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第十三章 压杆稳定
1 基本概念及知识要点
1.1 基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。

1.2 临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3 稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
－稳定条件

2 重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。
利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。

3典型问题解析
3.1 临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。

3m
F

2b

b
a
d
0.7d
D

图13－1

[解]
压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。
(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时

λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力

(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时

所以

λs<λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa

(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时

λs<λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力

(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时

λ<λs 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力

解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞ λP 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。

例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=23m 截面尺寸b=40mm h=60mm 材料的E=205GPa λP=132 λs=61，试求此杆的临界压力Fcr。
FP
FP
FP
FP
图13－2

[解]
1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：
μ＝1 ,

2．若在俯视图内失稳（水平面内）：
μ＝0.5 ,

所以，压杆在正视图失稳。
3．计算压杆的临界压力Fcr
用欧拉公式计算其临界应力

解题指导：
对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。

例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知: 材料E=200GPa，σP=200MPa。
z
y
y0
a
z0
FP

图13－3

[解]
1．惯性矩
查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:

当a值较小时，Iy< Iz，λy>λz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；
当a值较大时，Iz λy，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；

2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：

即

3．最大临界荷载Fcr
压杆的柔度
iy=iz =i

由于

所以，λ＞λP 压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力

例题13.4所示工字钢直杆在温度t1 = 20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m，材料的λP=132 , E = 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6 /℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
FB
FA

图13-4

[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
1. 杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件

2．压杆的临界压力

λ＞λP 压杆为大柔度杆。
用欧拉公式计算临界压力

3．压杆失稳时，需要升高的温度值
由 FA＝FB＝Fcr

3.2 稳定计算
例题13－5： 钢杆AB如图13－5所示，已知的杆的长度lAB=80cm, ，经验公式，nst=2，试校核AB杆。

图13－5

[解]
1．杆AB的工作压力：
分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得
FAB=159kN
2．杆AB的临界压力：
压杆的柔度

用经验公式计算压杆的临界应力：

压杆的临界压力
Fcr=σcrA=270kN
3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核
由压杆的稳定条件

所以，AB杆不安全。
解题指导：
请读者思考：若校核整个结构，如何求解？
若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？

例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm, ，经验公式，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷[FP]。
图13－6
FP

[解]
1．确定杆AB、AC的工作压力：
由节点A的受力及平衡方程可得
FAB=0.5 FP FAC=0.866 FP
2．计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：
AB杆的柔度

用欧拉公式计算压杆的临界应力：

由压杆稳定条件

则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度

用欧拉公式计算压杆的临界应力：

由压杆稳定条件

则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。

例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图13－7所示。已知铆钉孔直径为23mm，压杆长度l=2.4m，所受外力FP＝800kN ，nst=1.48， ，经验公式，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核压杆是否安全。
FP
l
图13－7

[解]
图13－7所示压杆有两种可能的失效形式：
失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A表示）；
强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表示）。
综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。
1．稳定校核
压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z轴）转动

其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。

所以，用经验公式计算压杆的临界应力：

代入稳定条件，进行稳定校核

所以压杆稳定。
2．强度校核：
组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：
A0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m2
该截面上的正应力

压杆强度安全
3．由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。
解题指导：
1．压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。
2．请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?

例题13.8 图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40 mm，a＝1 m。材料的λp=110，λs=60，E＝200 GPa，经验公式为 ，nst＝1.8。试求结构的许可载荷。

图13－8

[解]
1．计算各杆的受力值
分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为

FDB = FP（拉）

由上述计算结果可知，杆AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。
2．稳定计算
对于AB等压杆

用经验公式计算压杆的临界应力：

由稳定条件

3. 强度计算
对于拉杆BD，FN = FDB = FP，由强度条件

可得

4．结构的许可载荷
由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为

（a）
例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a）所示，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体），承受均布载荷q = 24 kN/m，材料的许用应力[σ]=160MPa，E 200 GPa，λP=132, ，经验公式 ，nst＝2.8。试校核该结构。

FRC
F´RC
FA
FB
x
A
E
D
C
B
x
MC
MD
ME
（b）
（c）
A

图13－9

1．由C点的变形协调条件，计算多余未知力
原结构为一次静不定，取如图13－9（b）所示静定基和相当系统。由变形协调条件

其中

得

2．梁的强度校核
梁的受力如图13－9(c)所示，由平衡方程
，
得梁的支反力

梁的弯矩图如图13－9(c)所示。
C截面弯矩

D或E处剪力Fs=0，由

得D截面位置为
x = 0.75 m
所以，D或E截面梁弯矩值：

所以，梁上最大弯矩值为

梁的最大正应力为：

梁安全。

3．柱的稳定计算
柱的柔度

用经验公式计算压杆的临界应力：

临界压力

工作安全系数

柱也安全。
4．由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知，整个结构安全。

例题13.10 一直径为d的圆截面平面曲拐ABC（AB⊥BC，位于xz平面），与直径为d0的圆截面杆CD铰接于C点，如图13－10所示。今有一重为W的物体，由高度为H处自由落下冲击于曲拐B点，已知材料的力学性能分别为：σp = 200MPa，E = 200GPa，G = 80GPa，μ=0.3；结构尺寸：d = 50mm，d0 = 10mm， l = 1m，载荷W = 200N，高度H = 20mm；强度安全系数n = 2，稳定安全系数[ nw ] = 1.5。试校核CD杆的安全。
l
2l
l
A
B
C
D
z
x
y
H
W

图13－10

[解]
1．计算多余未知力
在此空间结构B点上作用静载荷W，该一次静不定结构在C点的变形协调条件为：平面曲拐在点的位移等于CD杆的压缩量，即

设杆CD承受压力为F，则

代入，解出

2．冲击动荷系数
静载荷W作用于原空间结构B点时，用叠加法可求得冲击点相应的静位移为：

代入自由落体时的动荷系数表达式，得：

3．CD杆承受的动荷

4．校核CD杆
由于CD杆为压杆，应进行稳定计算
CD杆的柔度

而

故CD为大柔度杆， 用欧拉公式计算压杆的临界应力：

工作安全系数

所以CD杆不安全的。

例题13.11：承压立柱由两根32a槽钢组成，若柱的总长为 l=8m，两端球铰约束，中间由间距为a 的缀条用铆钉连接，如图13－11所示。铆钉直径d=17mm， 材料的σs=235MPa， ns=1.47 nst=1.58 λ1=132 λ2=60 经验公式σcr=235-6.8×10-3λ2，试求：
1为使立柱承受最大载荷，b的合理取值；
2求立柱承载最大时的许用载荷；
3在许用载荷作用下a的取值。

[解]
1．为使立柱承受最大载荷，立柱在y、z方向应具有相同的稳定性，则λy=λz，即：Iy=Iz

查型钢表计算得：
b=289.6mm
2．最大许用载荷：
1）由稳定条件
查型钢表计算可知 i=124.9mm
整个组合压杆的柔度为

图13－11
用经验公式计算压杆的临界应力：

由稳定条件

得立柱的许用载荷

2）考虑铆钉处的截面削弱，由强度条件：

得立柱的许用载荷
F≤1548kN
由上述稳定计算和强度计算可知，压杆的最大许用载荷为
F＝1276kN
3．确定a的取值:
为保证整体和局部具有同样的稳定性，同时失稳，要求

由上式可得
a=1603mm

4 自我测试

图13－12
1正三角形截面压杆，如图13－12所示，其两端为球铰链约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值，压杆发生屈曲时，横截面将绕哪一根轴转动？现有四种答案，请判断哪一种是正确的。
（A） 绕y轴；
（B） 绕通过形心C的任意轴；
（C） 绕z轴；
（D） 绕y轴或z轴。
正确答案是

2 两端为球铰的细长压杆，有面积相同的四种截面可供选择，如图13－13所示，由稳定性考虑：
图13－13

(A)空心圆截面一定最好；
(B)圆截面最不好；
(C)正方形截面一定比矩形、圆形好；
(D)矩形截面一定比圆形截面好。
正确答案是：

3两个压杆材料和细长比均相同，则：
(A)两杆的临界力与临界应力均相等；
(B)两杆的临界应力不等，但临界力相等；
(C)两杆的临界应力相等，但临界力不一定相等；
(D)两杆的临界力与临界应力均不一定相等。
正确答案是：

4圆截面压杆(a)、(b)如图13－14所示，材料相同，横截面积，杆长，约束情况如图示。两杆的柔度以、表示，临界载荷以和表示，则：

图13－14

(A)，； (B) ，；
(C) ，； (D) ，。
正确答案是：

5图13－15所示压杆(a)、(b)均为细长杆，两杆的材料、杆长、截面形状和尺寸均相同，h = 2b ，临界载荷分别为和，则：

图13－15

（A）； （B）；
（C）； （D）。

正确答案是：

6 图13－16所示(a)、(b)、(c)三种截面，尺寸如图13－16所示。研究抗失稳能力时，需计算各自的惯性半径i。若三种截面的惯性半径分别为ia，ib，ic，则：
（A）； （B）；
（C）； （D）。

图13－16

正确答案是：

7 图13－16中四杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载，关于四杆临界压力的大小，有四种解答，试判断哪一种是正确的（设其中弹簧的刚度较大）。
（A） Fcr（a）Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）；
（C） Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）>Fcr（a）；

图13－16
（D） Fcr（b）>Fcr（a）>Fcr（c）>Fcr（d）。

正确答案是：

8 图13－17所示结构，梁和杆的材料相同，AB梁为N016工字钢,BC为直径d=60mm的圆形截面杆，已知:材料的E=205GPa,σs=275MPa，强度安全系数n=2，λp=90，λs=50，稳定安全系数nst=3，经验公式σcr=338-1.12λ，试求:[ F]。

F
A
B
C
1m
1m
1m

图13－17

9 平面结构如图13－18所示，重物Q＝10kN，从距离梁40mm的高度自由下落至AB梁中点C，梁AB为工字形截面，Iz=15760×10－8m4，杆BD两端为球形铰支座，采用b=5cm , h=12cm的矩形截面。梁与杆的材料相同，E＝200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，
a =304MPa ，b=1.12MPa ，nst = 3，问杆BD是否安全。
图13－18

自我测试答案
1正确答案是B。
过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。
2正确答案是：A
3正确答案是：C
4正确答案是：B
5正确答案是：D
6正确答案是：D
7正确答案是D。
图（b）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大；图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比图(a)小；图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小。

8解:
1．求多余未知力
取图13－19所示静定基和相当系统
A
B
C
F
FB
FB

图13－19

变形协调方程:

2．BC杆的稳定计算:

(ls£ l< lp) 中柔度杆用经验公式计算临界应力

scr=338-1.12l=338-1.12×66.6=258MPa

3． 梁AB的强度:

4．结构的许用载荷为

9解
1．动荷系数

kd=38.477
2.稳定计算
柔度
临界应力
工作应力 σd=32.06MPa

工作安全系数 n=σcr/σd=3.2> nst=3

结构安全