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第五章___光的偏振

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第五章 光的偏振

=

1.试确定下面两列光波

的偏振态。
已知：，
求：两列光波的偏振态。
解：由已知可知：两列波的振幅相同，即
且两列波中的和的相位差
所以两列波均为左旋圆偏光。

2.为了比较两个被自然光照射的表面亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片的透振方向的夹角为。若观察到两表面的亮度相同，则两表面实际的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的10%。
已知：如图所示，与的夹角为，吸收率为10%，自然光入射
求：
解：

即

3.两个尼科耳和的夹角为，在它们之间放置另一个尼科耳，让平行的自然光通过这个系统。假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问和的透振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射e光强为，求此时所能通过的最大光强。
已知：和的夹角为，
求：和的透振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？
解：

所以，当 时 ，即 时，

4.在两个正交的理想偏振片之间有一个偏振片以匀角速度绕光的传播方向旋转（如图所示），若入射的自然光强为，试证明透射光强为。
已知：和的夹角为，
求证：透射光强为。
证明：

证毕。

5.线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是，入射光的电矢量与入射面成。求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。
已知：，，
求：
解：根据 ， 得 ，
即入射光是以布儒斯特角入射的，反射光只有垂直振动的分量。
又据
得
所以 ， 而 ，所以

6.一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成角。两束折射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成角。计算两束透射光的相对强度。
已知：入射的线偏振光的振动面与方解石主截面成角，
尼科耳棱镜主截面与入射光的振动面成。
求：
解：如图1所示。入射光进入方解石内成为光和光，并且
它们再入射尼科耳棱镜后，变为：
所以

如果方解石的主截面与尼科耳棱镜方位如图2所示，
则

所以

7.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成角。求：（1）透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？（2）用钠光入射时如要产生的相位差，波片的厚度应为多少？（）
已知：入射的线偏振光振动面与方解石的主截面的夹角为，
，
求：（1） （2）时，
解：（1）如图所示， 因为

（2）由
得

8.有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的1/4波片，问这块石英片应切成多厚？石英的，，。
已知：，，，1/4波片
求：
解： 由
得：
或由
得：

9.（1）线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片上，透射出来后，原来在波片中的寻常光及非寻常光产生了大小为的相位差，问波片的厚度为多少？已知，，；（2）问这块波片应怎样放置才能使透射光射出来的光线是线偏振光，而且它的振动面和入射光的振动面成角？
已知：，，，
求：（1） （2）时，出射光的振动面较入射光转过角。
解：（1）由
得：
此波片为半波片。
（2）因为入射光振动面与出射光的振动面夹角，
所以有 ，
即振动面与晶体主截面成角放置。

10.线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光的振动面与波片光轴成，问波片中的寻常光和非寻常光透射出来后的相对强度如何？
已知：
求：
解：由 ， 可得：

11.在两个正交的尼科耳棱镜和之间垂直插入一块波片，发现后面有光出射。但是，当绕入射光向顺时针转过后，的视场全暗。此时，把波片也绕入射光顺时针转过，的视场又亮了。问：（1）这是什么性质的波片；（2）要转过多大角度才能使的视场又变为全暗。
解：（1）如图1所示，加入波片后，有光通过，
并且，顺时针旋转角后，出现消光现象，说明从出射的光为线偏振光，因此，此波片为片。

（2）如图2所示，因为 ，所以产生消光。
通过波片后，其偏振方向旋转角。
因为 ，所以 ，
（3）（片）旋转角后至位置，经过
后，偏振方向又转过角，
即 ，从而 。如图3所示。
（4）再转过角后至位置，若视场又为全暗，则，如图4所示。
所以 ，
即最终要顺时针转过角度，才能使视场又变为全暗。如图4所示。

12.一束圆偏光，1）垂直入射到1/4波片上，求透射光的偏振状态；（2）垂直入射到1/8波片上，求透射光的偏振状态。
解：（1）设圆偏光的波动方程为：
圆偏振光经过1/4波片后，产生的相位差，则有：
， 可见
也就是说，圆偏振光经过1/4波片后变为了线偏振光，并且，振动方向与波片主截面成角。
（2）圆偏振光入射到1/8波片后，产生的相位差为：

所以有
令 ，则得：
显然，这是一个椭圆方程，即通过1/8波片后的圆偏振光变为椭圆偏振光。

13.试证明一束左旋圆偏光和一束右旋圆偏光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。
证明：设左旋圆偏振光方程为： 右旋圆偏振光方程为：

它们合成后：

可见，一束左旋圆偏光和一束右旋圆偏光叠加后，变为沿x轴方向偏振的线偏振光。

14.设一方解石波片沿平行光轴方向切出，其厚度为0.034mm，放在两个正交的尼科耳棱镜间。平行光束经过第一个尼科耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光（）而言。晶体的折射率为，。问通过第二个尼科耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？
已知：，，，，
求：通过第二个尼科耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？
解：（1）时：如图1所示，入射光通过后，两束出射光之间的相位差为：

显然满足 ，所以两束出射光将因干涉而减弱。
（2） 时，如图2所示，入射光通过后，两束出射光之间的相位差为：

所以，两束出射光将因干涉而加强。

15.单色光通过一尼科耳，然后射到杨氏干涉实验装置的两个细缝上，问：（1）尼科耳的主截面与图面应成怎样的角度才能使光屏上的干涉图样中的暗纹为最暗？（2）在上述情况下，在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，问在光屏上的干涉图样有何改变？
解：（1）如图所示，单色光从尼科耳棱镜射出后，变为线偏振光，因为其余条件不变，幕上的干涉条纹的形状和间距都不变化，反衬度也基本不变。
（2）如果再在一个缝前放置一半波片，则通过此缝的线偏振光的振动方向与通过另一缝的线偏振光的偏振方向形成的夹角，并且；这两束线偏振光发生干涉时，其合振动的振幅为：
当的偏振方向与半波片的光轴方向夹角＜时，
当=时，，则这两束光将不能产生干涉现象；
当＞时，，则
可见，当旋转半波片时，就是改变角，因此，干涉条纹的强度将随角的改变而改变，并且在=时，这两束光将不能产生干涉现象。
16.单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹。一只屏上A、C两点分别对应零级亮纹和零级暗纹，B是AC的中点，如图所示，试问：（1）若在双缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化？（2）在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成角的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？
解：（1）杨氏双缝干涉实验中，屏上光强分布满足： （见书18页）
式中为一个缝在屏上某点产生的光强，为干涉点处两个缝发出的光波到该点的相位差。
当把一个偏振片放在双缝后面时，光强公式变为：

光强减半是由于偏振片吸收一半光强的缘故。由于偏振片极薄，它不影响到光程差的数值，所以，干涉条纹的位置和宽度均不变化，仍为
（2）如果把一个1/2波片再放在一个缝后面，并且其光轴与偏振片的透振方向成
角，则此缝的线偏振光与另一缝的线偏振光的振动方向成夹角（因为半波片使线偏振光的偏振方向旋转），那么，两束振动方向相互垂直的线偏振光是不能发生干涉的，所以，屏上获得均匀照度，各点光强一样，为

但是，它们的振动是从同一线偏振光分解来的，有稳定的相位关系，它们在幕上的叠加是有固定相位差的垂直振动的合成。合成的结果一般是椭圆偏振光，椭圆的形状和取向由相位差决定。在原来干涉极大处或极小处（相位差是0或，或者说是的整数倍），合成结果是线偏振光，其它地方为椭圆偏振光或圆偏振光，此题中由于两个线偏振光的振幅相同，所以处为圆偏振光。由于人眼不能区别光的偏振结构，幕上将不再出现干涉条纹，而是相对均匀的强度分布。

17.厚度为0.025mm的方解石波片，其表面平行于光轴，放在两个正交的尼科耳棱镜之间，光轴与两个尼科耳各成。如果射入第一个尼科耳的光是波长为400～760nm的可见光，问透过第二个尼科耳的光中，少了那些波长的光？
已知：，，，
求：透过第二个尼科耳的光中，少了那些波长的光？
解：如图所示，从N2射出的两束光的相位差为：

如果透不过N2，则应满足：
所以有： ， 当 6，7，8，9，10时，
716.7nm，614.3nm，537.5nm，477.8nm，430nm,
这些波长的可见光将不能透过N2。

18.把一块切成长方体的KDP晶体放在两个正交的偏振片之间组成一个产生普克尔斯效应的装置。已知电光常数，寻常光在该晶体中的折射率为，若入射光波长为550nm，试计算从晶体出射的两束线偏振光相位差为时，所需加在晶体上的纵向电压（叫做半波电压）。
已知：，，，
求：
解：根据
得：

19.将厚度为1mm且垂直于光轴切出的石英片放在两个平行的尼科耳棱镜之间，使从第一个尼科耳棱镜出射的光垂直射到石英片上，某一波长的光经此石英片后，振动面旋转了。问石英片厚度为多少时，该波长的光将完全不能通过？
已知：，，
求：时，该波长的光将完全不能通过？
解：因为，所以必须使偏振面旋转才能消光。
根据
可得： ，
所以，当出现消光时，石英片厚度为：
或 ，

20.试求使波长为的光振动面旋转的石英片厚度。石英对这种波长的旋光度为。
已知：，
求：
解： ，

21.将某种糖配制成浓度不同的4种溶液：溶液中分别含有、、和的糖。分别用旋光量糖计测出它们通过每分米溶液转过的角浓度依次是、、和。根据这些结果，算出这几种糖的旋光率的平均值多少？
已知：，，，，
，，，，
求：
解：根据 ，其中
所以 ，，
，

所以

22.如图所示装置中，为单色光源，至于透镜的焦点处，为起偏器，为此单色光的波片，其光轴与偏振器的透振方向成角，为平面反射镜。已知入射到偏振器的光束强度为为，是通过分析光束经过各元件后的光振动状态，求出光束返回后的光强。各元件对光束的损耗可忽略不计。

解： （1）从光源发出的光，经透镜后变为平行的自然光；
（2）平行的自然光再经过后变为光强为的线偏振光，且；
（3）线偏振光经过波片后，变为椭圆偏振光，其两个分振动的振幅分别为： ，振动方程分别为：
可见，从波片出射的光为右旋椭圆偏振光。
（4）椭圆偏振光经过反射后，振动方程变为：

可见，原来的右旋椭圆偏光变成了左旋椭圆偏光；
两束相互垂直的线偏振光之间的相位差为。
（5）再经四分之一波片后，上述两束相互垂直的线偏振光又产生了的相位差，因此，左旋偏振光从四分之一波片出射后，两束相互垂直的线偏振光的总相位差为，那么，这样两束相互垂直的线偏振光叠加的结果为一束在Ⅱ、Ⅳ象限振动的线偏振光，如图所示，振动方向与波片的光轴方向夹角为。
（6）此线偏振光再经偏振片后，其光强为：（根据马吕斯定律）

23.一束椭圆偏振光沿轴方向传播，通过一个线起偏器。当起偏器透振方向沿 方向时，透射强度最大，其值为；当透振方向沿方向时，透射强度最小，其值为。（1）当透振方向与轴成角时，透射强度为多少？（2）使原来的光束先通过一个波片后再通过线偏振器，波片的轴沿 方向。现在发现，当起偏器透光轴与轴成角时，透过两个元件的光强最大，求光强最大值，并确定入射光强中非偏振成分占多少？
解：（1）设入射的椭圆偏振光的两个光矢量为：

当起偏器透振方向沿轴方向时，透过的光矢量为：

其光强为：
由题意可知 （1）
当起偏器透振方向沿轴时，透过的光矢量为：

其光强为：
由题意可知 （2）
当透振方向与轴成角时，透过的光矢量为：

其光强为
（2）

24.有几个未加表明的光学元件：（1）两个线偏振器；（2）一个波片；（3）一个半波片；（4）一个圆偏振器。除了一个光源和一个光屏外不借助其他光学仪器，如何鉴别上述各个元件？
解：设光源为自然光源。
第一步：用自然光源分别照射上述五个光学元件，影像投影到光屏上；
如果光屏上出现一个亮斑，则对应的光学元件为线偏振器；而光通过其他三个光学元件时，会在屏上产生两个亮斑，即双折射现象，所以这三个元件应为波片、波片和圆偏振器。
第二步：用已区分出来的两个线偏振器，分别与上述三个未区分的元件组合，即未知元件分别夹在两个线偏振器之间：
这样，就把三个未知的光学元件区分出来了。
25.一束汞绿光以角入射到磷酸二氢钾（KDP）晶体表面，晶体的，。设光轴与晶面平行，并垂直于入射面，试求晶体中光与光的夹角。
已知：
求：
解：

26.通过尼科耳棱镜观察一束椭圆偏振光时，强度随尼科耳棱镜的旋转而改变。当强度为极小时，在尼科耳棱镜（检偏器）前插入一块1/4波片，转动1/4波片使它的光轴平行于检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动就完全消光。问：（1）该椭圆偏振光是右旋还是左旋的？（2）椭圆长短轴之比是多少？

解： 建立坐标系，椭圆偏振光可分解为分量和分量，它们之间的相位差设为已知。透过偏振片的振动是分量和分量在透光轴方向的投影的叠加，参与叠加的两个投影的振幅与和轴（或轴）之间的夹角有关，其间的相位差仍为。于是经偏振片后振动的振幅即光强可知，显然它是的函数，表为，当时，相应的表示椭圆偏振光的长轴方向，同样，相应于的则表示短轴方向。
（1）如图所示，把椭圆偏振光分解为分量和分量的振动，它们的电矢量可分别表示为：
则上述两个振动在方向的投影为：
透过片这片的振动是上述两个分量的叠加，为：

令 ①
则
因此通过偏振片的光强为：
②
式中 ，
分别是偏振片透光轴与轴和轴一致时透过偏振片的光强。
利用三角公式：
可把表示为
这就是椭圆偏振光透过尼科耳棱镜后的光强随尼科耳棱镜的旋转（改变角）而变化的公式。
令
则
式中 或 ③
（2）当 时，，即
④
当 时，，即
⑤
和分别表示入射椭圆偏振光的长轴和短轴方向。
特殊情形：当时，
由 ③式可得 ，或，
从而 及为0或。
即在此特殊情形，椭圆偏振光的长轴和短轴分别与轴或轴重合。换言之，此时椭圆偏振光在坐标系中是正椭圆而不是斜椭圆。
（3）当正椭圆偏振光通过尼科耳棱镜后，光强取极小值时，

即椭圆短轴在轴，而长轴在轴。
这时，在尼科耳棱镜前插入一个1/4波片，使它的光轴平行于检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动就完全消光。如图所示，从1/4波片出射的线偏振光只能在Ⅱ、Ⅳ象限振动时，透过检偏器后才可能消失。
而形成Ⅱ、Ⅳ象限振动的线偏振光，要求入射的椭圆偏振光中的两个垂直振动矢量、之间的相位差为，再通过1/4波片后，又产生一个的相位差，
最后形成线偏振光的两个垂直振动矢量、之间的相位差为，即为Ⅱ、Ⅳ象限振动的线偏振光。
因此说，入射的椭圆偏振光为右旋椭圆偏振光。
（4）

27.推导出长、短轴之比为2：1，长轴沿轴的右旋和左旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算两个偏振光叠加的结果。
解：对于长、短轴之比为2：1，长轴沿轴的右旋椭圆偏振光的电场分量为

所以，
这一偏振光的归一化琼斯矢量为：

若为左旋椭圆偏振光，，故其琼斯矢量为

两偏振光叠加的结果为：

合成波为光矢量沿轴的线偏振光，其振动为椭圆偏振光分量振幅的2倍。
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