2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：3.8应-用-举-例.docx

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课时提升作业(二十三)
一、选择题
1.线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开头几小时后，两车的距离最小( )
（A） （B）1 （C） （D）2
2.某水库大坝的外斜坡的坡度为，则坡角α的正弦值为( )

3.在△ABC中，A=60°，且最大边和最小边是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边长为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
4.（2021·广州模拟）据新华社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°的角，树干也倾斜为与地面成75°的角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )

5.(2021·天津模拟)在△ABC中,角A，B,C所对应的边分别为a，b，c,若角A，B，C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=( )

6.某爱好小组要测量电视塔AE的高度H（单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值，算出了tan α=1.24,tan β=1.20,则H=( )
(A)100 m (B)110 m
(C)124 m (D)144 m
二、填空题
7.（2021·揭阳模拟）若△ABC的面积为3，BC=2,C=60°，则边长AB的长度等于_______.
8.某人站在60米高的楼顶A处测量不行到达的电视塔的高度，测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.
9.如图，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ=_______.
三、解答题
10.（2022·山东高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
（1）求证：a,b,c成等比数列.
（2）若a=1,c=2，求△ABC的面积S.
11.（2021·湛江模拟）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海疆被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=,0°＜θ＜
90°)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）.
（2）若该船不转变航行方向连续行驶，推断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
12.（力气挑战题）如图，摄影爱好者S在某公园A处，发觉正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离SA按米处理）.
（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影者观看彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，恳求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由.

答案解析
1. 【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y km，则BD=200-80x，BE=50x，
∴y2=(200-80x)2+(50x)2
-2×(200-80x)·50x·cos 60°，
整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5)，
∴当x=时y2最小，即y最小.
2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度，故利用此关系可解.
【解析】选B.由tan α=，得sin α=cos α，代入sin2α+cos2α=1，得sin α=.
3.【解析】选C.由A=60°知△ABC中最大边和最小边分别为b,c，故b+c=7，bc=11.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,
∴a=4.
4.【解析】选A.如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°,
∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，
∴AO＝ (米).
5.【思路点拨】由角A，B，C成等差数列可得B，由正弦定理得A，从而得C，再用面积公式求解即可.
【解析】选C.∵角A，B，C成等差数列,
∴A+C=2B,∴B=60°.
又a=1,b=,∴
∴sin A=
又∵a＜b,∴A＜B,
∴A=30°,∴C=90°.
∴S△ABC=
【变式备选】在△ABC中三条边a，b，c成等比数列，且b=，B=，则△ABC的面积为( )

【解析】选C.由已知可得b2=ac，又b=，则ac=3,
又B=，
∴S△ABC=
6.【思路点拨】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.
【解析】选Ｃ.由AB=,BD=,
AD=及AB+BD=AD，得
解得H= =124（m）.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
【方法技巧】测量高度的常见思路
解决高度的问题主要是依据条件确定出所利用的三角形，精确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特殊留意高度垂直地面构成的直角三角形.
7.【解析】由△ABC面积为3，得absin 60°=3，
得ab=4,
又BC=a=2,故b=2,
∴c2=a2+b2-2abcos C
=4+12-2×2×2×=16-4，
∴c=.
答案：
8. 【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，
由于∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE＝
在Rt△AEC中，
CE＝AE·tan 30°=(120+60)×=60+40,
∴BC=CE+BE=60+40+60=120+40,
所以塔高为(120+40)米.
答案：120+40
9.【解析】在△ABC中，
BC=
在△BCD中，sin∠BDC=
=
又∵cos θ=sin∠BDC，∴cos θ=-1.
答案：-1
10.【思路点拨】（1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成b2=ac.（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.
【解析】(1)由已知得:
sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
sin Bsin(A+C)=sin Asin C,sin 2B=sin Asin C.
由正弦定理可得：b2=ac，
所以a,b,c成等比数列.
(2)若a=1,c=2,则b2=ac=2,
∴cos B=
sin B=
∴△ABC的面积S=
11.【解析】（1）如图，AB=40，AC=10，∠BAC=θ,
sinθ=.
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=
由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.
(2)船会进入警戒水域.
方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B，C的坐标分别是B（x1,y1),C(x2,y2),
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)=20.
所以过点B，C的直线l的斜率k==2，直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
方法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC=

从而sin∠ABC=
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE
=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)
=15×＜7.
所以船会进入警戒水域.
【变式备选】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（已知
sin 41°≈，角度精确到1°）?
【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos 120°=700.
所以BC=10.
∵
∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
12. 【解析】（1）如图，作SC⊥OB于C,
依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.
又SA=,故在Rt△SAB中，可求得AB= =3,即摄影者到立柱的水平距离AB为3米.
在Rt△SCO中，SC=3,∠CSO=30°,
OC=SC·tan 30°=,
又BC=SA=，故OB=2,即立柱的高度OB为2米.
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM,SN,
设M(cos α,sin α)，α∈［0,2π),
则N(-cos α,-sin α)，由(1)知S(3,- ).
故=(cos α-3,sin α+)，
=(-cos α-3,-sin α+),
∵·=(cos α-3)·(-cos α-3)+(sin α+)·(-sin α+)=11.
||·||

由α∈［0,2π)知∈［11,13］.
所以cos ∠MSN=∈［,1］，易知∠MSN为锐角,
故当视角∠MSN取最大值时，cos θ=.
另解：∵cos ∠MOS=-cos ∠NOS,
∴
于是得SM2+SN2=26从而
cos θ=
又∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，cosθ=.
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