山东省淄博市2015届高考数学摸底试卷(理科).doc

山东省淄博市2015届高考数学摸底试卷(理科）
一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是正确的)
1．(5分）已知全集U={0,1，2，3,4},集合A={0,1,2,3},B=｛2,3,4｝，那么CU（A∩B）（）
A． {0，1｝ B． {2,3｝ C． ｛0,1，4} D． ｛0,1，2,3,4}
2．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是()
A． y=x+1 B． y=x3C． y=tanx D． y=log2x
3．(5分)某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(）
A． k≤5? B． k＞4? C． k＞3? D． k≤4？
4．（5分）若“￢p∨q"是假命题，则(）
A． p是假命题 B． ￢q是假命题 C． p∨q是假命题 D． p∧q是假命题
5．（5分)已知向量=（2,1），+=(1，k2﹣1),则k=2是⊥的（)
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．(5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(）
A． B． C． D．
7．（5分)在区间（0,）上随机取一个数x,则事件“tanxcosx≥”发生的概率为（）
A． B． C． D．
8．（5分）函数y=（ex﹣e﹣x)sinx的图象（部分）大致是(）
A． B． C． D．
9．（5分）过双曲线C:﹣=1的右顶点做x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）
A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1
10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x），满足f′(x）＜f(x），f（2+x）=f(2﹣x）,f（4)=1,则不等式f(x）＜ex的解集为（）
A． （﹣2,+∞） B． （0,+∞) C． （1，+∞） D． (4，+∞）
二、填空题（每小题5分，共25分)
11．（5分)在等差数列{an｝中,a15=33，a25=66,则a35=．
12．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D﹣ABC的体积是．
13．（5分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是．
14．(5分）设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1,则+的最小值为．
15．(5分）给出定义:设f′(x)是函数y=f（x）的导数，f″(x）是函数f′(x)的导数,若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点(x0,f（x0）)为函数y=f（x)的“拐点"．对于二次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），有如下真命题:任何一个二次函数都有位移的“拐点”,且该“拐点”就是f（x）的对称中心,给定函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据上面结论，计算f（)+f(）+…+f（)=．
三、解答题（共75分，应写出必要的计算过程、证明)
16．（12分）已知函数f(x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣(ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ)将函数f(x）的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在[0，]上的值域．
17．(12分）在如图所示的几何体中,四边形ABED是矩形,四边形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG,EF∥DG,∠EDG=120°．
（Ⅰ）证明：FG⊥平面ADF;
（Ⅱ）求二面角A﹣CG﹣F的余弦值．
18．(12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B,D间的距离为21海里．
（Ⅰ)求sin∠BDC的值；
(Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A?
19．（12分）已知数列｛an｝中，a1=1,an+1=（n∈N＊）．
（Ⅰ）求证：｛+｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式an；
（Ⅱ)设bn=（3n﹣1）••an,记其前n项和为Tn，若不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+n对一切n∈N*恒成立对一切n∈N＊恒成立，求λ的取值范围．
20．(13分）已知椭圆C：+=1(a＞b＞0）经过点D(2，0)，E(1，)两点．
(1)求椭圆C的方程;
（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同两点A,B，点G是线段AB的中点,点O为坐标原点，设射线OG交椭圆C于点Q，且=λ．
①证明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面积S（λ)的解析式,并计算S（λ)的最大值．
21．(14分）已知函数f（x）=lnx，g(x）=ex．
(Ⅰ）求函数y=f(x）﹣x的单调区间；
（Ⅱ）证明:函数y=f（x）和y=g（x)在公共定义域内,g（x）﹣f（x）＞2;
(Ⅲ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=ax1，f（x2）=ax2．求证：x1x2＞e2．
山东省淄博市2015届高考数学摸底试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）
1．(5分）已知全集U={0,1，2,3，4}，集合A=｛0，1，2，3},B={23，4｝,那么CU(A∩B）()
A． ｛0，1} B． ｛2，3｝ C． ｛0，1,4｝ D． ｛0，1,2，3,4}
考点： 交、并、补集的混合运算．
分析: 找出A与B的公共元素，求出两集合的交集，在全集中找出不属于交集的部分，即可确定出所求的集合．
解答： 解：∵集合A={0,1，2，3｝，B=｛2，3，4｝，
∴A∩B={2,3｝,
又全集U=｛0，1，2，3，4}，
则CU(A∩B）=｛O，1，4}．
故选：C．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
2．（5分)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是(）
A． y=x+1 B． y=x3C． y=tanx D． y=log2x
考点: 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 运用常见函数的奇偶性和定义，注意首先判断定义域是否关于原点对称，即可得到既是奇函数又在定义域上单调递增的函数．
解答: 解：对于A．定义域为为R，f(﹣x）=﹣x+1≠﹣f（x),不为奇函数，则A不满足条件；
对于B．定义域为R，f（﹣x)=﹣x3=﹣f（x），则为奇函数，且f′(x)=3x2≥0，f（x）在R上递增,则B满足条件；
对于C．定义域为｛x｜x≠kπ+，k∈Z},关于原点对称，tan(﹣x)=﹣tanx，则为奇函数，在（k，k）（k∈Z)上递增，则C不满足条件；
对于D．定义域为{x｜x＞0｝，不关于原点对称,不具奇偶性,则D不满足条件．
故选：B．
点评： 本题考查函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（）
A． k≤5？ B． k＞4? C． k＞3？ D． k≤4？
考点: 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
解答： 解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：
S 条件？K
循环前 0/1
第1圈 1 否 2
第2圈 4 否 3
第3圈 11 否 4
第4圈 26 是
可得，当k=4时,S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26
所以判断框应该填入的条件为：k＞3?
故选:C．
点评: 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．
4．（5分)若“￢p∨q"是假命题,则()
A． p是假命题 B． ￢q是假命题 C． p∨q是假命题 D． p∧q是假命题
考点: 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析: 由于“￢p∨q"是假命题，可得￢p与q都是假命题，即可判断出．
解答： 解：∵“￢p∨q”是假命题，
∴￢p与q都是假命题，
∴p∧q是假命题．
故选：D．
点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法，属于基础题．
5．(5分）已知向量=（2，1），+=（1，k2﹣1)，则k=2是⊥的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据向量垂直的充要条件，可知若⊥则两个向量的数量积等于0,再用向量的数量积的坐标公式计算即可．
解答： 解：∵向量=（2,1)，+=（1,k2﹣1）,
∴=（﹣1，k2﹣2)，
当k=2时,
∴=（﹣1，2），
∴=2×(﹣1）﹣1×2=0，
∴⊥，
若果⊥，
∴
∴k=0．
∴当k=2是⊥的充分不必要条件．
故选A．
点评： 本题主要考查向量垂直的充要条件,以及向量的数量积的坐标运算公式．
6．（5分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（)
A． B． C． D．
考点： 简单空间图形的三视图．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体,它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．
解答： 解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选:A．
点评： 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．
7．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥"发生的概率为(）
A． B． C． D．
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 先化简不等式,确定满足tanx•cosx≥且在区间(0，）内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．
解答： 解：∵tanx•cosx≥，即sinx≥且cosx≠0，
∵x∈（0，)，
∴x∈［，),
∴在区间(0,)内，满足tanx•cosx≥发生的概率为P==．
故选:D
点评： 本题考查几何概型，三角函数的化简，考查学生的计算能力,属于中档题．
8．(5分）函数y=(ex﹣e﹣x）sinx的图象（部分)大致是()
A． B． C． D．
考点: 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析: 通过函数的奇偶性,排除部分选项,然后利用0＜x＜π时的函数值,判断即可．
解答: 解：函数f(﹣x)=(e﹣x﹣ex）(﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），
∴函数f(x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函数,排除A、B；
当0＜x＜π时,f(x)＞0，排除D．
∴C满足题意．
故选：C．
点评： 本题考查函数的图象的判断,一般通过函数的定义域、值域．单调性,奇偶性，变化趋势等知识解答．
9．（5分）过双曲线C:﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（)
A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由题意,c=4,双曲线的一条渐近线方程为y=,求出A的坐标,利用右焦点F（4,0)，｜FA｜=4,可求a,b，即可得出双曲线的方程．
解答： 解:由题意，c=4,双曲线的一条渐近线方程为y=，
令x=a,则y=b，即A（a,b）,
∵右焦点F(4，0），｜FA｜=4，
∴（a﹣4)2+b2=16，
∵a2+b2=16，
∴a=2，b=2,
∴双曲线C的方程为﹣=1．
故选：A．

点评: 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（5分)已知定义在R上的函数f（x）的导函数f′(x）,满足f′（x)＜f(x)，f（2+x）=f（2﹣x)，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）
A． （﹣2,+∞) B． （0，+∞) C． （1，+∞） D． （4,+∞）
考点: 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题： 计算题；函数的性质及应用;导数的综合应用．
分析: 由题意知，f(0）=1,再令g（x)=(x∈R)，从而求导g′（x）=＜0，从而可判断y=g（x）单调递减,从而可得到不等式的解集．
解答: 解：∵f(2+xf（2﹣x)，
∴f（4）=f（0）=1;
设g（x）=（x∈R)，则g′(x)=，
又∵f′（x)＜f（x）,
∴f′（x）﹣f(x)＜0，
∴g′（x）＜0；
∴y=g（x)单调递减，
而当x=0时,g（0）==1;
故当x＞0时，g（x）＜1，当x＜0时，g（x）＞1，
故当x＞0时，有f（x）＜ex；
故不等式的解集为(0,+∞)，
故选:B．
点评： 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，属于中档题．
二、填空题(每小题5分,共25分）
11．（5分)在等差数列{an｝中，a15=33，a25=66,则a35=99．
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列，结合已知可求
解答： 解:由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列
∴2a25=a15+a35
∵a15=33，a25=66,
∴a35=2×66﹣33=99．
故答案为：99
点评: 本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题
12．(5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题．
分析: 如图，由正方形的性质可以求得其对角线长度是 a，折起后的图形中，DE=BE=a，又知BD=a，由此三角形BDE三边已知，求出∠BED，解出三角形BDE的面积，又可证得三棱锥D﹣ABC的体积可看作面BDE为底，高分别为AE,AC的两个棱锥的体积和
解答: 解:如图，由题意知DE=BE=a，BD=a
由勾股定理可证得∠BED=90°
故三角形BDE面积是 a2
又正方形的对角线互相垂直,且翻折后，AC与DE,BE仍然垂直,故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高
故三棱锥D﹣ABC的体积为 ×a×a2=
故答案为:．
点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,解题的关键是正确理解图形，将求几何体体积变为求两个几何体的体积,换一个角度求解,使得解题过程变得容易．
13．（5分）若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是（x﹣2)2+（y﹣1）2=1．
考点: 圆的标准方程;圆的切线方程．
专题： 计算题．
分析: 依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．
解答： 解：∵圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切,
∴半径是1，圆心的纵坐标也是1,设圆心坐标(a，1)，
则1=，又 a＞0，∴a=2，
∴该圆的标准方程是 (x﹣2）2+(y﹣1）21；
故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．
点评: 本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．
14．（5分）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0)的最大值为1,则+的最小值为9．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析: 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求+的最小值．
解答: 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，
作出可行域如图:
∵a＞0，b＞0,
∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由，解得，即A(1,1）．
此时目标函数的最大值为1即z=a+b=1，
则+=(+）(a+b）=1+4++=5+4=9，
当且仅当=，即b=2a=时,取等号，
故+的最小值为9，
故答案为：9．
点评： 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
15．（5分)给出定义:设f′（x)是函数y=f(x)的导数，f″（x)是函数f′(x）的导数,若方程f″（x）=0有实数解x0,则称点(x0，f(x0）)为函数y=f（x）的“拐点"．对于二次函数f(x）=ax3+bx2+cx+d(a≠0),有如下真命题:任何一个二次函数都有位移的“拐点”，且该“拐点"就是f(x）的对称中心，给定函数f(x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据上面结论，计算f（）+f(）+…+f（)=2015．
考点: 导数的运算；函数的值．
专题: 导数的概念及应用．
分析: 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称,即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．
解答： 解：函数的导数f′（x）=x2﹣x+3，
f″（x)=2x﹣1，
由f″（x0）=0得2x0﹣1=0
解得x0=,而f（）=1，
故函数f（x）关于点(,1)对称，
∴f(x）+f（1﹣x）=2，
故f(）+f（)+…+f（）=2×1007f(）=2014+1=2015．
故答案为:2015．
点评： 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．
三、解答题（共75分，应写出必要的计算过程、证明）
16．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求函数f(x）的单调递增区间;
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在[0,]上的值域．
考点： 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简,化简函数的解析式,再由三角函数的周期公式求出ω,求出函数的解析式,利用正弦函数的单调区间公式,即可得到单调递增区间;
(II）根据函数图象平移的公式,得出函数g（x）的解析式,求出函数的相位的范围,利用正弦函数的值域求解即可．
解答： 解：(Ⅰ)由题意，得
函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin(2ωx﹣)，函数f(x）ω＞0的最小正周期是π,
∴，
∴ω=1．
∴f（x)=2sin（2x﹣）．
由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得,k∈Z．
∴函数fx)的单调递增区间:,k∈Z．
（II）将函数f（x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位，
得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1．
∵x∈[0,］，
∴2x+∈［,]，
当2x+=时，即x=时，函数取得最大值：3．
当2x+=时，即x=时，函数取得最小值：1．
∴y=g(x）在［0,］上的值域为[1，3］．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，辅助角公式的应用，三角函数的单调区间以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．
17．（12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形,AD⊥平面DEFG，EF∥DG,∠EDG=120°．
（Ⅰ）证明:FG⊥平面ADF；
(Ⅱ）求二面角A﹣CG﹣F的余弦值．
考点: 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题: 空间位置关系与距离．
分析: （Ⅰ）取DG的中点M，连结FM，由已知得四边形DEFM是平行四边形，从而FG⊥DF,由此能证明FG⊥面ADF．
（Ⅱ)取EF的中点H，连结DH，以D为原点，DH为x轴，DG为y轴，DA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CG﹣F的余弦值．
解答： (Ⅰ）证明:取DG的中点M，连结FM,则EF=DM，
∵EF∥DG,∴四边形DEFM是平行四边形，
∴MF=DE=DG=1，
∴△DFG是直角三角形，∴FG⊥DF，
又AD⊂平面ADF，DF⊂平面ADF，AD∩DF=D,
∴FG⊥面ADF．
(Ⅱ）解：取EF的中点H，连结DH,由(1）知DH⊥EF，
又EF∥DG，∴DH⊥DG，
又AD⊥平面DEFG，∴AD⊥DH，AD⊥DG,
以D为原点，DH为x轴,DG为y轴，DA为z轴,
建立空间直角坐标系，
则D（0,0，0）,F(,，0），G（0，2，0），
C（0，1，1)，=(﹣,,0），=（0,﹣1，1)，
设平面FGC的法向量=(x，y，z），
则,取x=，得=（），
又平面ACG的法向量=（1，0,0），
∴cos＜＞==．
∴二面角A﹣CG﹣F的余弦值为．
点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．
18．(12分）如图所示,近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
（Ⅰ)求sin∠BDC的值;
（Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A?
考点: 解三角形的实际应用．
专题： 应用题；解三角形．
分析 （Ⅰ）由已知可得 CD=20，△BDC中,根据余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC 的值．
(Ⅱ)由已知可得∠BAD=60°,由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）的值,再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．
解答： 解：（Ⅰ)由已知可得 CD=40×=20，
△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC==﹣，
∴sin∠BDC=．
(Ⅱ）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°,
∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．
△ABD中,由正弦定理可得AD==15，
∴t==22。5分钟．
即海警船再向前航行22。5分钟即可到达岛A．
点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题．
19．（12分)已知数列｛an｝中,a1=1，an+1=（n∈N*）．
（Ⅰ）求证:｛+}是等比数列,并求｛an}的通项公式an；
（Ⅱ)设bn=（3n﹣1)••an,记其前n项和为Tn，若不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+n对一切n∈N＊恒成立对一切n∈N＊恒成立，求λ的取值范围．
考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质．
专题: 等差数列与等比数列．
分析： (Ⅰ)由已知得=3（）,由此能证明｛+｝是以为首项,3为公比的等比数列，从而得到an=．
(Ⅱ）由bn=（3n﹣1）••an=，利用错位相减法能求出Tn=4﹣,由此能求出不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+n对一切n∈N＊恒成立的λ的取值范围．
解答： （Ⅰ）证明：∵数列｛an｝中，a1=1,an+1=（n∈N*），
∴=3（），
又+,∴{+}是以为首项，3为公比的等比数列，
∴+==，
∴an=．
(Ⅱ）解：∵bn=(3n﹣1）••an=,
∴Tn=,①
=，②
①﹣②，得=﹣
=﹣
=2﹣，
∴Tn=4﹣，
∵不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+n对一切n∈N＊恒成立，
∴对一切n∈N＊恒成立,
∴对一切n∈N＊恒成立，
设g（n）=4﹣，则g(n）是递增函数,
∴λ＜g(1）=2．∴λ＜2．
点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
20．（13分）已知椭圆C:+=1(a＞b＞0）经过点D（2,0），E（1，）两点．
（1）求椭圆C的方程;
（2)若直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A,B，点G是线段AB的中点,点O为坐标原点,设射线OG交椭圆C于点Q，且=λ．
①证明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面积S(λ)的解析式,并计算S(λ）的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析: （1）由已知得，由此能求出椭圆方程．
（2）①令A(x1,y1），B(x2，y2），由,得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识,结合已知条件能证明λ2m2=4k2+1．
②由｜x1﹣x2｜==，，得S(λ）==，λ＞1,由此利用换元法能求出当时，S(λ）=取得最大值1．
解答： （1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点D（2，0），E(1，)两点,
∴，
解得a=2,b=1,
∴椭圆方程为．
（2)①证明：令A（x1，y1），B（x2，y2），

由,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴，即,
∴y1+y2=k（x1+x2)+2m==，
又由中点坐标公式，得G（），
根据，得Q(，）,
将其代入椭圆方程，有+=1，
化简得：λ2m2=4k2+1．
②解：由①得m≠0，λ＞1，
∵|x1﹣x2｜==,
在△AOB中，,
∴S（λ)==，λ＞1，
令，t＞0，
则S==＜=1（当且仅当t=1时，即时取“="）
∴当时,S(λ）=取得最大值,其最大值为1．
点评： 本题考查椭圆C的方程的求法，考查λ2m2=4k2+1的证明，考查△AOB的面积S(λ)的解析式的求法，考查S（λ）的最大值的计算,解题时要注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识的合理运用．
21．(14分）已知函数f（x）=lnx，g（x)=ex．
(Ⅰ）求函数y=f(x）﹣x的单调区间；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）和y=g（x)在公共定义域内,g（x）﹣f（x）＞2；
（Ⅲ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=ax1,f（x2）=ax2．求证：x1x2＞e2．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）函数y=f(x）﹣x的定义域为（0,+∞)，再求导y′=﹣1，从而确定函数的单调区间;
（Ⅱ）先求函数y=f（x）和y=g（x）的公共定义域,从而化简g(x)﹣f(x）=ex﹣lnx=（ex﹣x）﹣（lnx﹣x），从而设m(x）=ex﹣x,设n（x)=lnx﹣x，从而证明．
(Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0,从而可得lnx1+lnx2=a（x1+x2）；从而可得a=＞；令h（t）=lnt﹣（t＞1）；从而利用导数证明．
解答: 解：（Ⅰ)函数y=f（x)﹣x的定义域为（0，+∞）,
y′=﹣1，
故当x∈(0,1)时，y′＞0，当x∈（1，+∞）时，y′＜0，
故函数y=f（x）﹣x的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，+∞);
（Ⅱ）证明：函数y=fx)和y=g（x)的公共定义域为（0，+∞）,
g（x）﹣f(x)=ex﹣lnx=(ex﹣x）﹣（lnx﹣x），
设m（x）=ex﹣x，则m′（x）=ex﹣1＞0，则m（x)在(0，+∞）上单调递增，
故m（x）＞m（0)=1；
设n（x）=lnx﹣x,则n′（x）=﹣1,当x=1时有极大值点,
n(x）≤n(1）=﹣1；
故g(x）﹣f（x）=m（x）﹣n（x）＞2；
故函数y=f（x)和y=g（x）在公共定义域内，g（x）﹣f（x）＞2．
（Ⅲ）证明：不妨设x1＞x2＞0，由题意得，
lnx1=ax1，lnx2=ax2;
所以lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2)；
而要证x1x2＞e2，
只需证明lnx1+lnx2＞2；
即证明a（x1+x2）＞2；
即证明a=＞；
即证明，ln＞；
令=t，则t＞1；
即证明lnt＞；
设h（t)=lnt﹣（t＞1）；
则h′（t）=﹣=＞0，
故函数h（t）在区间（1，+∞）上是增函数,
所以h(t）＞h（1)=0，
即lnt＞；
所以不等式x1x2＞e2成立．
点评： 本题考查了导数的综合应用及导数在求单调性与极值的应用，同时考查了构造函数证明不等式的思想,属于难题．