《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第3讲-等比数列及其前n项和.docx

第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(2)等比中项：假如a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)做一做1(2022高考重庆卷)对任意等比数列an，下列说法确定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，由于q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.2(2022高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_解析：由于a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.答案：41辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数(2)由an1qan，q0，并不能马上断言an为等比数列，还要验证a10.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q1与q1分类争辩，防止因忽视q1这一特殊情形而导致解题失误2等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n项和公式时，必需分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在推断等比数列单调性时，也必需对a1与q分类争辩做一做3(2021海淀区其次学期期中练习)在数列an中，“an2an1，n2，3，4，”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当an0时，也有an2an1，n2，3，4，但an是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立当an是公比为2的等比数列时，有2，n2，3，4，即an2an1，n2，3，4，所以必要性成立故选B.4若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和Sn_解析：由题意a2a5q(a1a4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，得a1.故Sn(2n1)答案：(2n1)_等比数列的基本运算(高频考点)_等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和(1)(2021江苏扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_(3)(2022高考重庆卷节选)已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.解析(1)设等比数列an的公比为q，由已知a11，a34，得q24.又an的各项均为正数，q2.而Sk63，2k163，解得k6.(2)设数列an的首项为a1，公比为q，aa10，2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.答案(1)6(2)2n(3)解：由于an是首项为1，公差为2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1，Sn13(2n1)n2.所以a47，S416.由于q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又由于b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和Tn(4n1)规律方法等比数列运算的通法：与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式ana1qn1(a1q0)及前n项和公式Sn中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要留意应用q0验证求得的结果1.(1)(2021北京海淀模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S2a2，S3成等差数列，则数列an的公比为()A1B2C. D3(2)(2021河北唐山高三统考)在公比大于1的等比数列an中，a3a772，a2a827，则a12()A96 B64C72 D48(3)(2021东北三校其次次模拟)已知数列an满足2an1an0，a21，则数列an的前10项和S10为()A.(2101) B.(2101)C.(2101) D.(2101)解析：(1)选D.由于S1，S2a2，S3成等差数列，所以2(S2a2)S1S3，2(a1a2a2)a1a1a2a3，a33a2，q3.(2)选A.由题意及等比数列的性质知a3a7a2a872，又a2a827，a2，a8是方程x227x720的两个根，或又公比大于1，q68，即q22，a12a2q1032596.(3)选C.2an1an0，.又a21，a12，an是首项为2，公比为q的等比数列，S10(2101)，故选C._等比数列的判定与证明_(2021东北三校联考)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列an(1)n为等比数列，并求出an的通项公式解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分别令n1，2，3得：，解得(2)证明：由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减得：an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2an1(1)n1(n2)故数列an(1)n是以a1为首项，公比为2的等比数列an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n.在本例条件下，若数列bn满足b1a1，bnanan1.证明：bn是等比数列证明：an(1)n，bnanan1(1)n(1)n12n1.又b1a11，2，数列bn是等比数列规律方法等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2.已知数列an满足：a1，an1ann4，其中为实数，n为正整数对任意实数，证明：数列an不是等比数列证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即，故24924，即90，冲突，所以an不是等比数列_等比数列的性质_(1)(2021昆明三中、玉溪一中统考)等比数列an中，a11，q2，则Tn的结果可化为()A1 B1C. D.(2)(2021山西省第三次四校联考)等比数列an满足an0，nN*，且a3a2n322n(n2)，则当n1时，log2a1log2a2log2a2n1()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2(3)(2021山西省其次次四校联考)若等比数列an的前n项和为Sn，且5，则_解析(1)依题意，an2n1，所以Tn，故选C.(2)由等比数列的性质，得a3a2n3a22n，从而得an2n.log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)(3)设数列an的公比为q，由已知得15，1q25，所以q24，11q411617.答案(1)C(2)A(3)17规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以削减运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时留意设而不求思想的运用3.(1)在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9C27 D81(2)(2021长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n()A11 B12C14 D16(3)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则 S9S3等于()A12 B23C34 D13解析：(1)选B.设数列an的公比为q，a1aa15243，a1a15a，a83，a9.(2)选C.设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.(3)选C.由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.,同学用书P94P95)方法思想分类争辩思想在求数列前n项和中的应用(2021江苏常州模拟)假如有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，3，4，3，2，1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”(1)设bn是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b11，b513.依次写出bn的每一项；(2)设cn是2m1项的“对称数列”，其中cm1，cm2，c2m1是首项为a，公比为q的等比数列，求cn的各项和Sn.解(1)设数列bn的公差为d，b4b13d13d.又由于b4b513，解得d4，所以数列bn为1，5，9，13，13，9，5，1.(2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2aa(q1)而当q1时，Sn(2m1)a.Sn.名师点评(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn前n项和时用到了分类争辩思想(2)分类争辩思想在数列中应用较多，常见的分类争辩有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种状况；项数的奇、偶数争辩；等比数列的单调性的推断留意与a1，q的取值的争辩(2022高考山东卷)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)由于bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn1已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4B4C4 D4解析：选C.(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4.2(2021山东淄博期末)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a22，则a1()A. B.C. D2解析：选C.由等比数列的性质得 a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1，故选C.3已知数列an满足1log3anlog3an1(nN*)且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A. BC5 D5解析：选D.由1log3anlog3an1(nN*)，得an13an，即数列an是公比为3的等比数列设等比数列an的公比为q，又a2a4a69，则log(a5a7a9)logq3(a2a4a6)log(339)5.4(2021四川广元质检)等比数列an的公比q0，已知a21，an2an16an，则an的前4项和S4()A20 B15C. D.解析：选C.由于an2an16an，所以q2q60，即q2或q3(舍去)，所以a1.则S4.5已知数列an，则有()A若a4n，nN*，则an为等比数列B若anan2a，nN*，则an为等比数列C若aman2mn，m，nN*，则an为等比数列D若anan3an1an2，nN*，则an为等比数列解析：选C.若a12，a24，a38，满足a4n，nN*，但an不是等比数列，故A错；若an0，满足anan2a，nN*，但an不是等比数列，故B错；若an0，满足anan3an1an2，nN*，但an不是等比数列，故D错；若aman2mn，m，nN*，则有2，则an是等比数列6(2021高考北京卷)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：设等比数列an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.答案：22n127(2022高考广东卷)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.解析：由于a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：508已知数列an的前n项和为Sn，满足anSn1(nN*)，则通项公式an_解析：anSn1，a1，an1Sn11，(n2)可得anan1an0，即得，数列an是首项为，公比为的等比数列，则an.答案：9已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得，a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4.a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.10(2021陕西宝鸡质检)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n(nN*)1(2021山东莱芜模拟)已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nN*，若数列cn满足cnban，则c2 015()A92 014 B272 014C92 015 D272 015解析：选D.由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，an3n，bn3n.又cnban33n，c2 015332 015272 015.2(2021广东珠海质量监测)等比数列an共有奇数项，全部奇数项和S奇255，全部偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1()A1 B2C3 D4解析：选C.设等比数列an共有2k1(kN*)项，则a2k1192，则S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13，故选C.3(2021北京市海淀区高三上学期期末测试)数列an满足a12且对任意的m，nN*，都有an，则a3_；an的前n项和Sn_解析：an，anmanam，a3a12a1a2a1a1a1238；令m1，则有an1ana12an，数列an是首项为a12，公比q2的等比数列，Sn2n12.答案：82n124设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析：由条件得：f(n)f(1)f(n1)，即an1an，所以数列an是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn1，所以Sncn任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2恒成立由于函数y是增函数，所以23，故3，即的取值范围为(，3)