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2007-2008考试试卷及答案

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三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名
命题教师 审题教师
…………………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………
2007 — 2008 学年第 二 学期
《复变函数》课程考试试卷A
注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟
3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：
题 号
一
二
三
总 分
得 分

阅卷人
得分

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）

1．＝
2．＝
3．若函数在复平面内处处解析，则 = ____
4．幂级数的收敛半径为______
5．复变函数积分＝

阅卷人
得分

二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1． 点为函数的 [      ]
（A）可去奇点 （B）本性奇点 （C）一级极点（D）二级极点

2． 下列命题正确的是 [      ]
(A) 如果在连续， 那么存在；
(B) 如果存在， 那么在解析；.
(C) 如果是的奇点，那么在不可导；
(D) 如果在区域D内解析且实部为常数，那么在D内是常数.
3． 关于函数的性质下列说法错误的是 [      ]
（A）在整个复平面上都是连续的 （B）仅仅在原点可导
（C）在原点解析 （D）在整个复平面上都不解析
4． 下列说法正确的是 [      ]
(A) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
(B) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内解析；
(C) 幂级数在收敛且在发散；
(D) 在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数.
5． 设， 则＝ [      ]
（A）0 （B） （C） （D）
6． 级数是  [      ]
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 无法判断

阅卷人
得分

三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名
命题教师 审题教师
…………………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………
三、试解下列各题（本题满分67分.）
1．（本小题20分）计算下列积分:
(1) 其中， 为正向圆周：

(2) ， 其中 为正向圆周：

(3) ，

(4)

2．（本小题12分）证明：为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们组成的解析函数，使.

3．（本小题8分）将函数在内展成级数.

三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名
命题教师 审题教师
…………………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………
4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数：

（1） （2） （3）

5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？
（1） （2） （3）

2007 — 2008 学年第 二 学期
《复变函数》课程考试试卷A参考答案

一、填空题 (每小题3分)
1． 2．
3． 4． 5．0
二、选择题(每小题3分)
1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B
三、试解下列各题
1．（本小题20分）计算下列积分:
(1) 其中， 为正向圆周：
解: 当时，由Cauchy积分定理得，
原式＝0 …………2分
当时，由Cauchy积分公式得，
原式＝ …………5分
(2) ， 其中 为正向圆周：
解: 方法一: 由Cauchy积分公式得，
原式＝ ………………………………5分
方法二:

(3) ，
解: 分别作两个互不相交互不包含的正向小圆周,使只包含奇点0,只包含奇点1, 则

…………5分
(4)
解: 函数在复平面内解析, 积分与路径无关, 故
…………………5分

2．（本小题12分）证明：为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们组成的解析函数，使.
解：（1）因为
所以 ，即是调和函数。 ……………………4分
（2）由，得 从而
又由， 得
从而 ， 因此 …………8分
由上所求，可得一个解析函数：
………9分
这个函数可以化为： ，由 ，得
所以所求的解析函数为： …………………12分

3．（本小题8分）将函数在内展成级数.
解:在内：
……………8分

4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数：
（1） （2） （3）
解:(1)显然有一个一级极点和一个一级极点， …………1分
………………3分
……………………5分
(2) 将在的去心邻域内展开成洛朗级数
……3分
…………………5分
(3) 显然有一级极点 ……………2分
………………… 5分

5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？
（1） （2） （3）
解: (1) 因为,

可知C.R.方程不满足,所以在复平面内处处不可导, 处处不解析. ………4分
(2) 因为 , ,

显然这四个一阶偏导数都是连续的,但是仅当时,它们才满足C.R.方程 , 所以函数仅在处可导, 在复平面内处处不解析. …………………4分
(3) 因为 , ,

从而
并且由于上面四个一阶偏导数都是连续的, 所以在复平面内处处可导, 处处解析. …………………4分

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