营效益、吸引更多的顾客是超市经营商最关心的问题。在超市服务质量评价体系中，排队等待时间是一项重要的指标.增加收银员人数，减少排队等待时间，有利于提高超市的服务质量和经营效率。顾客选择超市的标准,不仅是价廉物美的商品,也有服务质量。收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望的购物环境，多数人宁愿放弃或者稍微走远一点去其他地方购物也不愿意在拥挤中排队等待。在商品的质量和价格基本相同的条件下，服务质量才是竞争的焦点，我们可以通过收银台的增减与管理加以调节来解决这一问题.就超市经营者而言,增加收银员就意味着增加投资,有时还有可能发生资源空闲浪费的现象；而收银员太少，排队现象就会严重，影响服务质量，造成客源流失。本文将根据排队论的相关理论探讨超市收银员人数的管理与优化。
二、 问题的提出与重述
超市的顾客数受收银员数量的影响,如果收银员数量偏少,会使等待排队交费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿,甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿.表1是调查员对某一超市七天实际调查到的不同时刻收银员数量和正在排队等待交费的顾客人数，收银员每天工作时间不超过7小时及顾客接受服务的时间约0.8分钟到5分钟。为使顾客等待交费时间不宜过长，同时又要考虑超市企业聘用收银员的成本，请根据调查数据，建立数学模型，验证这个超市收银员的排班计划是否合理？如果安排不合理，请给该超市安排一份收银员的排班计划。
表1:收银员与排队顾客数据表
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
8：00
6
8
6
9
6
5
6
10
6
4
6
8
6
9
9：00
8
21
8
19
8
40
8
22
8
25
10
42
10
46
10：00
8
27
8
16
8
28
8
39
8
29
10
44
10
40
11:00
6
24
6
15
6
20
6
20
6
19
8
35
8
32
12：00
2
16
2
8
2
13
2
10
2
9
2
15
2
12
13：00
2
8
2
4
2
5
2
6
2
3
2
14
2
10
14：00
4
16
4
13
4
10
4
10
4
9
4
17
4
14
15:00
4
20
4
17
4
15
4
16
4
10
4
18
4
15
16:00
6
17
6
18
6
18
6
17
6
15
6
16
6
13
17：00
6
10
6
12
6
11
6
17
6
16
6
22
6
24
18：00
6
9
6
10
6
10
6
10
6
13
8
32
8
36
19：00

8
12
8
12
8
13
8
15
8
13
8
29
8
20
20：00
8
20
8
30
8
21
8
19
8
32
10
33
10
38
21:00
8
14
8
20
8
18
8
15
8
18
10
26
10
25
22:00
4
11
4
9
4
13
4
14
4
12
4
16
4
18
三、 基本假设
1、假设超市每个工作日的客流量是相同的.
2、假设星期六和星期天超市的客流量是相同的。
3、假设系统的等待位置为∞，服务规则是先来先服务即FSFS
4、顾客中没有插队现象的发生，顾客一旦进入队伍中就不会中途离开。
5、收银台进行服务时，排除因为意外情况的发生而影响到的服务时间。
6、各收银员服务时间基本一致，不考虑各收银台工作人员自身原因引起的服务时间的改变。
四、模型的主要符号变量说明
表示单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率；
表示单位时间内受到服务的顾客的平均数，即平均服务率；
s表示收银员人数；
表示每个收银员的服务强度（利用率）,即每个收银员在单位时间内的平均负荷。
表示平均等待队长（即等待的顾客数)；
表示一个顾客平均等待时间；
五、模型建立
排队论是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队或拥塞）现象的规律性的一门学科,其核心研究内容是计算排队过程中各种状态的概率，来解决系统的最优设计和最优控制。一般的排队系统有三个基本的组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。输入过程是指顾客到达排队系统;排队规则是指顾客到达后按什么样的规则排队等待服务；服务机构是指为顾客提供服务的机构.本文所研究的排队系统是指顾客在超市挑选好商品后，在收银台前排队等待付款的排队系统。
超市的服务系统是一个随机服务系统，当运行较长时间到达稳态后，输入过程服从泊松分布,服务时间服从负指数分布.在单对单服务的情况下,，在多对多服务员时,我们可以将其看成是多个单对单服务系统,则:
（1）
假设用表示在统计平衡时,系统中具有n个顾客的概率.在〈1条件下，系统的稳定概率为：
（2）
（3)
所有服务员均被占用（即顾客等待）的概率：
(4）
在超市系统中,平均等待的队长（即正在等待的顾客数)为：
（5）
系统中所有的顾客数为：
（6）
顾客的平均等待时间为：
（7）
在这个超市系统中，我们发现工作日和周末超市的客流量是相差很大的，那么我们分为工作日和周末这两种情况来分析该问题。由于我们假设每个工作日超市的客流量是相同的和星期六、星期天这两天的客流量也是相同的，从而对题目中的数据进行处理,得到如下表二：
表二：

8：00
9：00
10：00
11：00
12:00
13：00
14:00
工作日顾客数
7。2
25。4
27。8
19.6
11.2
5。2
11。6
周末顾客数
8。5
44
42
33。5
13。5
12
15.5

15：00
16:00
17:00
18：00
19:00
20：00
21:00
22：00
工作日顾客数

15。6
17
13。2
10。4
13
24。4
17
11。8
周末顾客数
16.5
14.5
23
34
24。5
35.5
25。5
17
通过对实际情况分析，我们假设服务时间是服从（0。8,5）的均匀分布，根据概率论知识，当顾客到达量服从泊松分布时顾客到达时间间隔服从负指数分布，从而模拟仿真(附件一）得到负指数分布中的值：
=0。3632
再根据不同时刻的顾客变化量与和之间的关系，显然有下式：
为每隔一小时正在排队的顾客数的变化量；
通过这个式子，我们可以计算出每个时间段的平均到达率,如表三:
表三：

8:00
9：00
10:00
11：00
12：00
13:00
14:00
工作日时
2。481
2。944
2。768
2.038
0.626
0。833
1。519
周末时
2.770
3.597
3。488
2。571
0。701
0.784
1。469

15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
21：00
22：00
工作日时
1。475
2。115
2.131
2.221
3.094
2.781
2。817
1。256
周末时
1。419
2.320
2.361
2.746
3。087
3。463
3。483
1.169
以上我们已经得到了超市的平均服务率和每个时间顾客的平均到达率，再由公式(2）、(5）、（7）就可以算出平均等待队长和顾客的平均等待时间，通过对这两个数据的合理性分析，来确定收银员的人数。
1)、以工作日8：00—9：00为例，服务强度,当s7时，服务强度大于1，即系统内顾客的到达率大于系统的平均服务率,可见系统不存在平衡状态,且排队的人会越来越多，排队等候的时间也会越来越长，因此此超市开设6个窗口无法满足顾客需要，需要增开窗口才能满足顾客需求。运用MATLAB软件编程（附件二）得出平均等待队长和平均等待时间：
当s=8时=3。4207，= 1。3787；
当s=9时=1。0994，=0。4431；显然当s=8时，已经足够了.
2）、以周末9:00—10:00为例,当时，得出，
当s=10时=99.1790，= 27.5727;
当s=11时=5.9163，=1.6448；显然当s=11时，比较合理。
通过得出每个时间段的平均队长及平均等待时间，再进行合理的分析，得出每个时间段应安排收银员的人数，如表四：
表四：

8：00
9:00
10:00
11：00
12:00
13：00
14:00
工作日收银员人数
8
9
9
6
2
3
5
周末收银员人数
9
11
11
8
3
3
5

15：00
16:00
17：00
18：00
19：00
20：00
21:00
22：00
工作日收银员人数
5
7
7
7
9
9
9
4
周末收银员人数
5
7
7
9
10
10
10
4
六、模型的进一步讨论和改进
对于题目中的条件，收银员每天的工作时间不超过7小时。通过对以上得到的收银员人数来计算,工作日时，在一天之内全部收银员的总工作时间为90小时,超市至少要聘请13个收银员，那么在其余收银员每天的工作时间为7小时的情况下，有一个收银员的工作时间为6小时，超市就可以在人流量多的那个小时内把这个收银员安排进去。周末时,全部收银员每天总工作时间为109个小时，超市至少要聘请16个收银员，那么也会有收银员的日工作时间不到7小时，这样，也可以同工作日一样,在超市人流量多得时候增加收银员的数量。
七、模型的优缺点分析
优点：
（1） 全文的模型求解都运用了计算机模拟，使求解更接近现实。
(2） 对基础模型进行改进，考虑因素增加.
缺点:
（1) 考虑的因素不是十分充分,与实际情况存在一定差距.
参考文献
[1] 陆传赉．排队论[M］．北京邮电学院出版社,1993
［2］ 白国仲.超市收银员的管理与优化[J］.商业现代化，第496期：104—105
［3] 孟玉珂.排队论基础及应用［M］。同济大学出版社,1989
5