2022届数学一轮(文科)北师大版课时作业-第三章-导数及其应用-3-3.docx

第3讲导数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2022湖南卷)若0x1x21，则()解析令f(x)，则f(x)当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，0x1x21，f(x2)f(x1)，即故选C.答案C2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的函数关系是RR(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300解析由题意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案D3(2021渭南统考)若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A4 B6 C7 D8解析由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x1或x2，由f(x)0得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和微小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，而选项中只给出了4，所以选A.答案A4设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论确定正确的是()A任意xR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的微小值点Cx0是f(x)的微小值点Dx0是f(x)的微小值点解析A错，由于极大值未必是最大值；B错，由于函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于x轴对称，x0应为f(x)的微小值点；D正确，函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点对称，x0应为yf(x)的微小值点答案D5(2022新课标全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x10，x2.若a0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意则a0，由图像结合f(0)10知，此时必有f0，即a310，化简得a24，又a0，所以a2，故选C.答案C二、填空题6(2022唐山模拟)已知a0，函数f(x)x3ax2bxc在区间2，2上单调递减，则4ab的最大值为_解析f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，函数f(x)在区间2，2上单调递减，即即4ab12，4ab的最大值为12.答案127(2021宜春一模)已知函数f(x)ax33x1对x(0，1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_解析当x(0，1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0，1，g(x).g(x)与g(x)随x的变化状况如下表：xg(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)答案4，)8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是_解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图像开口向下，且对称轴为x1，当n1，1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案13三、解答题9(2022青岛一模)设函数f(x)ln x，g(x)ax，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公切线(1)求a，b的值；(2)试比较f(x)与g(x)的大小解(1)f(x)ln x的图像与x轴的交点坐标是(1，0)，依题意，得g(1)ab0，又f(x)，g(x)a，又f(x)与g(x)在点(1，0)处有公切线，g(1)f(1)1，即ab1，由得a，b.(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln xln xx(x0)，F(x)0.F(x)在(0，)上为减函数，且F(1)0，当0x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)综上可知，当0x1时，即f(x)g(x)；当x1时，即f(x)g(x)10(2022新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点(1)解f(x)3x26xa，f(0)a，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为yax2.由题设得2，所以a1.(2)证明由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知1k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一实根当x0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点力气提升题组(建议用时：25分钟) 11已知yf(x)是奇函数，当x(0，2)时，f(x)ln xax，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a等于()A. B. C. D1解析f(x)是奇函数，f(x)在(0，2)上的最大值为1.当x(0，2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，02.当x时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，f(x)maxf()ln a1，解得a1.答案D12(2022大连模拟)已知函数f(x)x3ax2xc(xR)，下列结论错误的是()A函数f(x)确定存在极大值和微小值B若函数f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函数，则x2x1C函数f(x)的图像是中心对称图形D函数f(x)确定存在三个零点解析对于A，f(x)3x22ax1，4a2120，因此函数f(x)3x22ax1恒有两个相异零点x3，x4(其中x3x4)，易知函数f(x)的递增区间是(，x3)与(x4，)，递减区间是(x3，x4)，函数f(x)确定存在极大值与微小值，选项A正确对于B，由A知，x3x4，x3x4，则x4x3，又x1x3，x4x2，因此x2x1x4x3，选项B正确对于C，函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图像，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图像关于坐标原点对称，故函数f(x)的图像是中心对称图形，所以C正确对于D，取ac1，得f(x)x3x2x1(x1)2(x1)，此时函数f(x)仅有两个相异零点，因此选项D不正确综上所述，选D.答案D13已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_解析f(x)exxexex(1x)当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得a，即a.答案14(2022四川卷)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x0，1时，g(x)12a，e2a，当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递增，因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递减因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不行能单调递增，也不行能单调递减则g(x)不行能恒为正，也不行能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1，同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0，1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0，1上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，所以a.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe12，有g(0)ae20，g(1)1a0，解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.