《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第八章-第1讲-直线的倾斜角与斜率、直线的方程.docx

2022高考导航学问点考纲下载直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线斜率的计算公式2能依据两条直线的斜率判定这两条直线的位置关系3把握确定直线位置关系的几何要素4把握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离圆的方程把握确定圆的几何要素，把握圆的标准方程和一般方程直线、圆的位置关系1.能依据给定直线、圆的方程推断直线与圆的位置关系；能依据给定两个圆的方程，推断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想椭圆1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁的几何性质双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简洁几何性质抛物线把握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简洁几何性质曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0(2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为bykxb不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b0)1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)做一做1已知直线l经过点P(2，5)，且斜率为，则直线l的方程为()A3x4y140B3x4y140C4x3y140 D4x3y140答案：A2过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为_答案：11辨明四个易误点(1)求直线方程时要留意推断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不愿定每条直线都存在斜率(2)依据斜率求倾斜角，要留意倾斜角的范围(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式(4)由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视推断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.2求直线方程的一般方法(1)直接法：依据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应留意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类争辩(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程做一做3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案：D4直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析：选B.设倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1，1又0，)，0或._直线的倾斜角与斜率_(1)经过两点A(4，2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y()A1B3C0 D2(2)直线2xcos y30的倾斜角的变化范围是()A. B.C. D.解析(1)tan y2，因此y21，y3.(2)直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是.答案(1)B(2)B规律方法(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率ktan 的取值范围利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要留意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般依据ktan 求斜率公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般依据斜率公式k(x1x2)求斜率1.若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是_解析：当时，ktan ；当时，ktan ，0)综上k，0).答案：，0)_求直线的方程(高频考点)_直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他学问结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目高考中对直线方程的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(见考点一)(3)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围(1)已知直线xa2ya0(a0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是()A1 B2C. D0(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的的直线方程为_解析(1)直线方程可化为1，由于a0，所以截距之和ta2，当且仅当a，即a1时取等号(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.答案(1)A(2)3x4y150规律方法与直线方程有关问题的解题策略：(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并留意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必需存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线(2)求参数值或范围留意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解2.(1)ABC的三个顶点为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：BC所在直线的方程；BC边上中线AD所在直线的方程；BC边的垂直平分线DE所在直线的方程(2)过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为_解：(1)由于直线BC经过B(2，1)和C(2，3)两点，由两点式得BC所在直线的方程为，即x2y40.设BC中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过A(3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22，由点斜式得DE所在直线的方程为2xy20.(2)解析：由题设知截距不为0，设直线方程为1，又由于直线过点(3，4)，所以1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.答案：4xy160或x3y90_直线方程的综合问题_直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求l的方程解依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.在本例条件下，若|PA|PB|最小，求l的方程解：|PA|PB| (1k2)48(k0)当且仅当k且k0，即k1时，|PA|PB|取最小值这时l的方程为xy50. 规律方法直线方程的应用问题常见的类型及解法：(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等学问来解决方法思想分类争辩思想在求直线方程中的应用(2021常州模拟)过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析(1)当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0.点P(2，3)在直线l上，23a0，a1，所求直线l的方程为xy10.(2)当截距为0时，设所求直线方程为ykx，则有32k，即k，此时直线l的方程为yx，即3x2y0.综上，直线l的方程为xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y0名师点评(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时截距是否为零以及相关位置关系进行分类争辩(2)本题对截距是否为0进行分类争辩，易忽视截距为0的状况1.若直线过点P(3，)且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为()A3x4y150Bx3或yCx3Dx3或3x4y150解析：选D.若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x3，代入圆的方程解得y4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，由于该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为，解得k，此时该直线的方程为3x4y150.2过点M(3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：(1)当直线过原点时，直线方程为yx；(2)当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya.代入点(3，5)，得a8.即直线方程为xy80.答案：yx或xy801(2021秦皇岛模拟)直线xy10的倾斜角是()A.B.C. D.解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，又0，)，所以.2倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 B.xy0C.xy0 D.xy0解析：选D.由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1，0)，所以方程为y(x1)，即xy0.3已知函数f(x)ax(a0且a1)，当x0时，f(x)1，方程yax表示的直线是()解析：选C.x0时，ax1，0a1.则直线yax的斜率0a1，在y轴上的截距1.故选C.4(2021湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且aN*，bN*，则可作出的直线l的条数为()A1 B2C3 D4解析：选B.由题意得1(a1)(b3)3.又aN*，bN*，故有两个解或5直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2，2 B(，22，)C2，0)(0，2 D(，)解析：选C.令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面积为|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b的取值范围是2，0)(0，26已知直线的倾斜角是60，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为_解析：由于直线的倾斜角是60，所以直线的斜率为ktan 60.又由于直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为yx5.答案：yx57(2021贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线l的斜率为k，则方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1.令313，解得k.答案：(，1)8已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a_解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4(a)2，当a时，面积最小答案：9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3，3k4，由已知，得(3k4)(3)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.10设直线l的方程为xmy2m60，依据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为3.解：(1)由于直线l的斜率存在，所以m0，于是直线l的方程可化为yx.由题意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由题意得2m63，解得m.法二：直线l的方程可化为xmy2m6.由题意得2m63，解得m.1(2021福建泉州模拟)若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是()A2 B2C4 D2解析：选C.法一：由于点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100，欲求m2n2的最小值可先求的最小值而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.m2n2的最小值为4.法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A(，0)，B(0，)，在RtOAB中，OA，OB，斜边AB，斜边上的高h即为所求m2n2的算术平方根，SOABOAOBABh，h2，m2n2的最小值为h24.2已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，则xy的最大值是_解析：依题意得AB的方程为1.当x0，y0时，12，即xy3(当且仅当x，y2时取等号)，故xy的最大值为3.答案：33(2021江苏苏州调研)经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_解析：如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角为钝角，k0时，0，k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为.答案：1，14求曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围解：记曲线上点P处的切线的倾斜角是，y3x211，tan 1，为钝角时，应有，)；为锐角时，tan 1明显成立综上，的取值范围是0，)，)5. 已知直线l过点P(0，1)，且与直线l1：x3y100和l2：2xy80分别交于点A，B(如图)若线段AB被点P平分，求直线l的方程解：点B在直线l2：2xy80上，故可设点B的坐标为(a，82a)点P(0，1)是线段AB的中点，得点A的坐标为(a，2a6)又点A在直线l1：x3y100上，故将A(a，2a6)代入直线l1的方程，得a3(2a6)100，解得a4.点B的坐标是(4，0)因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l的方程为1，即x4y40.