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流体的运动 习题解答

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第三章 流体的运动
习题解答

1． 应用连续性方程的条件是什么？
答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？
答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。
答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。
解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：
S0v0= S1v1+S2v2 +……+Snvn，则
m/s

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。
解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：
( m/s）
(b) 根据伯努利方程知：，h2=0，=1.0×103 kg/m3
6．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？
解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2
(m/s)
(b) 根据伯努利方程知（水平管）：
(Pa)

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？
解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，=，根据伯努利方程知：

由于S1<< S2，则v2=0，因此
(Pa)

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？
解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，=5.5×104Pa，=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。
解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，=0.645kg/m3，=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。
解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：
(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。
解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，=2kg/m3，=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：
(m/s)
所以5min采集的CO2为：
(L)

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。
解：(a)已知h1=0.30m，，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知： ，由于S1>> S2，则v1=0，因此
(m/s)
(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？
解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：(pa)，根据水平管的伯努利方程知：

由于，，S1>> S2，则v1≈0，因此
(m/s)
根据连续性方程知：S1v1=S2v2
(m/s)
(s)

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。
解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，=1.013×105 Pa，应用伯努利方程，则有：
(m/s)
B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得：
(pa)
(b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。
解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：
和
(m)

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？
解：已知截面积，由连续性方程得，考虑到A槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

对C、D两点列伯努利方程：

因为，，所以，，即C处的压强小于，又因为F槽液面的压强也为，故E管中液柱上升的高度H应满足：

解得

17．使体积为25cm3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时，克服摩擦力做功是多少？
解：已知V=25 cm3=2.5×10－5m3，=1.3×105Pa，=1.1×105Pa，由实际流体运动规律知：

(Pa)（水平均匀管）
(J)

18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？
答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。

19．20℃的水，在半径为1.0cm的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s。求由于粘性使得管长为2.0m的两个端面间的压强差是多少？
解：已知R=1.0 cm，vmax=10cm/s=0.10m/s，L=2.0m，t=20℃，查表知20℃时水的黏度系数为： Pa×s，由泊肃叶定律的推导知：

当r=0，m/s
(Pa)

20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm。求液体在管路中流动的速度。
已知：h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm
求：v=?
解由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）

(J/m3)
容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：

得： (m/s)

21．直径为0.01mm的水滴，在速度为2 cm/s的上升气流中，能否向地面落下？设空气的η=1.8×10－5Pa×s。
解：已知d=0.01mm=10－5m，v=2 cm/s=0.02 m/s，η=1.8×10－5Pa×s，水滴受力分析：重力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：
(N)
(N)<
故水滴不会落下。

22．水从一截面为5cm2的水平管A，流入两根并联的水平支管B和C，它们的截面积分别为4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速为100cm/s，在管C中的流速为50 cm/s。问：(a)水在管B中的流速是多大？(b)B、C两管中的压强差是多少？(c)哪根管中的压强最大？
解：(a)已知SA=5cm2，SB=4cm2，SC=3cm2，vA=100cm/s=1.00m/s，vC=50cm/s=0.50m/s，根据连续性方程知：SAvA= SBvB+SCvC
(m/s)
(b) 根据伯努利方程知：
A、B两处：
A、C两处：
因此，(Pa)
(c)由以上两个方程可知：则：，即C管压强最大。

23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h1H1=h2H2。
证明：根据小孔流速规律知：和
再根据平抛运动规律知：
x=vt和
联立以上关系式得：

由于 x1=x2
所以 h1H1=h2H2 证毕。

24．在一个顶部开启高度为0.1m的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间？(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间？并把此结果与(a)的结果进行比较。
解：(a)已知h1=0.1m，S2= S1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：，该处厚度为dh 的一薄层从小孔流出时间为：

整个水箱的水流尽所需时间为
(s)
(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m，则小孔速度始终不变为
则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：
(s)
比较(a)、(b)知：

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