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因式分解式讲义精讲

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教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：初一 课 时 数：1
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型
复习

授课日期及时段
2016.4.16 12:50—2:50
教学目的
1. 熟练掌握因式分解的有关概念和运算法则。
2. 熟练地、灵活地运用因式分解进行计算。
教学内容
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
　（1）a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
　(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
（7）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）
（8）(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘
例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：

例2、分解因式：

练习：分解因式1、 2、 3.

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：

例4、分解因式：

练习：分解因式3、 4、 5. x5+x4+x3+x2+x+1

综合练习：（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

（11）（12）

(13）xy–xz–y2+2yz–z2 (14）a2–b2–c2–2bc–2a+1

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
口诀：首尾分解，求和凑中，交叉相乘。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：

例5、分解因式： 例6、分解因式：

练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式，既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd ，简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=

例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1） （2）

（3） （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=

练习8、分解因式(1)(2)(3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）

综合练习10、（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）（8）

（9）（10）

思考：分解因式：

五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）

例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）
（2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=

= = = = = =
= =

（2）
解：原式=
=
=
=

配方法：因式分解 a2–b2+4a+2b+3
原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)

练习15、分解因式
（1） （2）
（3） （4）
x^4+x^2+2ax+1-a^2 =
x^4+2x^2+1-x^2+2ax-a^2
=(x^2+1)^2-(x-a)^2
=(x^2+1+x-a)(x^2+1-x+a)
（5） （6）
-(a^2-b^2)^2-2c^2(a^2-b^2)+c^4=(a^2-b^2-c^2)^2
（7） x4 + 4 原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2= (x2+2)2 – (2x)2= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
（8）x4–23x2y2+y4 （9）(m2–1)(n2–1)+4mn

七、待定系数法。
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=

分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)
= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd
从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以 解得 则x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。

（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式
必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴ 解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) （一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根）
例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6
解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 ,
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9: 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c)
10双十字相乘法
十字相乘法是利用这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。
运用双十字乘法对型的多项式分解因式的步骤：
1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含的一次项的系数E，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含的一次项的系数D。
一、用双十字相乘法分解多项式
我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：
计算。

∴

从计算过程可以发现，乘积中的二次项只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式的分解因式的方法是：

1、先用十字相乘法分解。
2、再将常数项－5的两个因数写在第二个十字的右边。
3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y。再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x，那么原式就可以分解成。
综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。
例1、分解因式。
∵4×6－15=9，－3×(－7)+2×6=33，－28+10=－18，
∴。

评注：在使用双十字相乘法时，不必标出，只需写出的系数就可以了。即第1列是的系数的两个因数；第2列是的系数的两个因数；第3列是常数项的两个因数。
例2、分解因式。
∵3×(－2)+5×1=－6+5=－1，∴=。
例3、分解因式。
∵3×(－2)+3×8=－6+24=18，
∴=。
例4、分解因式。
∵2×5+3×(－4)=10－12=－2，
∴。
评注：注意本题中的第3列是的两个因式,不要丢掉z。
例5、分解因式。
解法1：
∴
解法2：
。
解法3：

=
∴解之，得。
∴。
评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法2将原多项式化成关于的二次三项式分解因式；解法3则使用了待定系数法。
练一练：用多种方法分解下式：。
答案：。
(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式

解二：原式=

2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将拆成，则有

解二：将常数拆成，则有

3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：

设，则

4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在中，三边a,b,c满足
求证：
证明：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：__________
解：

说明：利用等式化繁为易。
题型展示
1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。
解：

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将
解：

说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1. 分解因式：

2. 已知：的值。

3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。

4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）

5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较

因式分解练习题精选
一、填空：（30分）
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____
3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _______
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。
12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。
14、若则___。
15、方程，的解是________。
二、选择题：（10分）
1、多项式的公因式是（ ）
A、－a、 B、 C、 D、
2、若，则m，k的值分别是（ ）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式中能用平方差公
式分解因式的有（ ）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算的值是（ ）
A、 B、
三、分解因式：（30分）
1 、 2 、
3 、 4、
5、 6、 7、
8、 9 、 10、

四、代数式求值（15分）
1、 已知，，求 的值。

2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、 已知，求的值

五、计算： （15）
（1） 0.75 （2） 　
（3）
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n，都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。
丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）

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