【-学案导学设计】2020-2021学年高中数学(人教A版-选修1-1)课时作业2.3.1.docx

§　2.3双曲线

2.3.1　双曲线及其标准方程

课时目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.把握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简洁的应用问题．

1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是___________．

一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是(　　)
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为(　　)
A. B．1或3
C. D.
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)
A．抛物线 B．圆
C．双曲线的一支 D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1

题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题

8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝__________________________________________________________________
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．

力气提升

A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．

1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要依据求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．

§2.3　双曲线

2.3.1　双曲线及其标准方程
学问梳理
1．(1)|F1F2|　以F1，F2为端点的两条射线　不存在　(2)双曲线的焦点　双曲线的焦距
2．(1)－＝1(a>0，b>0)　(－c,0)　(c,0)
(2)－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B　[依据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B　[原方程可化为＋y2＝1，由于ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
3．A　[∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4．A　[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]
5．C　[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B　[设双曲线方程为－＝1，由于c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.]
7．2
解析　∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.
8．－10.所以(k＋1)(k－1)<0.
所以－1一　设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．解　设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，
得＝＝＝2R，代入sin B－sin C＝sin A，
得－＝·，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．
12．B

　[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，

13．解　设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.