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几个典型的代数系统

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第六章 几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．
6.1 半群
  定义 6.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 * 运算满足结合律．当半群含有关于 * 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．
例6.1 ，，< S*，并置>都是半群，后两个又是独异点．
半群及独异点的下列性质是明显的．
定理6.1 设为一半群,那么
（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．
（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．
证明简单，不赘述．
定理6.2 设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有
（1）同态象为一半群．
（2）当为独异点时，则为一独异点.
定理6.3 设为一半群,那么
（1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合○ 为函数的合成运算．
（2）存在S到SS的半群同态．
证（l）是显然的．
为证（2）定义函数h:S→SS：对任意aÎS
h（a）= fa
fa：S→S 定义如下: 对任意xÎS，
fa（x）= a*x
现证h为一同态．对任何元素a,bÎS．
h(a*b)＝fa*b （l1－1）
而对任何xÎS，
fa*b（x）= a*b*x = fa（fb（x））= fa○fb （x）
故fa*b = fa○fb ,由此及式（l1－1）即得
h（a*b）= fa*b = fa○fb ＝h（a）○ h（b）
本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于 ---- 的一个子代数．
6.2 群
 群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.
6.2.1 群及其基本性质
定义6.6 称代数结构为群（groups）,如果
（1）为一半群．
（2）中有么元e.
（3）中每一元素都有逆元．
或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群．
定义 6.7 设 为一群．
（1）若 * 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: *常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.
（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）．
例6.6
（1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.< N,+ >不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.
（2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. 不是群，因为数0无逆元．
（3）为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 .
（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○ 为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群.
群的下列基本性质是明显的.
定理1l.9 设为群，那麽
（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．
（2）关于x的方程a*x＝b，x*a＝b都有唯一解．
（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,yS
a*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y
（4）当G ¹ {e}时, G无零元．
（5）么元e是G的唯一的等幂元素.
证（1）,（2）,（3）是十分明显的．
（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G = {e}时,e既是么元，又是零元.）
（5）设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e
由（3）得x = e 。
由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
定理6.10对群的任意元素 a,b，
（1）(a-1)-1＝a．
（2）(a*b) -1＝b-1*a-1
（3）(ar) -1 = (a–1)r（记为a–r）（r为整数）．
证（2）(a*b) *(b-1*a-1) = a*(b *b-1)*a-1 = e
(b-1*a-1)*(a*b) = b-1*(a-1*a)*b = e
因此a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b) -1＝b-1*a-1．
（3）对r归纳.
r = 1时命题显然真.设(ar) -1 = (a–1)r,即a–1)r 是ar的逆元.那么
ar+1*(a–1)r+1 = ar*(a*a-1)*(a–1)r＝ar*(a–1)r = e
(a–1)r+1* ar+1 = (a–1)r*(a-1*a)* ar＝(a–1)r* ar = e
故ar+1 的逆元为(a–1)r+1，即(ar+1) -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.
对群的任意元素 a,我们可以定义它的幂：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理6.1O，在群中可引入"负指数幂"'的概念：a-m= (a-1)m，且容易证明:
定理6.11 对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n,
（l）a m*a n = am+n
（2）(a m) n = amn
如果我们用aG和Ga分别表示下列集合
aG = {a*g | gÎG}， Ga = {g*a | gÎG}
那么我们有以下定理．
定理 6.12 设为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga
特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．
证 aG Í G是显然的．
设 gÎG，那么a–1*gÎG，从而a*(a–1*g) ÎaG，即 gÎaG．因此 GÍGa．
aG = G得证．Ga = G同理可证．
这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
表6.2
*
e

*
e
a

*
e
a
b
E
e

e
e
a

e
e
a
b

a
a
e

a
a
b
e

b
b
e
a
对群还可以引入元素的阶的概念.
定义6.8 设为群，aÎG，称 a 的阶(order)为n，如果an = e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.
例6.7
(1)   任何群G的幺元e的阶为1, 且只有幺元e的阶为1。
(2)   中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶.
(3)   中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6.
关于元素的阶有以下性质.
定理6.13 有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数 | G | .
证 设a为G的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , … ,a│G│
这 | G |+1个G中元素.由于G中只有 | G |个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设
ar = as (0 ≤ r < s ≤ | G | )
于是as-r = e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数| G | .
定理6.14 设为群,G中元素a的阶为k,那么,an = e当且仅当k整除n .
证 先证充分性．
设 ak ＝ e，k整除n，那么n = kr（r为整数），因为ak ＝ e，所以an = akr = (ak )r = e r = e 。
再证必要性．
设 an ＝ e，n = mk＋ r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0≤ r＜k 。于是
e＝an＝amk+r＝amk*ar＝ar
因此,由k的最小性得r = 0，k整除n ．
定理6.15 设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶．
证 只要证 a具有阶n当且仅当a-1具有阶n 。由于逆元是相互的，即(a-1)-1＝a，同此只需证：当a具有阶n时，a-1 也具有阶n 。
设a的阶是n，a-1的阶是m 。由于(a-1)n＝(an)-1＝e -1＝ e
故m≤n 。又因为a m＝((a-1)m)-1＝ e -1＝ e
故n≤m 。因此，n＝m 。
6.2.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义6.9 设为群．称为G的子群(subgroups)，如果为G的子代数 ，且为一群．
子群有下列特征性(判别法)．
定理6.16设为群，那么为子群的充分必要条件是
（l）G的么元eÎH ．
（2）若a，bÎH ，则a*bÎH ．
（3）若aÎH，则a-1ÎH．
证 先证必要性．
设H为子群．那么（2）是显然的（因H为子代数）．为证（l）,设的么元为e’,那么e’* e’= e’。由于在G中只有e是等幂元,故e’ = e , eÎH得证 .为证（3）设中任一元素a的H中逆元为b,那么a*b = b*a = e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b = a-1ÎH.
充分性是明显的.事实上只要条件（2），（3）便可使为子群,因为H不空时条件（2）（3）蕴涵条件（l）.因此，可用（2）,（3）来判别非空子集H是否构成G的子群。
显然,对任何群G , <{e}，*>及均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群．
例6.8
（l）群有非平凡子群
<{0,3} ,+ 6> 和 <{0,2,4} ,+ 6>
（2）设EÍI,E为偶数集。那么为的子群,但不是的子群.
对于有限群,子群的判别更为简单.
 定理6.17 设为有限群,那么当G的非空子集H对 * 运算封闭时, 即为G的子群.
 证 由于G为有限群,H必为有限集.设 | H | = r,aÎH.考虑
a1 ,a2 , … ,ar+1, …
它们都在H中(H对*运算封闭),因此必定有ai = aj (0 ≤ i < j ≤ r+1 ),从而aj-i = e,故
eÎH .
若H ={e},为G的子群得证.
若H ¹{e},设a为H中任一不同于e的元素.同上可证,有k≥2使ak = e,从而有
a*ak-1 = ak-1*a = e
因此, ak-1= a-1 ÎH.
据定理6.16,为G的子群得证 ．
由于我们采用的上述证明方法仅仅依赖H的有限性,可见本定理可加强为:
设为群，H为G的非空有限子集，且H对 * 运算封闭,那么为的子群.
和子群概念直接相关的是陪集的概念．
定义6.10 设为的子群，那么对任一 gÎG，称gH为H的左陪集(left coset) 称Hg为H的右陪集(right coset).这里
gH = {g*h | hÎH} ，Hg = {h*g | hÎH}
关于左（右）陪集我们有以下定理．
定理6.18 设为的子群，那麽
（1）当gÎH时 gH = H（Hg = H）。
（2）对任意gÎG，| gH | = | H |（ | Hg | = | H | ）.
证（l）由定理6.12立得.
为证（2），只要证H与gH之间存在双射．定义函数f:H→gH如下:对任何一hÎH，
f（h）= g*h
设h1¹h2 ，那么f（h1）= g*h1,f（h2）= g*h2，若f（h1）= f（h2），那么由可约性即得h1=h2，与h1¹h2矛盾．f为单射得证.f为满射是显然的.因此f为双射．| gH | = | H | 得证．同理可证 | Hg | = | H |．
定理ll.19 设为的子群，a，bÎG，那么,或者aH = bH（Ha = Hb），或者aH∩bH = Æ（Ha∩Hb = Æ）． I
证 设aH∩bH ¹ Æ ，那么有h1,h2ÎH使得 a*h1 = b*h2 .于是a＝b*h2*h1-1。
为证aHÍbH ，设xÎaH。那么有h3ÎH，使得x = a*h3 = b*(h2*h1-1*h3) ÎbH . aHÍbH得证.
同理可证bHÍaH .于是aH = bH得证．对于右陪集Ha，Hb，同上可证平行的命题．
由于对每一元素gÎ G，gÎgH (gÎHg)gHÍG（HgÍG），因此据以上讨论可以看出，子群H的全体左（右）陪集构成G的一个划分，且划分的各单元与H（亦即陪集eH，He）具有同样数目的元素．由此可导出下列重要的拉格朗日定理（Lagrange theorem）.
定理6.20 设为有限群的子群，那么H的阶整除G的阶．
证 由以上讨论知 | G | = k | H | ，其中k为不同左（右）陪集的数目.定理得证.
注意，拉格朗日定理之逆不能成立。我们将指出一个12阶群、它没有6阶的子群（见练习6.3第11题之（3））.因此，据此定理只可判别一子代数“非子群”,却不可用它来判别一子代数“是子群”。

例6.9 拉格朗日定理可用于证明下列事实：
（1）有限群中任何元素的阶均为G的阶的因子。
设a为G中任一元素,a的阶为r．那么<{e,a,a2，…，ar-1},*>必为G的r阶子群，因此r整除 | G | 。
（2）质数阶的群没有非平凡子群．
利用陪集还可定义陪集等价关系．
定义6.11 设为群的子群。定义 G上H的左(右)陪集等价关系～。对任意a,bÎG
a～b当且仅当a，b在H的同一左（右）陪集中
显然，～确为一等价关系．关于～有下列事实。
定理6.21 设～为群G上H的左（右）陪集等价关系，那么
a～b当且仅当 a-1*bÎH
证 设a～b，则有gÎG，使a，bÎgH，因而有hl,h2ÎH,使得a = g*h1，b＝g*h2 .于是
a-1*b = (g*h1)-1*(g*h2) = h1-1*h2 ÎH
反之，设a-1*bÎH,即有hÎH 使a-1*b = h 。因而b = a*hÎaH 。而aÎaH显然，故a，b在同一左陪集aH中，a～b真．
对右陪集等价关系同理可证上述定理．
6.2.3 循环群
定义6.13 称为循环群(cyclic group)，如果 G为群，且G中存在元素g,使 G以{g}为生成集，即 G的任何元素都可表示为g的幂（约定e = g0），这时g称为循环群G的生成
元（generater）．
 例6.12
（1）为循环群，1或（－l）为其生成元 .
（2）令 A ={2i | iÎI}，那么(·为数乘 )是循环群 ，2是生成元．
（3）为循环群，1，2，3，4都可以是生成元．
关于循环群的下列性质是明显的．

定理6.26 设为循环群，g为生成元，那么
（1） G为阿贝尔群．
（2） G的 h同态像是以 h（g）为生成元的循环群．
（3） G为无限循环群时必同构于．
（4） G为有限循环群时，必有
G = {e，g，g2,…，gn-1}
其中n = | G |，也是g的阶．从而n阶循环群必同构于．
定理 6.27 循环群的子群都是循环群．
证 设为g生成的循环群，为其子群．当然，H中元素均可表示为gr形．
（1）若H＝{e},显然H为循环群．
（2）若H¹{e}，那么H中有gi(i¹0)．由于H为子群，H中必还有g-i .因此，不失一般性，可设i为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数．现证H为gi生成的循环群．
设gj为H中任一元素．令j＝mi+r，其中m为i除j的商，r为剩余，0≤r＜i．于是
gj = gmi+r＝gmi*gr
gr= g-mi*gj
由于gj, g-miÎH，（因gmiÎH），故grÎH，根据i的最小性，r＝ 0，从而 gj = gmi = (gi)m， H为循环群证讫．
根据上述定理，立即可以推得以下定理．
定理6.28 设为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群，| G |＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
例6.13
（1）有循环子群：
<{0}, ＋> ，<{0,2,-2,4,-4 ,…}, ＋> ，<{0,3,-3,6,-6, …}, ＋> ，<{0,4,-4,8,-8, …}, ＋>,…，
（2）有循环子群：
<{0}, ＋6 > ，<{0,2,4},＋6> ，<{0,3},＋6> ,
6.2.4 置换群
定义6.14 称有限集上的双射函数为置换．称任意集合上的双射函数为变换．
例6.14设A = {l,2}，那么A上有两个置换：

 当A = {1,2,3}时, A上有6个置换：

一般地，A = {a1，a2，…，an}时，A上有 n!个置换．置换 p满足 p(ai)＝aji时，可表示为

置换的合成运算通常用记号 ○ 表示之，对置换的独特表示形式计算它们的合成时，可像计算两个关系的合成那样来进行．例如：
○ = ○ =
因此,应当注意
（pi○pj）（x）= pj（pi（x））
对于置换的合成运算而言，A上置换的全体中有么元----恒等函数,又称么置换，且每一置换都有逆置换，因此置换全体构成一个群。
定义6.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称群为n次对称群（symmetric group），它的子群又称为n次置换群（permutation group）．
对置换群稍作推广便有变换群的概念.
定义6.16 对任意集合A定义集合S
S = {f | fÎAA∧f为双射}
那么群及其子群称为变换群，其中 ○ 为函数的合成运算．
像定理6.3那样，可以证明下列群表示定理．
定理6.30 每个群均同构于一个变换群，特别地,每一个有限群均同构于一个置换群.
证 设为任一群,对G中每一元素a，定义双射函数fa:G→G如下。
fa（x）＝ a*x
（请读者自行证明fa确为双射）令
F = { fa | aÎG }
现证为群（○ 为函数合成运算）．
（l）F对 ○ 运算封闭。
设faÎF，fbÎF,那么aÎG，bÎG．考虑fa○fb。：对任意xÎG，
fa○fb（x）＝fa(fb(x))＝ a*b*x＝ fa*b（x）
即 fa○fb＝ fa*b 。由于a*bÎG，fa*b ÎF,故fa○fb ÎF．
（2）○ 运算显然满足结合律．
（3）○ 运算有么元fe ÎF．e为群G的么元。
（4）F中每一元素fa均有逆元fa-1．这是因为由aÎG知a-1ÎG，从而fa-1ÎF，并且对任意xÎG，fa○f a-1（x）= a*a-1*x＝x = e*x = fe（x），即fa○f a-1= fe 。
再证与同构．为此定义函数h:G→F，使得对任一xÎG，h(x) = fx ．显然h为双射（请读者自证）.另仿(1)可证h保运算,即对G中任意元素x,y，有
h(x*y)= fx*y = fx○fy = h(x)○ h(y)
6.3 环和域
 这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构，环和域.
6.3.1 环
下文中符号＋，·表示一般二元运算，分别称为加、乘运算（未必是数加和数乘），并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+…+a表示为na, n个a的积表示为an 等．
定义6.17 称代数结构为环（ring），如果
（1）是阿贝尔群（或加群）．
（2）是半群．
（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,c ÎR，
a（b＋c）＝ ab+ac , （b＋c）a = ba+ca
例6.16
（1）(I为整数集，+,·为数加与数乘运算)为一环．
（2）为环，因为我们已知为加群，为半群，此外，
a´k（b+ kc）= a´k ((b+c)mod k)
=（a（b+c）（mod k））（mod k）
=（a（b+c））（mod k）
=（ab+ac）（mod k）
= ab（mod k）+ kac（mod k）
= a´kb + k a´kc
（其中x（mod k）表示x除以k的剩余）且同理可证（b+ kc）´k a = b´ka + k c´ka .
（3）所有整数分量的n ´n方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（◦）构成一环，即，< Mn ，+ , ◦ > 为环．
（4）所有实系数多项式（以x为变元）的集合R[x]与多项式加，乘运算构成环，即
< R[x],+,·>为环．
（5）<{0},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素．）
（6）<{0,e},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元)为一环．
环有下列基本性质．
 定理6.31 设< R,+,·>为环，0为加法么元,那么对任意a,b,cÎR
（1）0a = a0 = 0 (加法么元必为乘法零元)
（2）（-a）b = a（-b）= -ab（-a表示a的加法逆元,下同）
（3）（-a）（-b）= ab
（4）若用a–b表示a+(-b),则
（a-b）c＝ac–bc , c（a-b）＝ca-cb
证（1） 0＝a0+(-a)0 = a(0+0)+(-a)0 = a0+ a0+(-a)0 = a0
同理可证0a = 0 .
（2）(-a)b = ab+(-ab)+(-a)b = (a+(-a))b+(-ab) = 0b+(-ab) = -ab
同理可证a（-b）= -ab .
（3）仿（2）可证．
（4）(a-b)c ＝ (a+(-b))c = ac+(-b)c＝ac+(-bc) = ac-bc
同理可证c(a-b)＝ca–cb ．
注意, < R,+,·>中乘运算未必满足交换律，也未必有么元（但一定有零元）．
 定义6.18 环< R,+,·>中·运算满足交换律时，称 R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，称R为含么环（ring with unity）．
例6.16中（1）,（2） ，（4）是含么交换环，（3）是含么环.
环不仅必有零元，还可能有下述所谓零因子．
定义6.19 设< R,+,·>为环，若有非零元素 a，b满足 ab = 0，则称a,b为R的零因子（divisor of 0），并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环．
 例6.17 在环中, 0是零元,2,3为零因子，因为2´63＝0．在环< M2 ，+ , ◦ >中有零因子
和
因为
◦=
它是矩阵加的么元．
6.3.2域
定义6.28 称< F,+,·>为域（fields）,如果< F,+,·>为一环,且< F-{0},·>为阿贝尔群．
由于群无零因子（为什么？），因此域必定是整环．事实上，域也可定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环．
例6.23 为域，但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元．为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.但不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法逆元．
域有以下基本性质．
定理 6.44 为域当且仅当 p为质数．
证 设p不是质数，那么由上例可知Np有零因子（p的因子），故不是域．
反之，当p为质数时，可证Np中所有非零元素都有´p运算的逆元，从而含么交换环为域．
设q是Np中任一非零元素，那么q与p互质．据数论事实,有整数m,n使mp + nq = 1
从而(mp+nq)(mod p) = 1
即mp(mod p) +p nq(mod p) = 1
0 + n(mod p) ´p q(mod p)= 1, 或 n(mod p) ´p q= 1
因此,q有逆元n(mod p) .
定理得证.
定理6.45 有限整环都是域．
证 设为有限整环，由于为有限含幺交换半群,据定理6.17的证明，为阿贝尔群,因而为域．
定理6.46 设< F,+,·>为域,那么F中的非零元素在中有相同的阶.
证 当中每个元素都是无限阶时,定理当然真．当中有非零元素a具有有限阶n，欲证中任一元素b的阶亦必是n 。
事实上(nb)·a = b·(na) = 0，而F无零因子,且a ¹ 0．故nb = 0，因此b的阶不超过n (a的阶)．
现设 b的阶为m。由(ma)·b=a·(mb) = 0,可知ma = 0, 因此a的阶(n)不超过m（b的阶）.
故a的阶等于b的阶．

6.4 格
 6.1.1 格——有序集

格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。
对有序集的任一子集可引入上确界和下确界的概念，但并非每个子集都有上确界或下确界，例如在图6.1中哈斯图所示的有序集里，{a，b}没有上确界，{c，d}没有下确界。不过，当某子集的上、下确界存在时，这个上、下确界是唯一确定的。
定义6.1称有序集为格（lattice），如果L中的任何两个元素的子集都有上确界和下确界。
通常用aÚb表示{a，b}的上确界，用aÙb表示{a，b}的下确界， Ú和Ù分别称为保联（join）和保交（meet）运算。由于对任何a，b，aÚb及aÙb都是L中确定的成员，因此 Ú, Ù均为L上的运算．
a b

c d

d c

a b

图6.1
例 6.1
（1）对任意集合A，有序集< ρ（A），Í >为格，其中保联、保交运算即为集合的并、交运算，即
BÚC＝B∪C , BÙC＝B∩C
（2）设I+表示正整数集，| 表示I+上整除关系，那么< I+ ，| >为格，其中保联、保交运算即为求两正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即
mÚn＝lcm（m,n）， mÙn＝gcd（m,n）
(3) 全序集（链）都是格，其中保联、保交运算可如下规定：对任何a，bÎL。

（4）设P为命题公式集合，逻辑蕴涵关系┝ 为P上的序关系（指定逻辑等价关系┝┥为相等关系），那么，< P,┝ >为格，对任何命题公式 A，B， AÚB = A∨B，AÙB = A∧B（等式右边的∨，∧为逻辑运算符）。
现设≥表示序关系≤的逆关系，那么据逆关系的性质可知：
 定理6.1当< L,≤>为格时，< L, ≥>亦为格,且它的保联、保交运算Ú~,Ù~对任意a,bÎL满足
aÚ~b = aÙb , aÙ~b = aÚb
于是，我们有下列对偶原理。
定理6.2A为格上的真表达式，当且仅当A*为< L，≥>上的真表达式，这里A*称为A的对偶式，即将A中符号Ú，Ù，≤分别改为Ù，Ú，≥后所得的公式，而 a≥b意即b≤a 。
回忆命题演算、集合代数中所述对偶定理，上述定理的意义是十分清楚的。
例6.2 格< ρ(S)，Í >中的真表达式A∩B Í A有对偶真表达式A∪BÊA。格< P，┝ >中真表达式p∧q┝ q有对偶真表达式q┝ p∨q 。
现在我们深入地讨论格的性质。在有必要时，下文将同时给出对偶的两个真表达式.
定理6.3设< L,≤>为格，那么对L中任何元素a,b,c 有
（l）a≤aÚb， b≤aÚb
aÙb≤a， aÙb≤b
（2）若a≤b，a≤c，则a≤bÚc
若b≤a，c≤a，则bÙc≤a．
（3）若a≤b，c≤d，则aÚc≤bÚd，aÙc≤bÙd
（4）若a≤b，则aÚc≤bÚc，aÙc≤bÙc．
证（l），（2）由运算Ù，Ú的定义立得．

（3）设a≤b， c≤d，我们只证aÚc≤bÚd，将aÙc≤bÙd 的证明留给读者。
由（1）b≤bÚd，d≤bÚd，于是 a≤bÚd，c≤bÚd（由≤的传递性）。于是由（2）得aÚc≤bÚd 。
（4）这是（3）的特例.
定理6.4设< L,≤>为格，那么对L中任意元素a,b,c 有
（1）aÚa = a ，aÙa＝a (幂等律)
（2）aÚb = bÚa ，aÙb = bÙa （交换律）
（3）aÚ（bÚc）=（aÚb）Úc
aÙ（bÙc）=（aÙb）Ùc (