4.多项式最大公因式的求解教学教材.doc

4.多项式最大公因式的求解

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多项式最大公因式的求法
定理1　设是中个多项式.中多项式称为的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：
(1)是的公因式.
(2)的公因式全是的因式.
定理2 设是中的多项式，中多项式是的最大公因式，是任意的非零常数，则有.
证明：当、有一个为零，例如，那么结论显然成立.
当时，则有，.
从而，即是与的一个公因式，令，.根据整除的性质，我们有，所以.
所以

方法1：用辗转相除法求最大公因式
引理 如果的最大公因式存在，那么的最大公因式也存在，且. (1)

证明：由题意，假设的最大公因式为，那么与的最大公因式也是存在的. (2)
又由(1)、(2)式，可知.
假设是的一个公因式，由(1)式可得.这样就是与的一个公因式，再由(2)式可得.
所以.
定理3　设是中的个多项式，则在中存在一个最大公因式，且可以表示成的一个组合，即有中多项式使.
由定理3对一般情况，
设，不妨设则，.记，令，则，故. 记，且故
如此下去，所得差式的次数不断降低，即.因此在有限次之后，必然有一差式为零，即，则乘以首项系数的倒数之后即为.
例1 例1　设求.
解由题意得：

用等式表示出来，就是

因此
例 2 设 求，并求使.
解：由题意得：

0
用等式表示即

因此
而

于是，令就有
方法2：方程组法求解多项式的最大公因式
定理4 设、是上的两个多项式，令将方程组化解为则当时，中多项式是与的最大公因式；当时，与互素.（其中是常数）
例 3 设求
解：作方程组

所以
例 4 设 求
解：作方程组

所以
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