实例说明利用Excel进行主成分分析.doc

方法:
1 利用Excel2000进行主成分分析

第一步，录入数据，并对进行标准化。
【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。

图1 原始数据和标准化数据及其均值、方差
（取自张超、杨秉庚《计量地理学基础》）

计算的详细过程如下：
⑴ 将原始数据绘成散点图（图2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势——如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对数据进行线性转换，否则效果不佳。从图2 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数R2=0.4979，相应地，相关系数R=0.7056。
⑵ 对数据进行标准化。标准化的数学公式为

这里假定按列标准化，式中
，
分别为第j列数据的均值和标准差，为第i行（即第i个样本）、第j列（即第j个变量）的数据，为相应于的标准化数据，为样本数目。

图2 原始数据的散点图

图3 标准化数据的散点图

对数据标准化的具体步骤如下：① 求出各列数据的均值，命令为average，语法为：
average(起始单元格:终止单元格)。如图1所示，在单元格B27中输入“=AVERAGE(B1:B26)”，确定或回车，即得第一列数据的均值；然后抓住单元格B27的右下角（光标的十字变细）右拖至C27，便可自动生成第二列数据的均值。
②求各列数据的方差。命令为varp，语法同均值。如图1所示，在单元格B28中输入“=VARP(B2:B26)”，确定或回车，可得第一列数据的方差，右拖至C28生成第二列数据的方差。
③ 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令stdevp直接生成标准差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。
④ 标准化计算。如图1所示，在单元格D2中输入“=(B2-$B$27)/$B$29”，回车可得第一列第一个数据“3”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格D2的右下角下拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；按照单元格D2的右下角右拖至E2，就能生成第二列第一个数据“2”的标准化数据-1.806077，抓住单元格E2的右下角下拖至E26便会生成第二列数据的全部标准化数值。
⑤ 作标准化数据的散点图（图3）。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为0，即有，斜率等于相关系数，即有。
⑶ 求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具（T）”→“数据分析（D）”的路径打开“分析工具（A）”选项框（图4），确定，弹出“相关系数”对话框（图5），在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以单元格G1为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关

图4 分析工具选项框

图5 相关系数对话框
系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给出（图6），可以通过“拷贝——转置——粘帖”的方式补充空白部分。

图6 标准化数据的相关系数和协方差

求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图7），弹出“协方差” 选项框（图8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见图6，可以看出，对于标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。

图7 在分析工具选项框中选择“协方差”

图8 协方差选项框

⑷ 计算特征根。我们已经得到相关系数矩阵为
，
而二阶单位矩阵为
，
于是根据公式，我们有

按照行列式化为代数式的规则可得

根据一元二次方程的求根公式，当时，我们有

据此解得，（对于本例，显然，）。这便是相关系数矩阵的两个特征根。

⑸ 求标准正交向量。将代入矩阵方程，得到

在系数矩阵中，用第一行加第二行，化为

由此得，令，则有，于是得基础解系
，单位化为
单位化的公式为（）。
完全类似，将代入矩阵方程，得到

用系数矩阵的第二行减去第一行，化为

于是得到，取，则有，因此得基础解系为
，单位化为
这里、便是标准正交向量。

⑹ 求对角阵。首先建立标准正交矩阵P，即有

该矩阵的一个特殊性质便是，即矩阵的转置等于矩阵的逆。根据，可知

下面说明一下利用Excel进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为mmult，语法是mmult (矩阵1的单元格范围，矩阵2的单元格范围)。例如，用矩阵 与矩阵C相乘，首先选择一个输出区域如G1:H2，然后输入“=mmult(A1:B2,C1:D2)”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”键（图9），即可给出
1.206044
1.206044
0.20817
-0.20817
再用乘得的结果与P阵相乘，便得对角矩阵
1.705603
0
0
0.294397
如果希望一步到位也不难，选定输出区域如C3:D4，然后输入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)” （图10），同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键，立即得到结果（图11）。显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。

图9 矩阵乘法示例

图10 矩阵连乘的命令与语法

至此，标准化的原始变量x与主成分之间z之间可以表作

显然与之间正交。

图11 乘法结果：对角矩阵

⑺ 根据特征根计算累计方差贡献率。现已求得第一特征根为，第二特征根为，二者之和刚好就是矩阵的维数，即有，这里m=2为变量数目（注意前面的n=25为样本数目）。比较图6或图10中给出的相关系数矩阵C与图11中给出的对角矩阵D可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有Tr.(C)= Tr.(D)，可见将相关系数亦即协方差矩阵转换为对角矩阵以后，矩阵的迹（trace，即对角线元素之和）没有改变，这意味着将原始变量化为主成分以后，系统的信息量没有减少。现在问题是，如果我们只取一个主成分代表原来的两个变量，能反映原始变量的多少信息？这个问题可以借助相关系数矩阵的特征根来判断。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根总和即矩阵维数的85.28%（见下表），即有
特征根
累计值
百分比
累计百分比
1.705603
1.705603
85.28%
85.28%
0.294397
2
14.72%
100.00%
也就是说：
：1.7056，
：0.2944，
：2，
这表明，如果仅取第一个主成分，可以反映原来数据85.28%的信息——换言之，舍弃第二个主成分，原来数据的信息仅仅损失14.72%，但分析变量的自由度却减少一个，整个分析将会显得更加简明。

⑻ 计算主成分载荷。根据公式，容易算出

⑼ 计算公因子方差和方差贡献。根据上述计算结果可以比较公因子方差和方差贡献。再考虑全部的两个主成分的时候，对应于和的公因子方差分别为

对应于第一主成分z1和第二主成分z2的方差贡献分别为

可以看出（图12）： 第一，方差贡献等于对应主成分的特征根，即有

第二，公因子方差相等或彼此接近，即有

第一，公因子方差之和等于方差贡献之和，即有

第一个规律是我们决定提取主成分数目的判据与之一，第二个规律是我们判断提取主成分数目是否合适的判据之一，第三个规律是我们判断提取主成分后是否损失信息的判据之一。去掉次要的主成分以后，上述规律理当仍然满足。这时如果第二个规律不满足，就意味着主成分的提取是不合适的。此外，上述规律也是我们检验计算结果是否正确的判据之一。

图12 公因子方差、方差贡献的计算结果及其与特征根的贡献

⑽ 计算主成分得分。根据主成分与原始变量的关系，应有

或者

对于本例而言，式中
，，
这里，为前面计算的标准化特征向量。于是有

化为代数形式便是

式中的x均为标准化数据。对进行转置，可得

图13 计算特征向量的公式及语法

图14 计算主成分得分

根据这个式子，利用Excel计算主成分得分的步骤如下：
① 将特征向量复制到标准化数据的附近；
② 选中一个与标准化数据占据范围一样大小的数值区域（如G2:H26）；
③ 输入如下计算公式“=mmult(标准化数据的范围，特征向量的范围)”，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)”（图13）；
④ 同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键。
⑤ 计算主成分得分的均值和方差，可以发现，均值为0（由于误差之故，约等于0），方差等于特征根。
⑥ 最后，可以对主成分得分进行标准化。已知主成分得分的均值为0,我们不按总体方差进行标准化，而按样本方差进行标准化。

图15 主成分得分的标准化结果

样本方差的计算公式为

相应地，标准差为

标准化公式同前面给出的一样。结果见表15。注意，这里之所以按样本方差进行标准化，主要目的是为了与SPSS的计算结果进行比较。
分别以z1、z2为坐标轴，将主成分得分（包括标准化的得分）点列标绘于坐标图中，可以发现，点列分布没有任何趋势：回归结果表明，回归系数和相关系数均为零，即有，，（图16，图17）。这从几何图形上显示：主成分之间是正交的，即有（试将图16、图17与图2、图3对比）。

图16 主成分得分的相关系数为零

图17 主成分得分的相关系数为零（标准化）

最后可以验证因子载荷即为（标准化）原始数据与主成分得分之间的相关系数，容易算出
，
，
，

图18 与的关系及其回归方程

图19 与的关系及其回归方程

图20 与的关系及其回归方程

图21 与的关系及其回归方程

回归方程为

方程的系数恰是以下矩阵的元素

Welcome To
Download !!!

欢迎您的下载，资料仅供参考！