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第三章 行波法3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下： 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线，作变换，由上面的方程变为：求上面偏微分方程的解先对积分一次得再对积分一次得：其中是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为下面通过初始条件确定上面的任意函数 ， （1） （2）对（2）从到x积分得： （3）（1）+（3）得 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：解：略。达朗贝尔方程的物理定义：先讨论 （即振动只有初始位移） 先看项：当时若观察者位于处，此时在x轴上，若观察者以速度a沿轴正方向运动，则在t时刻观察者位于处，此时：由于t是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a沿x轴正方向传播。 表示以速度a正向传播的波，叫正行波。同样，表示以速度a负向传播的波，叫逆行波。若，即振动没有初始位移，这时令 则 由此可见第一项也是逆行波（反行波），第二项也是正行波。正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。综上所述：达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加。3.2 反射波讨论半元界弦的自由振动，且在无外力作用的情况下，其定解问题为：（1）的通解为：将初始条件（2），（3）代入上式得：得 （5） （6）再将（4）代入得：讨论：当即时，则（5），（6）变为代入通解有：若即，则仍可由（5）得到，但（6）不能用。但由（7）令，则有 则 代入得： 综上半元界弦的自由振动解为：解的物理意义：（1）若时，其解为达朗贝尔解，这说明端点的影响未传到。（2）若时，此时解和达郎贝尔解不相同，这说明端点的影响已传到。为说明问题，设初速度为零则上式中第一项：从轴负向向端点传播的反行波；上式中第二项：若观察者在时位于处，这时他所看到的波形为若观察者以速度沿轴正向行走，于是在时刻观察看者行至到处，这时他们所看到的波形为：这说明第二项是由端点传来的以速度沿轴正向传播的正行波筒称为反射波。反射波的另一种求解办法：（）若一端固定：此时相应的定解问题为：由于上面的问题已不是Cauchy问题，因此要用达朗贝尔公式必须将和延拓到整个数轴上，变为。这时： 因此，要使上式成立，只需为奇数即可。 （）若端点自由，则边界条件变为：，则：虽然只要取为奇函数，为偶函数即可。此时：3.3 纯强迫振动以上讨论的仅限于自由振动，其方程均为齐次的。下面讨论无界弦或杆的纯强迫振动，即 这时方程是非齐次的，若能设法将非齐项清去，便可利用达朗贝尔法求解。为此引入冲量原理。1冲量原理方程（1）中的是单位质量的弦上所受的外力。这是一从时刻一直延续到时刻t的持续作用力。根据叠加原理，这一持续力所引起的振动，可视为一条到前后相继的瞬时力所引导起的振动的叠加，即由于力对系统的作用对于时间积累是给系统一定的冲量。考虑在短时间间隔内对系统的作用。则表示在内的冲量，该冲量使系统的动量即系统的速度有一个改变量是单位质量弦上所受的力，故动量在数值上等于速度。现将内得到的速度改变量视为是在时刻的一瞬间得到的。则在这段时间内，瞬时力所引起的振动的是解问题可表为：为了求解，令则上面方程变为：因此欲求振动问题（1）（3）的解，只需求振动问题（4）（6）的解，而以上这种同瞬时冲量的叠加代替持续力来求解问题（1）（3）的方法，称为冲量原理。2：纯强迫振动的解对于下面的定解问题：令，则则由达朗贝尔公式于是得：此即强迫振动的解。例：求解下面的定解问题解：此题属于 强迫振动问题，且，由公式有 例：2求解下面的定解问题解：将y换成t，则原方程变为：故由由强迫振动的求解公式有： 原方程的解为：3一般强迫振动（或阻尼振动）对于一般强迫振动（或阻感振动），其定解问题为由于泛定方程和定解条件都是线性的，故可以利用叠加原理处理这一问题。令并且使满足 其使满足 其 例：求解下面的定解问题 答案：3.4 三维波动方程的poisson公式讨论三维波动方程的Cauchy问题求解方法：将三维波动问题的求解化为一维波问题先引入球坐标系，如图所示，则有球坐标系与直角坐标的换算关系为：这样在球坐标下变为若只考虑球对称问题，即 只与r，t有关而与无关，这时上面的波动方程变为：化简整理为： 亦即： 将ru看成未知函数，则由一维波动方程有于时：其中是任意的二次可微函数下面讨论一般情况：由于在空间一点处给以扰动，波就会给以为中心的各射线方向以相同的速度传播。考虑函数在以为中心，以为半径的球面上的平均值。当M固定时，只是r和t的函数。设为上任意一点，对任意在求面上的平均值为：其中：是沿的曲面面积元，在球坐标系中于是现证明满足一维波的方程对方程在球面所形成的闭球面上作积分利用Gauss公式有：而即：两边对r求导得：同除以r有：这说明服从一维波动方程。故：为了求上式两边先对r求导即：两边对t求导有：令得 即又当t=0时，以at代r, 并注意到上式即为三维波动方程Cauchy问题的Possion公式,其中：例1：利用Poisson公式求下面的解解：根据Poisson公式 例2：求解下面初值问题解法1；此处，故有注意到从而有方法2：由于定解问题（1）（3）是线性的，故由叠加原理，可令 4使分别满足如下的定解问题 ； ；于是由达朗贝尔解法有3.5推迟势计论具有零值初始条件的有源空间波问题1.推迟势：欲述这一问题的解，可采用冲量原理，即先求无源问题：的解，于是原问题的解为而 则 引入变量代换：则表示在以M为中心，at为半径的球面上的变点称为推迟势。推迟势的物理定义：欲求M点在t时刻的波动问题的解u(M,t),必须把以M为中心，at为半径的球体的内源的影响，都叠加起来，而且，源对M点在t时刻的影响，必须在比t早的时刻发出，因为扰动的速度a传播必须历时才能得到M点。例：求解波动问题 解：令使 其中：