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浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题
崔 园 宁波经贸学校
摘要:本文探讨了如何用数学思想来解决经济生活中碰到的求利润，最大利润这样的一类应用题。用方程思想可解决售价进价是不变的一类问题，而当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决，且这两类问题中的销售量是常量或只是一般变量；而当问题进一步复杂化时，问题中的利润或销售量不是一般变量而是随机变量时，我们往往会用数学期望等相关知识来解决.
关键词:方程思想、函数思想、数学期望、（最大）利润
利润类应用题是生产经营中经常遇到的问题，是一个社会人尤其是商业人需要去关注的问题.作为职业学校的数学教师,我觉得我有责任将数学与专业有机地结合起来，让数学为专业服务,所以我觉得有必要将利润类应用题渗透到我们的数学课堂中，甚至有必要将它作为一个模块编入校本教材中。下面我浅谈一下如何用数学思想来解决经济生活中的利润类问题。
一、 用方程思想解决利润类问题
用方程思想解决的是最简单的一类利润、折扣问题，这是小学初中数学中经常出现的应用题。解决这一类问题关键在于看清题意,列出方程，当然也可以是不等式，但其本质不变都是简单的套用公式类的题目。核心公式:利润＝收入－成本。下面我们来看几个例子：
1、一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20％的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元,甲店的定价是多少元？
解析:设乙店进货价为元，可列方程，解得，故甲店定价为1000×(1－12%)×（1+20％)=1056元。
2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元，每件乙种商品进价8万元，售价10万元,且进价售价不变,现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元。求（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润多少？
解析：设购进甲种商品件，乙种商品件，由题意①②解得,且必须是整数,所以,所以有3种进货方案。设利润为，则,所以当选择方案3，即当时，可获最大利润，最大利润为45万元.
对于上述2题关键在于学生能根据利润、成本、收入的核心公式列出方程。第1题是小学数学中的应用题,比较简单这里就不赘述了。而第2题则是初中数学中的应用题，涉及到不等式和方程组的一些知识,尤其是在求第(2）问时,利润，对于此题初中常用的方法可能是3种方案(8,12）,（9,11），（10,10）罗列出来后，用分类讨论的思想将3种方案的利润都求出来比较利润大小求得最后答案为选方案3。其实此题也可用函数的思想来解决，因为利润，此函数为一次函数,,单调递增，则意味着越大值越大,所以当时，即选方案3时，获取最大利润.
解决这一类应用题，其核心思想都是方程,本质是对成本、收入、利润这些基本概念的理解，并列出相关式子。
二、用函数思想解决利润类问题
所有商人追求的都是利润最大化，而最大利润的获得往往只有两种途径：一是薄利多销，二是提高售价。薄利未必多销，因为需求有限；而提高售价又往往会使销量减少。所以如何定好价，是经营决策中一个非常重要的问题。所以问题较第一类复杂了些，第一类问题中的售价进价往往是不变的,那么当售价进价变化时我们又该如何来解决呢？下面我们来具体看几例。
1、某商店购进一批单价为40元的商品，如果以60元的价格销售则每个月能卖出300件。根据市场调查，销售单价每提高1元,则销售量减少10件，每降低1元，则销售量提高20件,问如何定价才能获得最大利润？
解析： ，即提高5元时，获最大利润6250。
而由得降低2.5元,获最大利润6125元.
所以两者比较后，应提高5元,这样才能获最大利润6250元.
2、一家旅社有客房300间，每间房租20元,每天都会客满，旅社欲提高档次，并提高租金，如果每增加2元，房客出租数会减少10间，不考虑其他因素时，旅社将房间租金提高到多少时,每天房客的租金收入最高？
解析：设提高个2元，则将有间空房空出,每天客房租金总收入为
，则当时，.
即每间租金为元时，每天租金总收入最高，为8000元。
我们可以把客房看成是商品，则租金就是售价,租出的客房间数就是销量,所以其本质是和第一题一样的题目,区别在于第二题售价只提高不减少,而第一题售价即可提高又可降低，且销量随售价的提高和降低是不同的关系式，所以我在这里举了两例。
总之上述两例的售价都不是固定的,销量随售价的变化而变化,所以可得出利润关于售价的变化量之间的函数关系式,这个关系式往往是二次的，所以用二次函数求最值的知识就可解决。
但是我们也可以发现这两例中成本是不变的，且销量关于售价的函数是一次的,那么如果成本也跟着变化或者销量关于售价的函数不是一次的，那么这样的例子我们又该如何解决呢？下面我们再来看两例：
3、霓虹化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例。如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元.每生产1万件化妆品需再投资32万元。当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150％”与“年平均每件所点促销费的一半”之和,则当年的产销量相等.求当该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解析:由题意,,代入得，则年销量，售价为，则
由均值不等式得当时,万元.
4、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨)之间的关系式为:，且生产吨的成本为（元），问该产品每月生产多少吨时能获取最大利润，最大利润多少？
解析:设每月生产吨的利润为元，则
，由
得舍去），此时,则每月生产200吨时获最大利润315万元。
第3题的成本是变化的，既涉及促销费用又涉及固定投资和追加投资，而第4题是售价关于销量是二次的且成本也变化的题目，所以在解这2题时肯定比前2题要复杂些。对于第3题其列出来的函数经过整理后为，对于这一问题求最值，用均值不等式最为简单。而对于第4题的求解，因为其函数列出来经过整理后为，是三次的函数求最值,那么我们当然可以使用导数的知识来解决此问题.
上述例题虽然使用了不同的方法来求最大利润,但其本质是一致的,都是列出利润关于销量或售价的函数后，求函数最值的问题，所以用函数思想来解决求利润最大的问题是极有效的一种思想。
三、用数学期望解决利润类问题
数学课堂中的实际应用问题都是简化了的有很多假设的数学模型，实际问题则更加复杂化，多元化。经济生活中我们追求利润、利益的最大化，供不应求和供过于求都不利于利润的最大化，但需求量(销售量）、供应量都是不是简单直观的量，批量生产有助于降低成本但并非生产越多越好；而需求量更是不好预测的量，它可能随定价的高低、经济形势的好坏、对手公司是否推出类似产品,市场上是否有其他替代品而有很明显的变化,所以需求量（销售量)往往是一个随机变量。所以理性的决策者会想方设法建立更贴近现实的数学模型。在解决利润效益类问题时,理性的商家往往可以根据过去的数据（概率），利用数学期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略.比如:
1、某人用10万元进行为期一年的投资，方案有两种,一是购买股票，二是存银行获取利息.买股票的收益决定于经济形势，若形势好可收益4万元，若形势中可收益1万，若形势差则亏本2万。如果存银行，假设年利率为10%，可得利息1万元，又设经济形势好、中、差的概率为0.3、0.5、0.2，试问选择哪种方案能使投资回报率最大？
解析：此题为投资收益类题目，其实质仍可归结为求利润最大的问题。存银行获取利息的收益是不变的,而投资股票则收益高但同时也伴随着风险，经济形势好时收益好，而经济形势差时则要亏损,事先不知道哪种形势会出现，所以要比较两种投资方案获利的期望大小。
购买股票的获利期望为万元，存银行的获利期望为万元.因为，所以选择投资股票.
2、某商场某产品每周的销售量是一个随机变量，分布列为 ，而商场每周的进货量为区间中的某一整数，每销售一件可获利5000，若供大于求,则每积压一件产品亏损1000，若供不应求，则从其他商店调剂,仅获利2000元,问此商场初进货（包括存货）应为多少才能使周平均利润最大？
解析：该题每周的销售量是一个离散型的随机变量，是等概率的分布列,则每周的利润是销售量的函数，也为随机变量。设商场初进货（包括存货）每周为,每周利润为随机变量，则
所以当时，即周进货量为18件时，周平均利润最大，为73800元。
3、国际市场每年对我国某种出口产品的需求量在上服从均匀分布,每出口1吨可获利3万元，积压1吨则亏损2万元，问该公司应准备多少吨该种货物,才能使所获利润最大?
解析：该题的需求量是一个连续型的随机变量，利润是需求量的函数。
设准备吨，，则利润
又已知的概率密度函数为
由于是随机变量的函数,故其数学期望为:
则是关于的一个二次函数，求最值由配方法可得当时，最大.所以该公司应准备3200吨该种货物，才能使所获利润最大。
对于上述3例，题目则比前两类例题要复杂得多，有更多不确定的因素而使可能出现的结果也是不确定的，在解决这类利润效益类问题时，理性的商家往往可以根据过去的数据（概率），利用数学期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略。第1题是相对较简单的题目,因为其收益(利润）是一随机变量，求其数学期望值则只需进行简单的加减运算即可。而第2、第3题，因为其需求量（销售量)是一个随机变量，而利润是关于需求量的函数，所以问题就复杂得多了,这两题的区别在于第2题中销售量是离散型的随机变量，而第3题中的销售量是连续型的随机变量,所以第3题还用到了微积分的相关知识.
综上所述，解决利润类的应用题，我们可用方程思想、函数思想或用数学期望来解决。用方程思想可解决售价进价是固定的一类问题,当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决,且这两类问题中的销售量是往往是常量或只是一般变量。而当问题进一步复杂化时，问题中的利润或销售量（需求量）不是一般变量而是随机变量时，那么这类的利润类应用题又该如何解决呢？我们往往会用数学期望及微积分的相关知识来解决.本人能力有限,只是粗浅地谈一下我对这类问题的一些认识，不足之处万望各位专家见谅!
参考文献： [1］郑金玲，例谈数学期望在效益、利润等经济问题中的应用,数学通讯
［2］王荣波，经济生活中的数学问题，襄樊职业技术学院学报