漫画傅里叶解析笔记.doc

《漫画傅里叶解析》笔记
《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄
第0章 序 声音
用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。

第1章 通往傅里叶变换的道路
一、 声音与频率
声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。这个压力的变化叫声压。横轴表达时间，纵轴表达声压，将声音图形化。
1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返反复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。
“拉”音=440Hz 。不同的倍数得到不同声调的“拉”。
复杂的波形其实由简朴的波形合成得到。
构成复杂波形的简朴波形叫做频率成分。
将各个合成频率成分及其强度用图形表达，可以得到频率谱，简称谱。
明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。用傅里叶变换研究频率谱的特性的方法，叫做傅里叶解析。
二、 横波与纵波
在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。

声音是运用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。
具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。

不管横波还是纵波，都可以用正弦函数sin 表达。

三、 波的时间变化
看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，互相保持独立。
简朴波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。

四、 频率与振幅
振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。
振幅相应声音的强弱，振幅小的情况下相应的音量也小。
频率增长，音调变高，变成高音。

从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。
看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。最大的波周期，叫基本周期。
傅里叶变换环节：复杂波形 à 求频率成分 à 不同强度组合起来合成一个波形 （频率-强度 –谱 ）

五、 约瑟夫▪傅里叶的发现
傅里叶的发现：再复杂的现象也是由简朴的现象组合在一起而形成的。

六、 傅里叶变换的数学准备
Sin cos 三角函数；
函数的切线（倾斜）；
积分（原函数）；
定积分（面积、体积）；
不定积分；
函数的四则运算；
函数的积及其定积分；
函数的正交；
正交函数为基础的函数合成；
傅里叶级数；
傅里叶变换。

第2章 三角函数
一、 旋转与三角函数
摩天轮 的高度与时间的关系。
二、 单位圆
半径为1的圆叫单位圆。
三、 正弦函数
Y=sinθ

四、 余弦函数
X=cosθ

五、 参数表达与圆的表达式
X=cosθ
Y=sinθ
六、 随时间变化的三角函数的物理量的研究
物理量ω叫角速度，单位 弧度/秒（rad/s）
ω乘以t（s）得到的物理量是角度。
七、 ωt与三角函数
函数 y=sinωt
ω 定值， 以t为横轴，图形为正弦函数。
以ω为横轴，变成与纵轴平行的线段。
时间函数与频率谱产生联系。

第3章 积分与微分
一、 积分
积分与过山车，积分求面积。
dx 是什么意思？ d表达微小的意思，dx表达x的微小变化量。积分就是将微社区间的面积一点点加起来，从而求整个区间的方法。
二、 常数函数的积分
三、 一次函数的积分
四、 n次函数的积分
五、 任意曲线的定积分
将大区间分为间隔相同的社区间，依次按顺序求这些区间的面积，加起来得到大区间的面积。在数学表达式（数学函数）无法表达的场合，就用计算机来计算。
六、 切线
微分是积分的逆运算。微分就是求切线的斜率。
七、 微分
八、 三角函数的微分

九、 三角函数的定积分

第4章 函数的四则运算
一、 函数的和
二、 函数之间的加法
Y=X2 与 Y=X 的和 为 Y= X2+ X
三、 函数之间的减法
Y=X2 与 Y=X 的差 为 Y= X2- X
四、 函数之间的乘法
Y=X2 -2 与 Y=X 的积 为 Y= X3- 2X
Y=sinX 与 Y=cosX 的积 为 Y= sinX cosX=1/2 sin2X

第5章 函数的正交
一、 函数的正交
正交就是成直角的意思。
一方面画出两个互相正交的函数，sinX cosX

sinX 函数的波形 与 cosX函数的波形相差π/2。
也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。

假如函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。反过来说，假如两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。

二、 两正交函数的图形证明
三、 两正交函数的数学计算证明

四、 Y=sin2X的定积分

=π

第6章 傅里叶变换的准备知识
一、 用三角函数的加法运算制作图形
画出Y=sinX+cosX的图形。
图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。
这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。
二、 acosX与bsinX的合成

Sin nX 与 cos nX 合成时是n 周期，这个n 周期相应着角频率ω，有了周期和振幅r ，就能得到频谱图。

三、 周期不同的三角函数的合成
可以组合成不同的波形。
四、 傅里叶级数

锯齿波： An=n的倒数，即 1,1/2,1/3….. ，用excel计算 图形。
方波： An =奇数。
五、 时间函数与频率谱
讲三角函数时，三个不同的点在半径1，2，3的圆上旋转。将这个用随时间变化的图形表达出来，就能得到sin函数。
这种随时间变化的函数叫做时间函数。有拟定周期的反复变化的函数叫做周期函数。接下来，以ω为横轴，转换为频率谱图像。这样就完毕了从时间函数到频率谱转换的流程。

半径为3的圆周上，以ωt旋转的点可以用Y=3sinx 表达。同理，其余两个函数是Y=4sin2x ，Y=2sin3x；将这些函数加起来，变成下图：

傅里叶变换，就是从这样加法合成得到的函数中，能将加起来之前的各个函数的周期和大小计算出来。
傅里叶变换中的函数是周期函数，自然界中的很多波不是周期函数，只要取一段时间区间，将该波形不断反复形成周期函数，就能用傅里叶变换进行计算了。

六、 傅里叶变换的入口
合成和变换互为逆运算。将多个函数组合起来叫做“合成”。研究某个东西是如何组合而成的叫做“变换”。
根据傅里叶级数的逆向思考方法，采用傅里叶变换对波形进行分析，叫做傅里叶解析。

第7章 傅里叶解析
一、 研究频率成分的环节
傅里叶解析是求解原波形（函数）由哪些频率的波以如何的大小组合而成的方法。

环节1：一方面，为了将复杂波形转为周期函数，从波形中取出一段区间。将这个区间看做最大的周期，相应的频率为1Hz，为最小的频率。
取出1秒长度的区间中具有振动1000次的成分是频率为1kHz的频率成分。
环节2：从最低频率开始，到也许出现的最高频率，需要对所有频率一一进行分析。
环节3：从切取的波形中分析出某种特定的频率成分，需要使用滤波器，将成分一个一个的分解出来。
环节4：测量分解出来的频率成分的量，然后依次排开，就得到了频率谱。
二、 傅里叶系数

假如F（x）是随时间变化的函数，用F（t）表达。
这里a0，an，bn 叫做傅里叶系数，环节3就是求傅里叶系数。
a0决定波形的全体值在y轴上的上下位置的值。
从各种频率成分中，抽取某一特定频率成分，必须想到的是“函数的正交”，由于函数正交的关系，它们乘积的定积分的结果为0，而sin nx 和 cosnx都与自身不成正交关系，都有一定的值。因此，正交关系的性质，是频率成分的分解成为也许。
一方面看cos的傅里叶系数an，假如想要结果只剩下an cosnx，那么将F(x)全体乘以cosnx，然后做定积分。由于其它正交积分为0，所以只剩下一个cosnx的值。这样an的值就求出来了。

第四步：求r

第五步，将第四步求的r 从小到大排列画在图形中就得到了频率谱。

三、 音叉的频率谱

四、 吉他的频率谱

哆的频率是261.63Hz
五、 人的声音频率谱
六、 柔和的声音
音域是发出最低音到最高音的音程。音域广是好嗓子的重要基础。
共鸣关系是指低音，即以某个频率为基准，完好的具有这个频率的整数倍的频率的波的状态。

第8章 附录习题
求下面函数的傅里叶系数：

一方面：a0=0

另一方面 an=0 图形可知。Cos nx
b1=4/π

n为偶数时，bn=0；
n为奇数时，bn= 1/n * 4/π；