4、平杆固定在竖直杆上，两者相互垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )
图2
A．OB绳的拉力范围为0～mg
B．OB绳的拉力范围为mg～mg
C．AB绳的拉力范围为mg～mg
D．AB绳的拉力范围为0～mg
解析 当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为T1，则2T1cos 30°＝mg，T1＝mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于
5、零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为T2，则T2cos 30°＝mg，T2＝mg，因此OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，B项正确。
答案 B
突破二 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
1．“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的缘由在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2．有关临界问题消灭在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般状况下，只争辩最高点和最低点的状况。
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道
6、中运动等
图示
异同点
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程
mg＋N＝m
mg±N＝m
临界特征
N＝0 mg＝m即vmin＝
v＝0即F向＝0 N＝mg
过最高点的条件
在最高点的速度v≥
v≥0
【典例2】 (多选)如图3所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动。P为圆周轨道的最高点。若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为，则以下推断正确的是( )
图3
A．小球不能到达P点
B．小球到
7、达P点时的速度小于
C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
解析 依据机械能守恒定律2mgL＝mv2－mv，可求出小球在P点的速度为<，故B正确，A错误；计算出向心力F＝mg，故小球在P点受到轻杆向上的弹力，故C错误、D正确。
答案 BD
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
(1)定模型：首先推断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中v≥0这两个临界条件。
(3)争辩状态：通常状况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动状况。
(4)受力分析
8、对物体在最高点或最低点时进行受力分析，依据牛顿其次定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
【变式训练】
2.如图4所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动。AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零，B是轨道最低点，求：
图4
(1)小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功；
(2)小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比。
解析 (1)在C点小球对轨道压力为零，有mg＝m
从开头下落到C点，有mgR＋Wf＝mv
所以Wf＝－mgR。
(2)从开头下落到B点2mgR＋Wf＝mv
或从B点到C点mv＝mgR＋mv
由牛顿其次定律知N前－mg＝m
N后－mg＝m
所以N前∶N后＝7∶12。
答案 (1)－mgR (2)7∶12
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